第十四章超靜定結構§14-1超靜定結構概述§14-2用力法正則方程求解超靜定結構§14-3

對稱及反對稱性質§14-4連續梁及三彎矩方程§14-1超靜定結構概述一、相關概念桁架：由直桿以鉸節點相連接組成的桿系.若載荷只作用于節點上，則每一桿件只承受拉伸或壓縮.剛架：由直桿以剛節點相連接組成的桿系.在載荷作用下，各桿可以承受拉壓、剪切、彎曲和扭轉作用.連續梁：連續跨過一系列中間支座的多跨梁.超靜定結構：支座約束反力和（或）各構件的內力僅由靜力平衡方程不能完全求解的結構.靜定結構：支座約束反力和（或）各構件的內力僅由靜力平衡方程可完全求解的結構.幾何不變結構（運動學不變結構）：只可能有變形引起的位移而無任何剛性位移或轉動的結構.多余約束：超靜定結構中，超過維持結構幾何不變性的外部和內部約束.PCBA機構超靜定次數：結構的約束反力和各桿件的內力個數之和與能列出的獨立的平衡方程個數之差.若該差值為1則超靜定次數為1，為2則超靜定次數為2等.基本靜定系：若解除超靜定結構上的某些多余約束后結構變為靜定的，則稱該靜定結構為原超靜定結構的基本靜定系.基本靜定系的選擇不是唯一的.相當系統：在基本靜定系基礎上，附加上與多余約束相對應的多余反力，便得到原超靜定結構的相當系統.多余反力：與多余約束對應的反力.【例14-1】指出超靜定剛架的基本靜定系和相當系統.基本靜定系【例14-2】指出超靜定梁的基本靜定系和相當系統.相當系統基本靜定系基本靜定系相當系統相當系統三、超靜定結構的分類外力超靜定結構：結構支座反力超過了結構的靜力平衡方程數目，支座反力不能通過靜力平衡關系求解.內力超靜定結構：結構的內力不能通過截面法求解.混合超靜定結構：結構的內力和支座反力都不能通過靜力平衡方程求解.二、超靜定結構的判定方法外力超靜定：對于平面系統，約束反力超過3個；空間系統，約束反力超過6個則為超靜定結構.內力超靜定：對于平面系統，單個封閉框架為內力3次超靜定，每增加1個封閉框架，則增加3次超靜定；對于空間系統，單個封閉框架為內力6次超靜定，每增加1個封閉框架，則增加6次超靜定.四、超靜定結構的特點超靜定結構的剛度一定比同類靜定結構的剛度大，即結構位移小.在一般條件下，超靜定結構的強度也比同類靜定結構的強度高.超靜定結構各個構件的內力與構件的剛度有關，其各個構件的剛度的變化將影響結構的內力分配，因此對于超靜定結構的截面設計，最后必須按照預先規定的面積比值設計.對于超靜定結構，溫度變化、構件的加工尺寸不準確以及支座的沉陷等問題均會使得結構出現內力.五、超靜定結構的求解方法材料力學中求解超靜定結構的方法均以“力”作為基本未知量，稱為“力法”.主要包括：變形比較法：適用于簡單超靜定結構.力法正則方程：適用于次數較高的超靜定結構.三彎矩方程：適用于連續梁.六、超靜定結構的求解步驟判斷結構是否為超靜定的，如果是則應確定其超靜定次數.去除超靜定結構的多余約束，得到基本靜定系，用多余廣義反力取代多余約束得到相當系統.將相當系統與原超靜定結構作比較，得到相當系統應滿足的變形協調條件(幾何條件或位移邊界條件).使用能量法或其它方法將變形協調條件轉換成關于多余(外力和內力)反力的方程，求解多余反力.利用靜力平衡方程求解其它約束反力.δij—僅施加單位Xj即令Xj=1時，與Xi相對應的廣義位移；Xi—未知多余廣義力；ΔiF—僅施加已知廣義力系F時，與Xi

相對應的廣義位移；由位移互等定理知：δij

＝δji

一、力法正則方程對線彈性桿系，ΔiF和δij一般由莫爾積分求得.§14-2用力法正則方程求解超靜定結構n—超靜定次數；由m根桿組成的桁架：δijXj—僅施加Xj時，與Xi相對應的廣義位移；AFBAFBX1X3X2AFΔ1FΔ3FΔ2FAδ11δ31δ211δ12δ32δ221δ13δ33δ2313次超靜定結構基本靜定系及相當系統已知外力系F在B點引起的位移令X1＝1時在3個方向引起的位移令X2＝1時在3個方向引起的位移令X3＝1時在3個方向引起的位移二、正則方程系數圖解示例AAxla【例14-3】求超靜定梁B端的約束反力.ACBaFl【解】1）本題為1次超靜定問題，視支座B為多余約束，設X1為多余反力，得相當系統.ACBFX12）由單位載荷法求F單獨作用時，與X1相對應的位移Δ1F.ACBFΔ1F13）求令X1＝1時，與X1相對應的位移δ11在Δ1F中令a=l，F=-1得:4）由正則方程求解.三、例題aaF123456X1X1654321桿件（k）1111000【例14-4】求桁架各桿內力.設各桿剛度相同.各桿內力：11aa123456FFAORθB【例14-5】求圖示曲桿支座B的約束反力.AORθFB【解】1）該題為1次超靜定，視支座B為多余約束，X1為多余反力，得相當系統AORθFB2）由單位載荷法求已知力F單獨作用時，與X1相對應的位移Δ1FX1φ3）求令X1＝1時，與X1相對應的位移δ11在Δ1F中令θ＝π/2，F=-1得4）由正則方程求解1【例14-6】超靜定剛架各桿抗彎剛度為EI，求B端約束反力.qaaACB【解】1）本題為3次超靜定.視支座B為多余約束，X1,X2,X3為多余反力,得相當系統qaaACBX1X2X32）由單位載荷法求已知力q單獨作用時，與X1,X2,X3相對應的位移Δ1F,Δ2F,Δ3Fqx2x1x2x11x2x11x2x113）求令X1＝1時,與X1,X2,X3相對應的位移δ11,δ21,δ31;X2＝1時,與X1,X2,X3相對應的位移δ12,δ22,δ32;X3＝1時,與X1,X2,X3相對應的位移δ13,δ23,δ33考慮到δij

＝δji，則x2x11x2x11x2x114）將所求系數代入正則方程求解負號表示多余反力的實際指向與假定方向相反.§14-3對稱及反對稱性質的利用利用對稱結構上載荷的對稱或反對稱性質，可使正則方程簡化.一、相關概念對稱結構：幾何形狀、支承條件和各桿的剛度都對稱于某一軸線的結構.對稱載荷：對稱結構上，作用位置、大小和方向都對稱于某一軸線的載荷.反對稱載荷：對稱結構上，載荷的作用位置、大小對稱于某一軸線但方向卻反對稱于該軸線的載荷.對稱結構對稱載荷反對稱載荷對稱內力：對稱結構上，作用位置、大小和方向都對稱于某一軸線的內力.反對稱內力：對稱結構上，作用位置、大小對稱于某一軸線但方向反對稱于該軸線的內力.同一截面上軸力、彎矩為對稱內力，剪力為反對稱內力.二、對稱載荷作用下內力的特點FFFFX1X2X3X1X2X3對稱截面兩側水平相對位移、垂直相對位移和相對轉角均為零，即滿足正則方程F111F111四個彎矩圖中只有圖是反對稱的，其它圖則是對稱的，故必有：同理，由知：正則方程為：對稱結構上承受對稱載荷作用時，對稱截面上的反對稱內力(剪力)等于零δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0，δ22≠0三、反對稱載荷作用下內力的特點FF111111FFFFX1X2X3X1X2X3四個彎矩圖中、圖是反對稱的，其它圖則是對稱的，故有：δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0同理，由知：δ11·δ13·δ22·

δ33≠0正則方程為：對稱結構上承受反對稱載荷作用時，對稱截面上的對稱內力(軸力和彎矩)均等于零.四、疊加原理某些載荷雖不是對稱或反對稱的，但可將其轉化為對稱與反對稱兩種載荷的疊加，分別求出對稱與反對稱兩種情況下的解，疊加后即得到原載荷作用下的解.2qqqq+彼此等效【例14-7】圖示剛架中Me=qa2，求彎曲內力.qqaaaMex2q0.5MeX1x1【解】1）該結構為反對稱結構，故內力只有剪力X1，為1次內力超靜定問題2）求彎矩方程3）由單位載荷法求Δ1F14）求δ115）求X1x2x1五、例題【例14-8】沿等截面圓環直徑AB兩端作用方向相反的一對力P.求圓環彎矩方程和直徑AB及CD的變化量.PPABCDRFNPACDX1FNX1X1FNAD【解】1）圓環受對稱于截面CD的載荷作用，故截面CD剪力為零2）軸力FN=P/2.故只有彎矩X1為未知，為1次超靜定問題3）A截面轉角為零，視為夾緊端4）求FN單獨作用時的彎矩方程ADFNφR5）求令X1=1時的彎矩方程1ADφR6）求正則方程系數7）求解X18）求截面彎矩方程9）求直徑的變化量在上述M

(φ)中令P=1得附加單位力時的彎矩方程：【例14-9】圖示直角折桿截面直徑d=2cm，a=0.2m，l=1m，F=650N，E=200GPa，G=80GPa.求力作用點的垂直位移.a2FllaFlX1X2【解】1）該題可視為對稱載荷問題，故其超靜定次數為2.2）求外載荷F作用時的內力方程l段a段3）求分別令X1=1，X2=1時的內力方程l段a段l段a段§14-4連續梁及三彎矩方程一、連續梁的標記1）支座編號：從左至右依次編為0,1,2,…,i-1,i,i+1,…,n;2）跨度編號：從左至右依次編為