第十章機械振動機械振動

對于振動，你可以想到什么？振動彈簧振子單擺回復力受迫振動周期振幅平衡位置振動圖象共振頻率[記一記]1．概念質點的位移與時間的關系遵從

的規律，即它的振動圖象(x－t圖象)是一條

。2．簡諧運動的表達式(1)動力學表達式：F＝

，其中“－”表示回復力與

的方向相反。(2)運動學表達式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝

表示簡諧運動的快慢，(ωt＋φ)代表簡諧運動的

，φ叫做初相位。正弦函數正弦曲線－kx位移2πf相位3．回復力(1)定義：使物體返回到

的力。(2)方向：時刻指向

。(3)來源：振動物體所受的沿

的合力。平衡位置平衡位置振動方向

4．簡諧運動的圖象

(1)振動圖象表示的是簡諧運動的質點

的位移與時間的關系， 是一條正弦(或余弦)曲線，如圖12－1－1所示。

(2)由振動圖象可以確定質點振動的

和周期，以及任意時刻質點的位移、振動方向和加速度的方向。如圖12－1－1所示，t1時刻質點P的運動方向沿

。偏離平衡位置振幅圖12－1－1x軸負方向[試一試]1.一質點做簡諧運動的振動圖象如圖12－1－2所示，質點的速度與加速度方向相同的時間段是(

)A．0～0.3s B．0.3～0.6sC．0.6～0.9s D．0.9～1.2s

答案：BD

圖12－1－2[記一記]1．受迫振動(1)概念：系統在

的外力(驅動力)作用下的振動。(2)振動特征：受迫振動的頻率等于

的頻率，與系統的固有頻率無關。2．共振(1)概念：驅動力的頻率等于系統的

時，受迫振動的振幅最大的現象。周期性驅動力固有頻率(2)共振條件：驅動力的頻率等于系統的

。(3)特征：共振時

最大。(4)共振曲線：如圖12－1－3所示。固有頻率振幅圖12－1－3[試一試]2．某振動系統的固有頻率為f0，在周期性驅動力的作用下做受迫振動，驅動力的頻率為f。若驅動力的振幅保持不變，下列說法正確的是(

)A．當f＜f0時，該振動系統的振幅隨f增大而減小B．當f＞f0時，該振動系統的振幅隨f減小而增大C．該振動系統的振動穩定后，振動的頻率等于f0D．該振動系統的振動穩定后，振動的頻率等于f

答案：BD

[記一記](1)單擺的振動可視為簡諧運動的條件是

。

(3)秒擺的周期為2s，根據單擺周期公式，可算得秒擺的擺長約為

m。最大擺角小于10°振幅1(4)擺球做簡諧運動回復力：是重力在切線方向的分力F回=G1；重力的另一分力G2和擺線的拉力合力提供向心力；F-G2=mv2/l

在最大位移處v=0，F=G2.ROaθθθ幾種單擺模型[試一試]3．發生下述哪一種情況時，單擺周期會增大(

)A．增大擺球質量B．縮短擺長C．減小單擺振幅 D．將單擺由山下移到山頂答案：D

(1)凡離開平衡位置的過程，v、Ek均減小，x、F、a、Ep均增大；凡向平衡位置移動時，v、Ek均增大，x、F、a、Ep均減小.(2)對稱性：平衡位置兩側的對稱點上，x、F、a、v、Ek、Ep的大小均相同.5.簡諧運動的位移x、回復力F、加速度a、速度v、動能Ek、勢能Ep的變化特點：BOC（3）往復性、周期性：一個做簡諧運動的質點，經過時間t=nT(n為正整數)，則質點必回到出發點；若經過t=(2n+1)T/2(n為正整數)，則質點的末位置必與初位置關于平衡位置對稱。如圖，a與b；p與c關于平衡位置O對稱，則時間對稱；tPa=taP，tPa′=tbc′。bcPoaVaVb3.簡諧運動圖像

(1)物理意義：表示振動物體的位移隨時間變化的規律.注意振動圖像不是質點的運動軌跡.(2)特點：簡諧運動的圖像是正弦(或余弦)曲線.(3)作圖：以橫軸表示時間，縱軸表示位移.如圖xotOBCxotTTA-A1、關于做簡諧運動的物體的位移、加速度和速度間的關系,下列說法正確的是:A．位移減小、加速度減小、速度增大B．位移的方向總跟加速度的方向相反,跟

速度的方向相同C．物體的運動方向指向平衡位置時,速度

方向跟位移方向相同D．物體的運動方向改變時,加速度的方向

改變

A2．如圖所示，彈簧振子在BC間作簡諧運動，Ｏ為平衡位置，BC間距離是10cm，從Ｂ到Ｃ運動時間是１s，則（）Ａ．從Ｏ→Ｃ→Ｏ振子完成一個全振動Ｂ．振動周期是１s，振幅是10cm

Ｃ．經過兩次全振動，通過的路程是20cm

Ｄ．從Ｂ開始經過５s，振子通過的路程是50cmＢＯＣD

3.一質點做簡諧運動，振幅是4cm，頻率是2.5Hz，該質點從平衡位置起向正方向運動，經2.5s質點的位移和路程分別是（選初始運動方向為正方向）（）

A.4cm,24cmB.-4cm,100cmC.0，100cmD.4cm,100cmD5．圖為彈簧振子做簡諧運動的圖線，由圖可知（）Ａ．在t＝０時，振子的位移是零，速度為零，加速度也為零Ｂ．在t＝1s時，振子的位移最大，速度最大，加速度也最大Ｃ．在t＝2s時，振子的位移為零，速度為零，加速度也為零Ｄ．彈簧振子的振幅是５cm，頻率是0.25Hzx／cmt／s24601355D6、如圖7-2-4所示，一塊涂有碳黑的玻璃板，質量為2kg，在拉力F的作用下，由靜止開始豎直向上做勻變速運動，一個裝有水平振針的振動頻率為5Hz的固定電動音叉在玻璃板上畫出了圖示曲線，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm，求外力的大小.(g=10m/s2)【解析】振動周期T=1/5s=0.2s，圖中OA、AB、BC三段運動時間均為t=1/5s=0.1s，玻璃板的運動為勻變速運動，設其加速度為a，由△s=at2得:由牛頓第二定律得F-mg=ma，則F=mg+ma=24N.【例4】如圖7-2-6所示，一個彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O是平衡位置，以某時刻作為計時0點(t=0)，經過1/4周期，振子具有正方向的最大加速度，那么圖7-2-6所示四個運動圖像中正確反映運動情況的圖像是()D簡諧運動簡諧運動的五個特征1．動力學特征F＝－kx，“－”表示回復力的方向與位移方向相反，k是比例系數，不一定是彈簧的勁度系數。2．運動學特征簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反，為變加速運動，遠離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時則相反。3．運動的周期性特征相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態相同。(2)如圖12－1－4所示，振子經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等。圖12－1－4(3)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′(4)振子往復過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO。5．能量特征振動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運動過程中，系統動能與勢能相互轉化，系統的機械能守恒。[審題指導](1)簡諧振子運動的對稱性和周期性；(2)當兩時刻振子的位移相同，則兩時刻的差可能為周期的整數倍，也可能不是周期的整數倍。[答案]

ACD簡諧運動圖象的應用1.圖象特征(2)圖象反映的是位移隨時間的變化規律，隨時間的增加而延伸，圖象不代表質點運動的軌跡。(3)任一時刻圖線上過該點切線的斜率數值表示該時刻振子的速度大小。正負表示速度的方向，正時沿x軸正方向，負時沿x軸負方向。圖12－1－5

(1)簡諧運動的圖象是一條正弦或余弦曲線，是正弦曲線還是余弦曲線取決于質點初始時刻的位置。2．圖象信息(1)由圖象可以看出質點振動的振幅、周期。(2)可以確定某時刻質點離開平衡位置的位移。(3)可以確定某時刻質點的回復力、加速度和速度的方向。①回復力和加速度的方向：因回復力總是指向平衡位置，故回復力和加速度的方向在圖象上總是指向t軸。②速度的方向：速度的方向可以通過下一時刻位移的變化來判定，若下一時刻位移增加，速度方向就是遠離t軸；若下一時刻位移減小，速度方向就是指向t軸。[例2]

(2012·北京高考)一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標原點。從某時刻開始計時，經過四分之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時間t關系的圖象是(

)圖12－1－6單擺周期公式的應用[例3]

(2012·全國高考)一單擺在地面處的擺動周期與在某礦井底部擺動周期的比值為k。設地球的半徑為R。假定地球的密度均勻。已知質量均勻分布的球殼對殼內物體的引力為零，求礦井的深度d。在礦井底時，地球對物體的引力相當于一半徑為R－d的球體對物體產生的引力質量均勻分布的球殼對殼內物體引力為零獲取信息關鍵點第二步：找突破口重力加速度是聯系單擺的振動周期和地球對物體引力的橋梁。[審題指導]第一步：抓關鍵點[答案]

(1－k2)R[隨堂鞏固落實]1．彈簧振子在水平方向上做簡諧運動，下列說法中正確的是(

ABD

)A．振子在平衡位置，動能最大，勢能最小B．振子在最大位移處，勢能最大，動能最小C．振子在向平衡位置振動時，由于振子振幅減小，故總機械能減小D．在任意時刻，動能與勢能之和保持不變2．一質點做簡諧運動的圖象如圖所示，下列說法正確的是(

B

)A．質點振動頻率是4HzB．在10s內質點經過的路程是20cmC．第4s末質點的速度為零D．在t＝1s和t＝3s兩時刻，質點位移大小相等，方向相同3．(2012·銀川模擬)在飛機的發展史中有一個階段，飛機上天后不久，飛機的機翼很快就抖動起來，而且越抖越厲害，后來人們經過了艱苦的探索，利用在飛機機翼前緣處裝置一個配重桿的方法，解決了這一問題。在飛機機翼前裝置配重桿的主要目的是(

)A．加大飛機的慣性B．使機體更加平衡C．使機翼更加牢固D．改變機翼的固有頻率解析：當驅動力的頻率與物體的固有頻率相等時，振幅較大，因此要減弱機翼的振動，必須改變機翼的固有頻率，選D。答案：D

4．(2013·青島模擬)彈簧振子做簡諧運動的圖象如圖所示，下列說法不正確的是(

A

)A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向D．在0到5秒內，振子通過的路程為10cm圖12－1－85．(2012·浙江寧波八校聯考)用沙擺可以粗略地描繪簡諧運動圖象。如圖12－1－9所示，木板在水平面內以速度v做勻速直線運動，同時沙擺在豎直平面內做簡諧運動，則沙擺中漏下的細沙在木板上形成振動圖線。現只給一把刻度尺，要求測出木板的速度(漏斗大小忽略不計)，則：圖12－1－9(1)需要直接測量的物理量有________和________(用文字和相應字母表示)。(2)已知當地重力加速度為g，用測出的量表示木板速度的表達式為v＝________。2．一彈簧振子做簡諧運動，它所受的回復力F隨時間t變化的圖象為正弦曲線，如圖所示，下列說法正確的是(

C

)A．在t從0到2s時間內，彈簧振子做加速運動B．在t1＝3s和t2＝5s時，彈簧振子的速度大小相等，方向相反