1第四章：違背基本假設的問題2違背基本假定的各種情形：（1）隨機誤差項序列存在異方差性（heteroskedasticity）；（2）隨機誤差項序列存在自相關性（autocorrelation）；（3）解釋變量之間存在多重共線性(MultiCollinearity)；（4）解釋變量為隨機變量；

回顧：經典線性回歸模型的基本假定條件。3OLS法是否還適用？所得參數的OLS估計量是否還具有優良的統計性質？變量顯著性t檢驗和方程顯著性F檢驗還有效嗎？如果OLS法失效，有哪些補救措施？如何檢驗模型是否違背基本假定條件？建立違背基本假定回歸模型存在的基本問題：

本章主要討論不滿足基本假定中的某一條，而其余假定條件均成立時，多元線性回歸模型參數的有效估計和檢驗問題。

4[內容]共分4節：

§4.1多重共線性

§4.2異方差性

§4.3自相關性

§4.4隨機解釋變量模型[目的]

討論違背基本假定的多元線性回歸模型的建模問題（參數的估計、統計檢驗）。5[要求］1、理解多重共線性、異方差性、自相關性、隨機解釋變量的基本概念；

2、理解違背基本假定的各種情形產生的原因及（利用OLS法估計的）后果；

3、掌握估計各種違背基本假定的多元線性回歸模型的常用估計方法；

4、掌握檢驗模型是否違背基本假定的常用檢驗方法。[教學安排]

共12學時（每講3學時）第一講§4.1

第二講§4.2

第三講§4.3

第四講§4.4和本章小結6§4.1多重共線性基本內容：一、多重共線性的概念二、多重共的后果三、多重共線性的診斷四、多重共線性的處理7

在計量經濟學中所謂的多重共線性，包括完全的多重共線性和不完全的多重共線性對于線性回歸模型一、多重共線性的概念

即8

完全的多重共線性：解釋變量之間存在完全的多重共線性是指，它意味著X的各列是線性相關的，即存在不全為0的數，使得

顯然，解釋變量之間的完全多重共線性也意味著存在某一解釋變量的樣本數據能由其余解釋變量的樣本數據線性表示。若兩個解釋變量的序列線性相關，則解釋變量之間存在完全的多重線性。9

不完全的多重共線性：解釋變量之間存在不完全的多重共線性，是指X的各列是近似線性相關的，即存在不全為0的數，使得

顯然，解釋變量之間存在不完全的多重共線性意味著存在某一解釋變量的樣本數據能由其余解釋變量的樣本數據近似地線性表示。

多重共線性：解釋變量之間的完全多重共線性和不完全多重共線性的統稱，其本質是解釋變量的樣本數據之間存在完全的或近似的線性相關性。10

一個基本結論：

當解釋變量中有兩個變量的樣本數據之間高度相關時，模型就存在較嚴重的多重共線性；但當解釋變量兩兩之間的相關程度都很低時，所有解釋變量之間仍可能存在較嚴重的多重共線性。

問題：在多元線性回歸模型中，解釋變量之間存在多重共線性就是指解釋變量兩兩共線或高度相關，對否？

特例：不可識別的情形。11用矩陣表示：在矩陣表示的線性回歸模型

Y=X+

中，完全共線性指：秩(X)<k+1，從而k+1階方陣X’X是不可逆的。即中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）線性表出。

如：X2=X1，則X2對Y的作用可由X1代替。12

注意：完全共線性的情況并不多見，一般出現的是在一定程度上的共線性，即近似共線性。——完全多重共線性和近似多重共線性統稱多重共線性。能夠進行OLS估計嗎？完全多重共線性意味著13實際經濟問題中的多重共線性

一般地，產生多重共線性的主要原因有以下三個方面：

（1）經濟變量相關的共同趨勢

時間序列樣本：經濟繁榮時期，各基本經濟變量（收入、消費、投資、價格）都趨于增長；衰退時期，又同時趨于下降。橫截面數據：生產函數中，資本投入與勞動力投入往往出現高度相關情況，大企業二者都大，小企業都小。14（2）樣本數據自身的原因

抽樣中僅僅限于總體中解釋變量取值的一個有限范圍，使得變量的變異不大；或者由于總體受限，多個解釋變量的樣本數據之間存在相關性15

（3）滯后變量的引入

在經濟計量模型中，往往需要引入滯后經濟變量來反映真實的經濟關系。

例如，消費=f(當期收入,前期收入）用GDP表示顯然，兩期收入間有較強的線性相關性。16

注意：由于完全符合理論模型所要求的樣本數據較難收集，特定樣本可能存在某種程度的多重共線性。在多元線性回歸模型中我們關心的不是多重共線性是否存在的問題，而是其多重共線性程度的問題。因為在現實的經濟問題中變量之間完全不相關的現象很少見，大多數變量之間或多或少都有一些相關性。

一般經驗：時間序列數據樣本：簡單線性模型，往往存在多重共線性。截面數據樣本：問題不那么嚴重，但多重共線性仍然是存在的。17二、多重共線性的后果

多重共線性的后果，是指當模型存在多重共線性時，利用OLS法估計參數，可能會出現的后果。分如下兩種情形討論：1、完全多重共線性的情形參數的OLS估計量無法確定。

r

XiXj

=1，X為降秩矩陣，|X’X|=0，則(X’X)-1不存在，

(X‘X）-1X'Y不可計算。182、不完全多重共線性的情形

（1）嚴重的多重共線性會使模型的估計結果對數據的微小變化非常敏感，可能出現參數的估計值具有不合理的大小，甚至“錯誤的”符號，使回歸結果不能通過經濟意義檢驗。

rXiXj

1，但rXiXj

1，|X’X|0，仍具有無偏性。

E()=E[(X'X)-1X'Y]=E[(X'X)-1X'(X

+U)]=

+(X’X)-1X’E(U)=Var()=

2(X’X)-1中元素很大，參數標準差的估計值很大，置信區間很大，參數估計的效率降低。19

以二元線性模型

y=1x1+2x2+為例:

恰為X1與X2的線性相關系數的平方r2由于r2

1，故1/(1-r2)1。20多重共線性使參數估計值的方差增大，1/(1-r2)為方差膨脹因子(VarianceInflationFactor,VIF)當完全不共線時,r2

=0

當近似共線時,0<

r2

<1當完全共線時，r2=1，21對于模型：r232的95%置信區間0.000.500.990.999變大的方差容易使區間預測的“區間”變大，使預測失去意義。

（2）對于一定的置信度，由于參數估計量方差的增加，導致樣本回歸函數不穩定，進而可能使得對被解釋變量進行預測的精度下降。22（3）對回歸系數估計參數的顯著性檢驗（t檢驗）失去意義回歸參數估計量的方差（）變大X’X接近降秩矩陣，即

X’X

0存在高度的多重共線性使得t

統計量的值（）變小接受H0:β＝0（回歸系數不顯著）的概率增大

重要的解釋變量被舍去，檢驗失去意義23

多重共線性檢驗的任務是：

（1）檢驗多重共線性是否存在；（2）估計多重共線性的范圍，即判斷哪些變量之間存在共線性。

多重共線性表現為解釋變量之間具有相關關系，所以用于多重共線性的檢驗方法有：如綜合分析法、相關系數檢驗法、輔助回歸檢驗法、條件指數檢驗法等。三、多重共線性的診斷24

當模型的擬合優度（R2）很高，F值很高，但每個回歸參數估計值的方差Var(j)又非常大（即t值很低）時，說明解釋變量間可能存在多重共線性。例如：中國電信業務總量變化的影響因素是郵政業務總量、中國人口數、市鎮人口占總人口的比重、人均GDP、全國居民人均消費水平。

y=24.94+2.16x1–3.03x2+33.7x3+1.29x4-2.03x5+e(0.7)(1.6)(-0.8)(1.0)(1.5)(-1.2)

R2=0.99,F=106.3,DW=3.41.綜合分析法（常用）25

計算解釋變量之間的簡單相關系數rXiXj

；或通過作兩解釋變量之間的散點圖來考察兩變量之間是否存在顯著的線性關系。

2.相關系數檢驗X1X2X3X4X5X1

1.000000

0.989519

0.970025

0.962777

0.970291X2

0.989519

1.000000

0.988234

0.987184

0.988805X3

0.970025

0.988234

1.000000

0.967789

0.965389X4

0.962777

0.987184

0.967789

1.000000

0.998610X5

0.970291

0.988805

0.965389

0.998610

1.000000263.輔助回歸法（方差膨脹因子大于5或者10存在嚴重的多重共線性）Rj2是下面多元輔助回歸模型的可決系數：

Xji=0+1X1i+…+j-1Xj-1i+j+1Xj+1i+…kXki+wi

對于2，輔助回歸模型的可決系數R2=0.9955，方差膨脹因子為：27

**max、min分別表示矩陣A的最大和最小特征值。由于特征根的值受A中各列尺度的影響，實際應用中經常將其各列長度規范化為1。這就是書中將X’X轉換為S(X’X)S的原因。4.條件指數

為判定|X’X|是否接近于零，通常計算其條件指數CI：28

注意:

rank(X’X)=rank(X)。當CI很大時就意味著X’X接近非滿秩，從而X的各列存在嚴重的共線性。實際經驗表明CI>20可認為存在嚴重的多重共線性。29四、多重共線性的處理

當模型存在較嚴重的多重共線性時的處理方法：1、不做處理；2、采用某些補救措施以減弱多重共線性對估計結果的影響。1、不做處理

當模型的估計結果能夠通過經濟意義檢驗，并且變量的顯著性檢驗結果也合理時，多重共線性并不是一個嚴重的問題，可以不做任何處理，或者說，“無為而治”。30

另外，如果研究目的僅在于預測被解釋變量Y的值，而且各個解釋變量之間多重共線性關系的性質在預測期將繼續保持，這時可決系數R2越高，預測就越準確，對多重共線性問題也可以不做處理。

分析：31

若多重共線性導致模型的估計出現了嚴重的后果，則應該采取必要的措施減弱多重共線性引起的不良影響。這里介紹幾類常用的做法：2、補救措施

第一類做法：經驗做法

（1）剔除相對不重要的變量

（2）補充新樣本數據（3）利用先驗信息（4）截面數據和時間序列數據并用（5）變換模型的形式32

時間序列數據、線性模型：將原模型變換為差分模型:將式（1）-式（2）得到

Yi=1X1i+2X2i++kXki+i可以有效地消除原模型中的多重共線性。

一般講，增量之間的線性關系遠比總量之間的線性關系弱得多。這里t可以是任何一個時點，因此對于t-1時點也會有：式（1）式（2）33第二類做法：逐步回歸法

逐步回歸法也稱為Frisch修正法，是處理多重共線性問題的一種常用方法，其基本步驟是：（1）用被解釋變量分別對每一個解釋變量進行線性回歸，依據對解釋變量的重要性、變量的顯著性和的綜合分析，從中選擇一個最合適的回歸模型作為基礎模型。（2）依據變量的重要性，在基礎模型中逐個增加其他解釋變量，每增加一個解釋變量都重新進行線性回歸，并按以下規則決定舍棄還是保留新增加的解釋變量，直至考慮完所有的解釋變量為止。34逐步回歸法添加解釋變量的一般規則：①若樣本回歸函數不能通過經濟意義檢驗，或者明顯地影響了其他變量顯著性檢驗的結果，則說明該解釋變量與其他變量之間具有較嚴重的多重共線性，應該舍棄。②若樣本回歸函數通過了經濟意義檢驗，對其他變量的顯著性t檢驗未帶來什么影響，但未能明顯改進或新增加的解釋變量是不顯著的，則認為該變量是多余的，應該舍棄；

逐步回歸法的缺陷：逐步回歸法在取舍變量上缺乏理論依據，它實際上仍屬于一種經驗做法。③除①、②之外，則保留新增加的解釋變量。

35案例1：關于中國電信業務總量的計量經濟模型（file:coline2）經初步分析，認為影響中國電信業務總量變化的主要因素是郵政業務總量、中國人口數、市鎮人口占總人口的比重、人均GDP、全國居民人均消費水平。用1991-1999年數據建立中國電信業務總量計量經濟模型.363738Lny=24.94+2.16x1–3.03x2+33.7x3+1.29x4-2.03x5(0.7)(1.6)(-0.8)(1.0)(1.5)(-1.2)R2=0.9944,F=106.3,DW=3.4,T=9,(1991-1999),t0.05(3)=3.18,R2=0.99，而每個回歸參數的t檢驗在統計上都不顯著，這說明模型中存在嚴重的多重共線性。3940下面用Klein判別法進行分析。首先給出解釋變量間的簡單相關系數矩陣。因為其中有一個簡單相關系數大于R

2=0.9944，所以根據Klein判別法，模型中存在嚴重的多重共線性。Ln(y)X1X2X3X4X5Ln(y)1.0000x10.98331.0000x20.99380.98951.0000x30.98750.97000.98821.0000x40.98200.96280.98720.96781.0000x50.98150.97030.98880.96540.99861.000041

用逐步回歸法篩選解釋變量。（1）用每個解釋變量分別對被解釋變量做簡單回歸，以可決系數為標準確定解釋變量的重要程度，為解釋變量排序。

Lny=-0.39+2.06x1

(-2.1)(14.3)R2=0.9668,F=204,T=9

Lny=-33.26+2.91x2

(-22.2)(23.6)R2=0.9875,F=555,T=9

Lny=-18.46+70.75x3

(-14.9)(16.6)R2=0.9752,F=275.5,T=9

Lny=-0.49+0.56x4(-2.5)(13.8)R2=0.9644,F=189.7,T=9

Lny=-0.42+1.16x5

(-2.2)(13.5)R2=0.9633,F=183.5,T=942解釋變量的重要程度依次為x2,x3,x1,x4,x5

。（2）以Lny=-33.26-291x2為基礎，依次引入x3,x1,x4,x5

。首先把x3引入模型，Lny=-29.9+2.24x2+16.76x3(-6.9)(2.7)(0.8)

R2=0.988,F=265.5,T=9因為x3的引入使各回歸系數的t值下降，同時x3的系數也未通過t檢驗，所以應剔除x3。接著把x1引入模型，Lny=-33.37+2.92x2–0.007x1(-3.2)(3.2)(-0.01)R2=0.9875,F=237.9,T=943同理剔除x1引入x4Lny=-31.94+2.79x2+0.022x4(-3.4)(3.3)(0.14)

R2=0.9876,F=238.7,T=9同理剔除x4引入x5Lny=-34.97+3.06x2-0.062x5(-3.4)(3.4)(-0.17)R2=0.9876,F=238.7,T=9同理剔除x5，最后確定的模型是

Lny=-33.26+2.91x2(-22.2)(23.6)

R2=0.9875,F=555,T=944例題4.1454647第三類做法：改變參數的估計方法以減小參數估計量的方差

多重共線性造成的主要后果是參數估計量具有較大的方差。為了解決這一問題，計量經濟學家們提出了一些以引入偏誤為代價來提高參數估計量的穩定性的參數估計方法，如嶺回歸法（ridgeregression）、主成分回歸法（principalcomponentsregression）等。48

嶺回歸估計法是借助于OLS估計量的表達式，機械地設定一種具有較小方差的參數估計量以解決多重共線性問題的方法。該方法的吸引力在于用較小的偏誤換來方差的改善。具體做法是令估計量為其中D為主對角線上的元素構成的對角矩陣，r為大于0的常數。該方法的缺陷：在如何確定r值上缺乏令人信服的理論依據，而且對參數的統計推斷也相當復雜。因此，這種方法在實際中并不常用。49

如果回歸的目的在于預測，則多重共線性不是一個嚴重的問題，因為R2越高預測越準確，但是如果回歸的目的不在于預測，而在于參數的可靠性估計，嚴重的多重共線性將成為問題，因為我們看到它會導致估計量的大標準誤。50§4.2異方差性基本內容一、異方差性的概念二、異方差性的類型三、異方差性的來源四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗六、異方差性的修正51(1)同方差的概念：對于模型如果一、異方差性的概念

因為方差是度量被解釋變量Y的觀測值圍繞回歸線的分散程度，因此同方差性指的是所有觀測值的分散程度相同。表示為同方差如果表示為異方差52

對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數，而互不相同，則認為出現了異方差性(Heteroskedasticity)。進一步，把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則53圖形表示：

異方差同方差XXYY密度密度54二、方差性的類型同方差：i2=常數，與解釋變量觀測值Xi無關；異方差：i2=f(Xi)，與解釋變量觀測值Xi有關。異方差一般可歸結為三種類型：單調遞增型：i2隨X的增大而增大單調遞減型：i2隨X的增大而減小復雜型：i2與X的變化呈復雜形式55同方差遞增型異方差遞減型異方差復雜型異方差561.模型中省略了某些重要的解釋變量

假設正確的計量模型是：但由于總體模型是未知的，建立模型時遺漏了X2i，而采用此時，ui*=ui+2X2i

當被略去的X2i與X1i有呈同方向或反方向變化的趨勢時,X2i隨X1i的有規律變化會體現在ui*中。三、異方差性的來源

在模型中忽略了或為減弱多重共線性人為去掉了某些變量，這些變量就歸入了隨機誤差項中，如果它們本身存在異方差性，就可能會導致隨機誤差項出現異方差性。572.模型的設定誤差模型的設定主要包括變量的選擇和模型數學形式的確定。模型中略去了重要解釋變量常常導致異方差，實際就是模型設定問題。除此而外，模型的函數形式不正確，如把變量間本來為非線性的關系設定為線性，也可能導致異方差。3.數據的測量誤差樣本數據觀測誤差的波動性有可能隨研究范圍的擴大而增加，也可能隨著觀測技術的提高和數據處理方法的改進而逐步減小，因此當觀測誤差構成了隨機誤差項的一個主要成分時，隨機誤差項就可能出現異方差性。58

例：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為：Yi=0+1Xi+iYi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規律性，差異較小i的方差呈現單調遞增型變化4.截面數據中各單位的差異通常認為，截面數據較時間序列數據更容易產生異方差。這是因為同一時點不同對象的差異，一般說來會大于同一對象不同時間的差異。不過，在時間序列數據發生較大變化的情況下，也可能出現比截面數據更嚴重的異方差。59

例:以絕對收入假設為理論假設、以截面數據為樣本建立居民消費函數：

Ci=0+1Yi+I

將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數為樣本觀測值。

一般情況下，居民收入服從正態分布：中等收入組人數多，兩端收入組人數少。而人數多的組平均數的誤差小，人數少的組平均數的誤差大。

所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。60例:以某一行業的企業為樣本建立企業生產函數模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產出量Y

解釋變量：資本K、勞動L、技術A，

那么：每個企業所處的外部環境對產出量的影響被包含在隨機誤差項中。每個企業所處的外部環境對產出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規律性變化，呈現復雜型。61四、異方差性的后果1、OLS估計量仍具有線性性、無偏性和一致性622、參數估計量不具有有效性（不再具有最小方差性）

可以證明，在所有線性無偏估計量中，回歸系數OLS估計量的方差不再是最小的。此表明模型的異方差性使回歸系數的OLS估計量的穩定性或估計的精度下降，此時也稱OLS估計量是非有效的。63β的加權最小二乘估計量是最佳線性無偏的（見后文）舉例說明：對于模型64因為，只有當Xi2是和i無關的常數時等式才能成立，因此653、通常的變量的顯著性檢驗失效4、預測精度下降且通常的預測區間不可靠

該分布不成立，這里原因：（1）OLS估計量不再是有效的；t檢驗失效原因：（2）通常建立預測區間依據的分布和不再成立。66五、異方差性的檢驗檢驗思路：

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。

那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。671.定性分析異方差2.Goldfeld-Quandt檢驗3.White檢驗4.Glejser檢驗68用1998年四川省各地市州農村居民家庭消費支出與家庭純收入的數據，繪制出消費支出對純收入的散點圖,其中用表示農村家庭消費支出，表示家庭純收入。1.定性分析異方差（1）利用散點圖做初步判斷。69（2）利用殘差圖做初步判斷。e2Xi0e2Xi0e2Xie2Xie2Xi000702.戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）檢驗該檢驗常用于檢驗遞增型的異方差，且在大樣本容量的前提下使用。（1）將觀測值按遞增的方差排列，根據假設，對于遞增的異方差，可以從按解釋變量X的值按升序排列；（2）略去中間c個值（約為n/4），余下的n-c個分為兩組并分別擬合出回歸方程；

{X1,X2,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn-1,Xn}(n-c)/2c

=n/4

(n-c)/271（3）計算兩個回歸方差的殘差平方和RSS1和RSS2；

自由度

v1=v2=[(n-c)/2]-k-1（4）構造統計量:72（5）給定顯著性水平α，查找臨界值Fα.

若：F>Fα

，則拒絕H0，認為存在遞增型的異方差。F<Fα

，不能拒絕H0，認為隨機誤差項是同方差分布的。樣本a樣本b73注：⑴該檢驗的功效取決于c值，c值越大，則大小方差的差異越大，檢驗功效越好；但是c值太大會使自由度減小，又會降低檢驗的功效，一般經驗n=30，c=4；n=60，c=10。⑵兩個回歸所用的觀測值的個數是否相等并不重要，因為可以通過改變自由度和統計量的計算公式來調整。⑶該檢驗多用于遞增型的異方差，依賴于觀測值是否正確排序。⑷當模型中包含多個解釋變量時，應對每一個解釋變量都進行檢驗。74銷售量和R&D支出（研究了18個行業）：{X1,X2,…,X8,X9,X10,X11,…,X17,X18}

(18-4)/2=7c

=18/44(18-4)/2=7如果中間除去c=3個，如何進行檢驗（假定前面有8個，后面有7個）？v1=v2=7-2=5R&Di=0+1Salesi+uiv2=5，v1=6753、懷特（White）檢驗懷特檢驗是懷特在1980年提出的一種異方差性檢驗方法。在原來殘差與解釋變量線性關系的基礎上再加上解釋變量的平方項與交叉項；因此我們就可以得到輔助回歸模型：通過對這個模型的參數的顯著性檢驗來判斷是否具有異方差性，不存在異方差至少有一個不為0,存在異方差76檢驗步驟：（1）首先對上式進行OLS回歸，求殘差ei（2）做如下輔助回歸（注意包括常數項，計算可決系數R2）：H0：上式ui不存在異方差H1：上式ui存在異方差以二元回歸線性回歸模型為例：77（4）根據臨界值進行判斷若，則不能拒絕H0（ui具有同方差）若，則拒絕H0（ui具有異方差）：（3）在原假設下（不存在異方差）計算統計量：2的自由度為K,K是輔助回歸方程中解釋變量的個數（不包括截距項）78

執行懷特檢驗需要注意以下事項：（1）如果模型中含有虛擬變量，即取值為0、1的人工變量（見第1章），必須舍棄輔助回歸中相同的變量，否則會產生完全多重共線性問題。（2）當解釋變量個數較多時，輔助回歸模型中的解釋變量會相當多，造成輔助回歸估計精度較差，甚至無法進行估計，此時一種處理辦法是去掉輔助回歸中的交叉乘積項。（3）懷特檢驗是基于統計量的漸近分布，因此該檢驗要求樣本為大樣本。794.戈里瑟（Glejser）檢驗

檢驗是否與解釋變量Xt存在函數關系。若有，則說明存在異方差；若無，則說明不存在異方差。基本思想：假設殘差與解釋變量直接存在某種冪函數的關系。

步驟：（1）首先用OLS估計經濟計量模型的回歸系數，求出隨機誤差項ut的估計值et。80（2）用|ei|與解釋變量Xi的不同冪次進行回歸（|ei|為被解釋變量，Xi為解釋變量）。常用形式有：ei=a0+a1

Xiei=a0+a1Xi2ei=a0+a1,ei=a0+a11/Xi,

….

利用樣本可決系數R2，t統計量進行顯著性檢驗，若有通過檢驗的模型，則說明原計量模型存在該種形式的異方差。81特點：（1）既可以檢驗遞增型的異方差，也可以檢驗遞減型的異方差；（2）一旦發現異方差，同時也發行了異方差的具體表現形式；（3）該檢驗是探測性的，如果試驗模型選擇的不好，則不易檢測出是否存在異方差；（4）比較繁瑣，需要對各種可能的形式做試驗。821.方差2已知時，加權最小二乘法（WLS）（1）誤差項方差已知的加權最小二乘法（2）誤差項方差隨一個自變量變化時的加權最小二乘法2.方差2未知時，異方差的修正（1）可行的加權最小二乘法（2）異方差——穩健性估計程序六、異方差的修正831.方差已知的加權最小二乘法（WLS）對于多元回歸模型：為修正異方差,可做一下變換:變換后的模型為（注意沒有截距項）：j＝1,2,…,k令：（1）方差已知的加權最小二乘法84現在我們來看對加權模型的最小二乘估計（OLS）的殘差平方和——加權殘差平方和

從這里可以看出，變化后的殘差平方和給原來的殘差進行了加權，權數為隨機誤差項方差的倒數，來自較大方差的觀測值得到了較小的加權，而來自較小方差的觀測值得到了較大的加權。即：85（2）誤差項方差隨一個自變量變化時的加權最小二乘法

有一種可能性是回歸模型誤差項的方差與一個解釋變量取值直接存在某種關系，特別地，假設：其中，hi是多元線性模型中某個解釋變量的函數：

我們將模型兩側同時除以：

86變換后的模型為（注意沒有截距項）：j＝1,2,…,k令：可以看出，變換后的誤差項具有相同的方差，因為：87原來的常數項變成了偏回歸系數，而變量X2的斜率變成了新的常數項。變換后的模型具有相同的方差，OLS估計量是一個BLUE。注意，最終給出估計模型，并對這些參數進行經濟解釋時，要將這些參數的值代入原始的模型之中。例如，2所反映的依然是，其他條件不變的情況下，變量X2對被解釋變量Y的邊際影響。考慮兩種特殊情況：即：（1）88

變換后的模型增加了一個解釋變量，但沒有常數項，因而，利用Eviews進行回歸時，注意，不要輸入代表常數項的c。（2）89XeXe90銷售量和R&D支出（研究了18個行業）：R&Di=-235.61+0.036Salesi+eis.e=(383.63)(0.007)

R2=0.3549D.W.=2.89估計結果為：模型寫作：-8000-6000-4000-200002000400060008000050000100000200000300000Sales912、方差2未知時，異方差的修正

在實際應用中，中的通常是未知的，含有未知的參數，不能直接應用WLS法估計模型。對于這種情形，通常采用可行的加權最小二乘法（FWLS：feasibleweightedleastsquares），92

可行的加權最小二乘估計量的性質：在一定的基本假定條件下，可行的加權最小二乘估計量服從漸近正態分布，并且是一致且漸近有效的。估計過程：首先，依據樣本數據得到中參數的一致估計量，進而得到的估計值；其次，以為權序列進行WLS法的估計過程，得到原模型中參數的估計量和樣本回歸函數。由可行的加權最小二乘法得到的估計量稱為可行的加權最小二乘估計量。（1）可行的加權最小二乘法93

方法之二：利用OLS法回歸原模型得到殘差序列，直接令

方法之一：依據異方差性檢驗中提供的信息將設定為含有未知參數的解釋變量的函數形式，然后通過建立回歸模型得到。

關于權序列的估計：94

注意：

（1）基于適當的權序列（如基于正確設定的的函數表達式得到的）的可行的加權最小二乘估計量具有良好的大樣本性質，通常進行的統計推斷也是可靠的；與之相反，基于一個糟糕的權序列，盡管仍能得到參數的一致估計量，但其有效性可能會比OLS估計量還要差。（2）可行的加權最小二乘法適合于大樣本的情形，當樣本容量較小時，其與OLS法相比哪一個更有效是未知的。95（2）基于OLS法的懷特異方差-穩健性估計程序

利用OLS法估計存在異方差性的模型，所得參數估計量仍具有無偏性和一致性，但通常的t檢驗是失效的，造成這一后果的根本原因是,構造t統計量所依據的參數估計量標準差的估計量是不合適的。為此，在未知異方差性表現形式的情形下，懷特（1980）提出了的一致估計量（稱之為的異方差-穩健性方差-協方差估計量):96其中為利用OLS法回歸原模型得到的第i個觀測點上的殘差，.矩陣主對角線上的第j+1個元素即為的一致估計量，記為

異方差-穩健性t統計量：

在大樣本的情形下，利用異方差-穩健性t統計量便可以對進行假設檢驗。97

關于異方差性模型估計的幾點說明：

（1）引進參數的異方差-穩健性方差估計量的目的是糾正在參數統計推斷上存在的問題，但其參數的估計量仍是非有效的OLS估計量。因此，盡管這種估計程序不要求知道隨機誤差項的異方差性，具有廣泛的實用性，但它不能替代（可行的）加權最小二乘法，因為當異方差性已知或其中的參數可以一致的估計時，（可行的）加權最小二乘估計量是（漸近）有效的估計量。98

（2）無論是可行的加權最小二乘估法還是基于OLS法的異方差-穩健性估計程序，都是適用于大樣本的情形。對于小樣本的情形，這些處理異方差性的方法與OLS法相比，哪一個更有效并沒有一般的結論。但參考異方差-穩健性方差的估計量，可以幫助我們判斷是否有些結論對所使用的方差估計量有敏感的反應。

99

（3）對于大樣本的情形，由于異方差-穩健性方差的估計量是對OLS估計量的方差的漸近估計，而利用一個合適的權序列所得到的可行的加權最小二乘估計量是漸近有效的，因此它的方差通常應該小于異方差-穩健性方差的估計量。由此可以通過比較異方差-穩健性方差的估計量與可行的加權最小二乘法的方差估計量，為權序列的選擇提供基本依據。100案例--中國農村居民人均消費函數

例：中國農村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農村人均純收入包括(1)從事農業經營的收入，(2)包括從事其他產業的經營性收入(3)工資性收入、(4)財產收入(4)轉移支付收入。考察從事農業經營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農村居民消費支出(Y)增長的影響:101102普通最小二乘法的估計結果：異方差檢驗103進一步的統計檢驗(1)G-Q檢驗

將原始數據按X2排成升序，去掉中間的7個數據，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：子樣本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子樣本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729104計算F統計量：

F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表給定=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=2.97

判斷

F>F0.05(9,9)

否定兩組子樣方差相同的假設，從而該總體隨機項存在遞增異方差性。105（2）懷特檢驗作輔助回歸:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47) R2=0.4638似乎沒有哪個參數的t檢驗是顯著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值20.05(5)=11.07，拒絕同方差性

(-1.11)106去掉交叉項后的輔助回歸結果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2項與X2的平方項的參數的t檢驗是顯著的，且

nR2

=310.4374=13.56=5%下，臨界值20.05(4)=9.49

拒絕同方差的原假設

107

原模型的加權最小二乘回歸

對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量ěi，以此構成權矩陣2W的估計量；再以1/|

ěi|為權重進行WLS估計，得各項統計檢驗指標全面改善108習題：以每天抽煙支數（cigs）為因變量，主要關注的影響因素包括收入（income）、香煙價格（cigpric）、教育水平（educ）和年齡（age），建立香煙的日需求函數模型：cigs=b0+b1ln(income)+b2ln(cigpric)+b3educ+b4agec+b5age2+u利用807個調查數據，對模型進行OLS估計，結果如下：請回答以下問題（顯著水平為5%，t0.05()=1.65，t0.025()=1.96）：（1）解釋模型中ln(cigpric)系數的經濟含義。（2）大約到多大歲數，抽煙數量開始隨著年齡增長有所下降？（3）利用White檢驗考察u的異方差性，輔助回歸的可決系數為0.0519，Eviews輸出結果如下：109

給出圖中空格處的數值，并檢驗模型擾動項是否存在異方差。（4）假定u的方差隨著educ的變化而變化，具體形式為：

Var(u)=2educ

如何修正異方差？給出簡要步驟，并說明修正后的模型滿足同方差假定（5）為修正異方差，對模型進行WLS估計，結果如下：

分別利用模型（1）和模型（2）的估計結果檢驗log(income)的統計顯著性。你認為收入對香煙需求有顯著影響嗎？給出你的理由。（6）檢驗香煙價格影響的顯著性，結論與你的預期相符嗎？給出你的理由。（括號內為對應系數的標準差）

110§4-3：自相關基本內容一、自相關性的概念二、自相關性的來源三、自相關性后果四、自相關性檢驗五、自相關性的補救方法六、自相關系數的估計111無自相關假設——回歸模型的假定條件之一：即誤差項ut的取值在時間或空間上是相互無關的，誤差項ut非序列相關（不存在自相關）如果則稱誤差項ut存在自相關。概念：總體回歸模型的隨機誤差項之間存在相關關系。一、自相關性的概念

自相關的概念112

其中：被稱為自協方差系數（coefficientofautocovariance）或自相關系數（first-ordercoefficientofautocorrelation）

ωi是滿足以下標準的OLS假定的隨機干擾項：

自相關往往可寫成如下形式：

由于自相關性經常出現在以時間序列為樣本的模型中，因此，本節將用下標t代表i。113

一階自回歸誤差項線性一階自回歸形式：可以證明：

=

即：一階自回歸形式的自回歸系數＝ut和ut-1的自相關系數。φ的取值范圍是[-1，1]當φ0時，稱ut

存在正自相關；當φ0時，稱ut存在負自相關；當φ=0時，稱ut不存在自相關。114p階自回歸

當誤差項ut的本期值不僅與其前一期值有關，而且與其前若干期的值都有關系時，即：

ut=f(ut–1,ut–2,…),則稱ut具有高階自相關。通常假定誤差項的自相關是線性的。因計量經濟模型中自相關的最常見形式是一階自回歸形式，所以下面重點討論誤差項的線性一階自回歸形式。115二、自相關性的來源自相關產生的原因1、經濟系統的慣性2、設定偏誤3、數據處理造成的相關4、蛛網現象

116

如GDP、價格、就業、生產等經濟指標都會隨經濟系統的周期而波動。例如，在經濟高漲時期，較高的經濟增長率會持續一段時間，而在經濟衰退期，較高的失業率和較低的經濟增長也會持續一段時間，也就是相繼的觀測值很可能是相依賴的。這種現象就會表現為經濟指標的自相關現象。原因1－經濟系統的慣性

自相關現象大多出現在時間序列數據中，而經濟系統的經濟行為都具有時間上的慣性。117原因2－設定偏誤例如，應該用兩個解釋變量解釋Y，即:

如果模型中省略了某些重要的解釋變量或者模型函數形式不正確，都會產生系統誤差，這種誤差存在于隨機誤差項中，從而帶來了自相關。由于該現象是由于設定失誤造成的自相關，因此，也稱其為虛假自相關。118而建立模型時，模型設定為:

則X3t對Yt的影響在上式中便歸入隨機誤差項ut中，由于X3t在不同觀測點上是相關的，這就造成了ut在不同觀測點是相關的，呈現出系統模式，此時ut是自相關的。119

因為某些原因對數據進行了修整和內插處理，在這樣的數據序列中就會有自相關。

例如，將月度數據調整為季度數據，由于采用了加合處理，修勻了月度數據的波動，使季度數據具有平滑性，這種平滑性產生自相關。對缺失的歷史資料，采用特定統計方法進行內插處理，使得數據前后期相關，產生了自相關。原因3－數據處理造成的相關120

許多農產品的供給呈現為蛛網現象

蛛網現象是微觀經濟學中的一個概念。它表示某種商品的供給量受前一期價格影響而表現出來的某種規律性。原因4－蛛網現象供給t=β1+β2Pt-1+ut121注意：模型形式設定偏誤也會導致自相關現象。如將“U”形成本曲線設定為線性成本曲線，則必定會導致自相關。由設定偏誤產生的自相關是一種虛假自相關，可通過改變模型設定予以消除。自相關關系主要存在于時間序列數據中，但是在橫截面數據中，也可能會出現自相關,通常稱其為空間自相關（Spatialautocorrelation）。122

設隨機誤差項具有零均值、同方差，且與獨立，但存在序列相關性。在普通最小二乘法下計算得到三、自相關性的后果

在模型存在自相關性的情形下，回歸系數的OLS估計量為仍然具有線性性、無偏性和一致性。盡管如此，采用OLS法估計存在自相關性的模型會產生以下后果：1、參數估計值仍然是無偏的以一元線性回歸模型為例，其模型為123

1242、OLS估計量不再具有最小方差性

可以證明，在所有線性無偏估計量中，回歸系數OLS估計量的方差不再是最小的。此表明模型的自相關性使回歸系數OLS估計量的穩定性或精確性下降，此時也稱OLS估計量是非有效的。舉例說明：設模型為β的OLS估計量為125利用廣義最小二乘法得到的β的最佳線性無偏估計量為比較結果：126回歸參數不再具有最小方差（）可能低估隨機誤差項的方差σ2隨機誤差項ut存在自相關t

統計量值，F統計量值不可靠變量或者方程的顯著性檢驗失去意義3、通常的變量和方程的顯著性檢驗失效

1274、預測精度下降且通常的預測區間不可靠，

當模型存在自相關性時，

回歸系數估計的有效性下降，導致對Y的基于樣本回歸函數的預測精度下降。

不再成立，從而基于此所建立的預測區間將不再可靠。和128

四、自相關的檢驗1.圖示法……2.杜賓－瓦德森檢驗（DW檢驗）……3.LM檢驗……129圖示檢驗法

圖示法是一種直觀的診斷方法，它是把給定的回歸模型直接用普通最小二乘法估計參數，求出殘差項et,et作為ut隨機項的真實估計值，再描繪et的散點圖，根據散點圖來判斷et的相關性。殘差et的散點圖通常有兩種繪制方式。130圖1et與et-1的關系繪制et-1

,et

的散點圖。用(et-1

,et

)（t=1,2,…n）作為散布點繪圖，如果大部分點落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明隨機誤差項ut存在著正自相關，如圖1所示。的散點圖1.繪制etet-1131

如果大部分點落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么隨機誤差項ut存在著負自相關，如圖2所示。圖2et與et-1的關系etet-1

132

如果觀測點隨意落在各個象限，沒有固定的規則，那么隨機誤差項ut不存在自相關，如圖3所示。圖3et與et-1的關系et-1et133圖4et的分布按照時間順序繪制回歸殘差項et

的圖形。如果et(t=1,2,…,n)隨著t的變化逐次有規律地變化，呈現鋸齒形或循環形狀的變化，就可斷言et存在相關，表明存在著自相關；如果et隨著t的變化逐次變化并不斷地改變符號，那么隨機誤差項ut存在負自相關；如圖4所示。2.按時間順序繪制殘差圖

134圖5et的分布如果et隨著t的變化逐次變化并不頻繁地改變符號，而是幾個正的et后面跟著幾個負的，則表明隨機誤差項存ut

在正自相關，如圖5所示。135圖6et的分布如果et隨著t的變化無系統性變化模樣，符合經典線性回歸模型的無相關性假定。如圖6所示。136DW檢驗法DW檢驗是J.Durbin(杜賓)和G.S.Watson(沃特森)于1951年提出的一種檢驗方法。DW檢驗只能用于檢驗隨機誤差項具有一階自回歸形式的自相關問題。這種檢驗方法是建立經濟計量模型中最常用的方法，一般的計算機軟件都可以計算出DW值。137

(1)(2)(3)隨機誤差項的一階自回歸形式為：為了檢驗序列的相關性，構造的原假設和備擇假設是：

為了檢驗上述假設，構造DW統計量首先要求出回歸估計式的殘差et

定義DW統計量為：（無自相關性）（存在自相關性）138DW值的取值范圍

在認為：

則：(4)(5)

其中一階自回歸中ψ=ρ所以：DW=2（1-ρ）139因此，。所以，DW值與的對應關系如表1所示。

4(2,4)2(0,2)0-1(-1,0)0(0,1)1DW由上述討論可知DW的取值范圍為：０≤DW≤４

根據樣本容量n和解釋變量的數目k′(不包括常數項)查DW分布表，得臨界值

dL

和dU，然后依下列準則考察計算得到的DW值，以決定模型的自相關狀態。140誤差項u1,u2,…,un間存在負相關

４－dL≤DW≤４不能判定是否有自相關

４－dU≤DW＜４－dL誤差項u1,u2,…,un間無自相關

dU＜DW＜４－dU不能判定是否有自相關

dL＜DW≤dU誤差項u1,u2,…,un間存在正相關

０≤DW≤dLDW檢驗決策規則141不能確定正自相關無自相關不能確定負自相關DW44-dL4-

dU2dUdLDW檢驗示意圖可以用坐標圖更加直觀地表示出來：0f(DW)142

需要注意的是，DW檢驗盡管有著廣泛的應用，但也有明顯的缺點和局限性。DW檢驗有兩個不能確定的區域，一旦DW值落在這兩個區域，就無法判斷。這時，只有增大樣本容量或選取其他方法；DW統計量的上、下界表要求n≥15，這是因為樣本如果再小，利用殘差就很難對自相關的存在性做出比較正確的診斷；DW檢驗不適應隨機誤差項具有高階序列相關的檢驗；143只適用于有常數項的回歸模型并且解釋變量中不能含滯后的被解釋變量。解釋變量X非隨機【殘差中包含了X的組合，X隨機會使統計量的分布復雜化】回歸含有截距項【保證殘差均值為0】144例題：真實工資和勞動生產率（1959-2002，美國）

wt=29.57+0.70pt+et

s.e=(1.46)(0.02)R2=0.9755F=1674.30 DW=0.21查表得（5%的顯著水平）：

dL=1.475dU=1.566DW=0.21<1.474，在5%的顯著水平下，拒絕零假設，即存在正的自相關。145LM（BG）檢驗

該檢驗由布勞殊和格弗雷（Breusch-Godfrey）提出，適用于任何階數的自相關。考慮回歸模型及其隨機誤差項的p階自回歸形式：

146過程：

（1）提出原假設和備擇假設：

H0：1

=2=…=p=0

H1：至少一個j不等于0，j=1,2,…,n（2）用給定樣本估計模型并計算殘差et，并對殘差序列et

,(t=1,2,…,n)建立p階自回歸模型

（3）估計上式，并確定回歸樣本可決系數R2。構造LM統計量。LM=nR2~2(p)147（4）根據臨界值進行判斷：若LM=nR2

2(p)，不能拒絕H0，認為隨機誤差項不存在自相關；若LM=nR2>

2(p)，拒絕H0，認為隨機誤差項存在自相關；148例題：真實工資和勞動生產率（1959-2002，美國）

wt=29.57+0.70pt+et

s.e=(1.46)(0.02)R2=0.9755F=1674.30 DW=0.21

檢驗一階自相關，H0：1=0；H1：1

0 LM=44*0.71=31.432(1)

檢驗二階自相關，H0：1=2=0；

H1：1

0或20 LM=44*0.72=31.512(2)1491.廣義最小二乘法

對于模型

Y=X+u

如果存在序列相關，或者存在異方差，即有是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣P，使得

=PP’五、自相關的補救方法150變換原模型：即(*)式的OLS估計：

該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性：151

這就是原模型的廣義最小二乘估計量(GLSestimators)，是無偏的、有效的估計量。

首先，得到的一致估計量，然后，應用替換GLS法估計過程中的

，進而得到參數的估計量。GLS估計量的性質：在一定的基本假定條件下，可行的GLS估計量是一致且漸近有效的。

當未知時，可行的GLS法：1522.廣義差分法

對于自相關的結構已知的情形可采用廣義差分法解決。

由于隨機誤差項ut是不可觀測的，通常我們假定ut為一階自回歸形式，即ut

=ρut-1+vt其中，|ρ|<1，vt為經典誤差項。

當自相關系數為已知時，使用廣義差分法，自相關問題就可徹底解決。我們以一元線性回歸模型為例說明廣義差分法的應用。 153對于一元線性回歸模型(1)將模型（1）滯后一期可得(2)用ρ

乘式（2）兩邊，得(3)154用式（1）減去式（3）可得(4)模型，隨機誤差項無序列相關。式（10）中，ut－ρut-1=vt

是經典誤差項。因此，模型（4）已經是經典線性回歸令

155則式（4）可表示為：(5)

對模型（5）使用普通最小二乘估計就會得到參數估計的最佳線性無偏估計量。

式（4）稱為廣義差分方程，因為被解釋變量與解釋變量均為現期值減去前期值的一部分，由此而得名。156補充到差分序列中，再使用普通最小二乘法估計參數。

在進行廣義差分時，解釋變量X與被解釋變量Y均以差分形式出現，因而樣本容量由n減少為n－1，即丟失了第一個觀測值。如果樣本容量較大，減少一個觀測值對估計結果影響不大。但是，如果樣本容量較小，則對估計精度產生較大的影響。此時，可采用普萊斯－溫斯滕（Prais-Winsten）變換，將第一個觀測值變換為157六、自相關系數的估計1、杜賓兩步法

進行廣義差分變換的前提是已知ρ的值。但是隨機誤差項的自相關系數，μt的值是不可以觀測的，使得ρ的值也是未知的。所以利用廣義差分法處理序列相關性時，首先需要估計出ρ的值。這可以用杜賓（Durbin）兩步估計法。158如果隨機誤差項μt存在h階自回歸形式的序列相關，即當時，便可利用杜賓兩步法對μt的相關系數ρ進行估計。(6)我們以一元線性回歸模型為例，對于模型159第一步，對（6）式進行差分變換，可得整理，可得(7)(8)160第二步：應用普通最小二乘法對包含被解釋變量及解釋變量的滯后變量在內的模型（8）式進行估計，求出隨機誤差項μt的自相關系數ρi的估計值。再將ρi的估計值，代入（7）式，可得(9)對（9）式回歸，得到βi的估計值。1612、用DW的值計算ρ的值由（6）式可得：

首先利用殘差求出DW的值，然后利用上式進行變化可得：3、從殘差中估計ρ的值以一元線性回歸模型為例，對于模型ut

=ρut-1+vt若為一階自回歸AR(1),直接做如下回歸即：得到ρ的估計值162年份全年人均純收入(現價)

全年人均消費性支出(現價)消費價格指數(1985=100)人均實際純收入(1985可比價)人均實際消費性支出(1985可比價)1985397.60317.42100.0397.60317.401986423.80357.00106.1399.43336.481987462.60398.30112.7410.47353.421988544.90476.70132.4411.56360.051989601.50535.40157.9380.94339.081990686.30584.63165.1415.69354.111991708.60619.80168.9419.54366.961992784.00659.80176.8443.44373.191993921.60769.70201.0458.51382.94表1985-2003年農村居民人均收入和消費單位：元

163

年份全年人均純收入(現價)全年人均消費性支出(現價)消費價格指數(1985=100)人均實際純收入(1985可比價)人均實際消費性支出(19