山西省忻州市寧遠中學高一數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則（）A.2 B.－2 C. D.參考答案：A【分析】根據同角三角函數關系可將式子變為關于的式子，代入求得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查利用同角三角函數關系解決與、有關的齊次式問題，屬于基礎題.2.設m，n是平面α內的兩條不同直線，l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則以下能夠推出α∥β的是（）A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2參考答案：B【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】根據面面平行的判定定理即可得出．【解答】解：若m∥l1，則l1∥α，若n∥l2，則l2∥α，又l1，l2是平面β內的兩條相交直線，∴α∥β．故選B．3.已知隨機變量x，y的值如下表所示，如果x與y線性相關，且回歸直線方程為，則實數b的值為（

）x234y546A．

B．

C．

D．參考答案：D根據所給數據，得到，，∴這組數據的樣本中心點是（3,5），∵線性回歸直線一定過樣本中心點，，解得.

4.已知函數，且，則下列不等式中成立的是A．

B．C．

D．參考答案：C5.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，則（?UA）∩B為（）A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}參考答案：A【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】由全集U及A求出A的補集，找出A補集與B的交集即可【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，∴?UA={0，4}，則（?UA）∩B={0，4}．故選：A【點評】本題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，屬于基礎題．6.已知集合，，下列不表示從到的映射的是（

）

參考答案：B略7.函數y=sinx的一個遞減區間是（）A．（0，π） B． C． D．（π，2π）參考答案：B【考點】H2：正弦函數的圖象．【分析】根據正弦函數的圖象與性質，即可判斷是否為y=sinx的遞減區間．【解答】解：函數y=sinx的遞減區間是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴[，]是函數y=sinx的一個遞減區間．故選：B．8.已知，且，則等于（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先根據已知條件求得值，然后求得的值，由此求得題目所求表達式的值.【詳解】依題意，由及，解得，故，故選B.【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.9.若｜｜=1，｜｜=2，=，且，則與的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°參考答案：C【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】設與的夾角為θ，0≤θ≤π，由，可得=0，再利用兩個向量的數量積的定義求得cosθ=﹣，由此可得θ的值．【解答】解：設與的夾角為θ，則0≤θ≤π，∵，∴=0．再由=（）?=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，∴θ=，即θ=120°，故選C．10.為了得到函數的圖像，需要把函數圖像上的所有點（

）A.橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位長度B.橫坐標伸長到原來的倍，再向右平移個單位長度C.橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度D.橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系xOy中,經過點P(1,1)的直線l與x軸交于點A,與y軸交于點B.若,則直線l的方程是

.參考答案：設，由，可得，則，由截距式可得直線方程為，即，故答案為.

12.設集合，若，則x的值_______________.參考答案：略13.中的滿足約束條件則的最小值是

參考答案：14.給出以下命題：①若均為第一象限，且，則；②若函數的最小正周期是，則；③函數是奇函數；④函數的最小正周期是.其中正確命題的序號為___________.參考答案：②④試題分析：①不正確，反例當時，結論就不成立，主要是混淆了區間角與象限角這兩個概念；②正確，由，得；③不正確，因為函數的定義域不關于坐標原點對稱，所以不具有奇偶性；④正確，運用變換的知識作出，通過圖象可以發現它的最小正周期，并沒有改變，仍然與一樣，還是，最后，其中正確命題的序號為②④.考點：三角函數的圖象與性質.15.數列的前n項和，則通項公式

；參考答案：

16.已知D是不等式組所確定的平面區域，則圓在區域D內的弧長為

.參考答案：略17.定義：如果函數在定義域內給定區間上存在，滿足，則稱函數是上的“平均值函數”，是它的一個均值點，如是上的平均值函數，0就是它的均值點.現有函數是上的平均值函數，則實數的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某企業生產，兩種產品，根據市場調查與預測，品的利潤與投資成正比，其關系如圖一；產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖二(注：利潤和投資單位：萬元)，(1)分別將、兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；(2)該企業已籌集到18萬元資金，并全部投入，兩種產品的生產，①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元.參考答案：(1)設甲乙兩種產品分別投資x萬元(x0)，所獲利潤分別為f(x)、g(x)萬元由題意可設f(x)=,g(x)=∴根據圖像可解得

f(x)=0.25x，g(x)=…3/(沒有定義域扣1分)(2)①由Ⅰ得f(9)=2.25，g(9)==6,∴總利潤y=8.25萬元

②設B產品投入x萬元，A產品投入18－x萬元，該企業可獲總利潤為y萬元，則

y=(18－x)+，其中0x18令=t，其中

則y=(－t2+8t+18)=+∴當t=4時，ymax==8.5，此時x=16,18-x=2∴A、B兩種產品分別投入2萬元、16萬元，可使該企業獲得最大利潤8.5萬元.19.已知函數f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和單調遞增區間（Ⅱ）若關于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】GL：三角函數中的恒等變換應用．【分析】（I）先根據誘導公式以及二倍角公式，輔助角公式對函數化簡，再結合正弦函數的周期以及單調性的求法即可得到結論；（II）先根據正弦函數的單調性求出f（x）的值域，再把方程有解轉化為f（x）與m+2的取值范圍相同即可求實數m的取值范圍．【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（+2x）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）+1．∴周期T=π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，∴單調遞增區間為[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，所以f（x）的值域為[2，3]，而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]20.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是AD，DD1的中點，AB=BC=2，過A1，C1，B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD﹣A1B1C1D1，且這個幾何體的體積為．（1）求證：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的長；（3）在線段BC1上是否存在點P，使直線A1P與C1D垂直，如果存在，求線段A1P的長，如果不存在，請說明理由．參考答案：【考點】LS：直線與平面平行的判定；L2：棱柱的結構特征．【分析】（1）法一：連接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，可證四邊形A1BCD1是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；法二：根據長方體的幾何特征由平面A1AB∥平面CDD1C1．證得A1B∥平面CDD1C1．（2）設A1A=h，已知幾何體ABCD﹣A1C1D1的體積為，利用等體積法VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，進行求解．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，過Q作QP∥CB交BC1于點P，推出A1P⊥C1D，證明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求線段A1P的長．【解答】證明：（1）證法一：如圖，連接D1C，∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴A1D1∥BC且A1D1=BC．∴四邊形A1BCD1是平行四邊形．∴A1B∥D1C．∵A1B?平面CDD1C1，D1C?平面CDD1C1，∴A1B∥平面CDD1C1．證法二：∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴平面A1AB∥平面CDD1C1．∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1．∴A1B∥平面CDD1C1．解：（2）設A1A=h，∵幾何體ABCD﹣A1C1D1的體積為，∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即SABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的長為4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，過Q作QP∥CB交BC1于點P，則A1P⊥C1D．因為A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P?平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四邊形A1PQD1為直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21.（12分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．（1）求A∪B；（2）若A∩C≠，求a的取值范圍．參考答案：考點： 交集及其運算．專題： 集合．分析： （1）根據并集運算即可求A∪B；（2）若A∩C≠，根據集合關系即可求a的取值范圍．解答： （1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|1＜x≤8}；（2）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，∴若A∩C≠，則a＜8，即a的取值范圍是（﹣∞，8）．點評： 本題主要考查集合的基本運算和集合關系的應用，比較基礎．22.（本題滿分１２分）