山西省忻州市偏關縣樓溝鄉曹家村中學2023年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設（其中e為自然對數的底數），則的值為（）A．B．C．D．參考答案：A考點：定積分．專題：計算題．分析：因為f（x）為分段函數，分別在各區間對f（x）積分，相加可得所求的值．解答：解：∫0ef（x）dx=∫01x2dx+∫1edx=x3|01+lnx|1e=﹣0+lne﹣ln1=+1=．故選A點評：本題為基礎題，要求學生會進行積分運算．做題時學生應注意f（x）是分段函數，所以要分兩部分積分．2.如圖，平面內的兩個單位向量，它們的夾角是60°，與、向量的夾角都為，且||=，若，則值為（）A．2 B．4 C． D．參考答案：B略3.已知函數的值域A,函數≤0)的值域是B,則(

)A．

B．

C．∩B=

D．∩B={1}參考答案：C4.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：直線與平面所成的角．專題：計算題．分析：以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用與平面AB1C1所的一個法向量的夾角，求出則BB1與平面AB1C1所成的角．解答： 解：以B為坐標原點，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標系，則A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．設平面AB1C1所的一個法向量為=（x，y，z）則即，取z=1，則得=（，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1與平面AB1C1所成的角的正弦值為，∴BB1與平面AB1C1所成的角為故選A．點評：本題考查線面角的計算，利用了空間向量的方法．要注意相關點和向量坐標的準確性，及轉化時角的相等或互余關系．5.已知命題p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，則￢p是(

) A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0參考答案：C考點：命題的否定．專題：簡易邏輯．分析：由題意，命題p是一個全稱命題，把條件中的全稱量詞改為存在量詞，結論的否定作結論即可得到它的否定，由此規則寫出其否定，對照選項即可得出正確選項解答： 解：命題p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故選：C．點評：本題考查命題否定，解題的關鍵是熟練掌握全稱命題的否定的書寫規則，本題易因為沒有將全稱量詞改為存在量詞而導致錯誤，學習時要注意準確把握規律．6.設集合,,

則A∩B=

A．

B.C.

D.參考答案：D略7.設則

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B8.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4}，則A∩B=

（）A.{2,4}

B.{1,3}

C.{1,2,3,4}

D.{1,4}參考答案：A由交集的定義選A.9.已知為等比數列，下面結論種正確的是（A）a1+a3≥2a2

（B）

（C）若a1=a3，則a1=a2（D）若a3＞a1，則a4＞a2參考答案：B當，，時，可知，，，所以A選項錯誤；當時，C選項錯誤：當時，，與D選項矛盾，因此描述均值定理的B選項為正確答案，故選B。10.函數在上的圖象與x軸交于點A，過點A的直線l與函數的圖象交于點B、C兩點，則（

）A．

B．

C．32

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a∈(，)，tanα=2，則cos2α=

.參考答案：12.公差為1的等差數列滿足，則的值等于

。參考答案：1813.（5分）（2015?萬州區模擬）設雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，若雙曲線上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，則雙曲線的離心率等于．參考答案：【考點】：雙曲線的簡單性質．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：根據|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨設|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由雙曲線的定義和離心率公式，計算即可得到．解析：根據|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨設|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由雙曲線的定義可得2a=|PF1|﹣|PF2|=3m，又2c=|F1F2|=5m，則雙曲線的離心率等于=，故答案為：．【點評】：本題主要考查雙曲線的定義，考查雙曲線的離心率，屬于基礎題．14.已知是定義在上的奇函數,則的值域為

.參考答案：15.若（其中為整數），則稱為離實數最近的整數，記作，即．（1）若，則的值域是

；（2）設集合，，若集合的子集恰有個，則實數的取值范圍是

.參考答案：；或.（1）當時，，.故填.（2）由條件知是周期為的周期函數，由周期性可作出其圖象.又集合的子集恰有個，即中只有兩個元素.作出和的圖象如圖所示，則有

或，即或.故填或.【解題探究】本題是一道涉及創新定義、體現數形結合的小綜合題．解題關鍵是理解“離實數最近的整數”的數學意義，第（2）問由條件得到函數的周期性是解題的突破，這樣可以得到函數的圖象，從而求出實數的取值范圍.另外解題中還要注意特殊點的選取，對應區間端點是否取得.16.若變量，滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：17.如圖所示，是定義在區間上的奇函數，令，并有關于函數的四個論斷：①若，對于內的任意實數，恒成立；②函數是奇函數的充要條件是；③任意，的導函數有兩個零點；④若，則方程必有3個實數根；其中，所有正確結論的序號是________參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，為上一點，點在直徑的延長線上，過點作的切線交的延長線于點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求的半徑．參考答案：(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).（Ⅱ）∵，∴．在中，有，則，由（Ⅰ）得，∴．∴，即的半徑為3．……………10分考點：圓冪定理及運用．19.（本小題滿分12分）（理）在平面內，不等式確定的平面區域為，不等式組確定的平面區域為.（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”.在區域中任取3個“整點”，求這些“整點”中恰好有2個“整點”落在區域中的概率；（2）在區域中每次任取一個點，連續取3次，得到3個點，記這3個點落在區域中的個數為，求的分布列和數學期望．參考答案：（1）依題可知平面區域的整點為：共有13個，上述整點在平面區域內的為：共有3個，∴.（2）依題可得，平面區域的面積為，設扇形區域中心角為，則得，平面區域與平面區域相交部分的面積為.在區域任取1個點，則該點在區域的概率為，隨機變量的可能取值為：.∴的分布列為

0123

∴的數學期望：.

（或：，故）20.已知橢圓：的左右焦點分別為，離心率為，兩焦點與上下頂點形成的菱形面積為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于A，B兩點，四邊形為平行四邊形，為坐標原點，且，求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）橢圓的方程：

………………4分（Ⅱ）首先，直線的斜率不存在時，，，舍去；

設直線的方程為：，代入橢圓方程：所以，設，則又

及得：，結合韋達定理可求出，

，所以所求直線的方程為：略21.已知函數f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.(1)若a＜0時，試求函數y＝f(x)的單調遞減區間；(2)若a＝0，且曲線y＝f(x)在點A、B(A、B不重合)處切線的交點位于直線x＝2上，證明：A、B兩點的橫坐標之和小于4；(3)如果對于一切x1、x2、x3∈[0,1]，總存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)為三邊長的三角形試求正實數a的取值范圍．參考答案：(1)函數f(x)的導函數f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a).因為a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a.所以函數y＝f(x)的單調遞減區間為.(3分)(2)當a＝0時，f(x)＝x3＋2.設在點A(x1，x＋2)，B(x2，x＋2)處的切線交于直線x＝2上一點P(2，t)．因為y′＝3x2，所以曲線y＝f(x)在點A處的切線斜率為k＝3x，所以，在點A處的切線方程為y－(x＋2)＝3x(x－x1)．因為切線過點P，所以t－(x＋2)＝3x(2－x1)，即2x－6x＋(t－2)＝0.同理可得x－6x＋(t－2)＝0.(5分)兩式相減得2(x－x)－6(x－x)＝0.即(x1－x2)(x＋x1x2＋x)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0.因為x1－x2≠0，所以x＋x1x2＋x－3(x1＋x2)＝0.即(x1＋x2)2