山西省太原市第二十七中學2023年高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等比數(shù)列中，，則等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C2.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如右圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是(

)參考答案：A略3.設，則的值為（）．A．15 B．16 C．1 D．－15參考答案：A在中，令，可得，再令可得，所以．故選．4.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1，棱長為1，P為BC中點，Q為線段CC1上的動點，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是(

)①當0<CQ<時，S為四邊形；②當CQ＝時，S為等腰梯形；③當CQ＝時，S與C1D1交點R滿足C1R1＝；④當<CQ<1時，S為六邊形；⑤當CQ＝1時，S的面積為.A．①③④

B．②④⑤

C．①②④

D．①②③⑤參考答案：D5.設復數(shù)，若為純虛數(shù)，則實數(shù)（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：D6.設m，n是不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，有以下四個命題：①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；

②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n則α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，則α∥β．其中正確命題的序號是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】根據(jù)空間線面位置關系的性質(zhì)和判定定理判斷或舉出反例說明．【解答】解：①由于垂直于同一個平面的兩條直線平行，故①正確．②設三棱柱的三個側(cè)面分別為α，β，γ，其中兩條側(cè)棱為m，n，顯然m∥n，但α與β不平行，故②錯誤．③∵α∥β∥γ，∴當m⊥α時，m⊥γ，故③正確．④當三個平面α，β，γ兩兩垂直時，顯然結(jié)論不成立，故④錯誤．故選：A．【點評】本題考查了空間線面位置關系的判斷，屬于中檔題．7.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則b＝

(

)A．3

B．2

C． D．參考答案：A8.設橢圓(a>b>0)的兩個焦點是F1和F2，長軸是A1A2，P是橢圓上異于A1、A2的點，考慮如下四個命題：①|(zhì)PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；

②a-c<|PF1|<a+c；③若b越接近于a，則離心率越接近于1；④直線PA1與PA2的斜率之積等于-．其中正確的命題是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④參考答案：A9.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則(

)A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績參考答案：D【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正確答案【詳解】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）→乙看到了丙的成績，知自己的成績→丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績了．給乙看丙成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績．給丁看甲成績，因為甲不知道自己成績，乙丙是一優(yōu)一良，則甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了故選：D．【點睛】本題考查了合情推理的問題，關鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，屬于中檔題．10.已知點F1、F2分別是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．4 C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，從而可求得雙曲線的離心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由雙曲線的定義得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴雙曲線的離心率e==．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某城市缺水問題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對全市居民某年的月均用水量進行了抽樣調(diào)查，其中4位居民的月均用水量分別為x1，x2，x3，x4(單位：噸)．根據(jù)圖中所示的流程圖，若x1，x2，x3，x4分別為1,1.5,1.5,2，則輸出的結(jié)果為________．參考答案：1.512.凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間的關系如下表.凸多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569長方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558

猜想一般結(jié)論:F＋V－E＝____.參考答案：2【分析】根據(jù)前面幾個多面體所滿足的結(jié)論，即可猜想出【詳解】由題知：三棱柱：，則，長方體：，則，五棱柱：，則，三棱錐：，則四棱錐：，則，通過觀察可得面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)的關系為。【點睛】本題由幾個特殊多面體，觀察它們的面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，著重考查歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識，屬于基礎題。13.過點A(1，-l)，B(-1，1)，且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為

參考答案：814.在等比數(shù)列中,若是方程的兩根，則=______參考答案：10

略15.若關于x的不等式|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）的解集非空，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【考點】絕對值不等式．【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為最值，求出a的范圍即可．【解答】解：關于x的不等式|a﹣1|≥|2x+1|+|2x﹣3|的解集非空等價于|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）min=4，所以a﹣1≥4或a﹣1≤﹣4，所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．16.若非零向量，滿足，則與的夾角為

．參考答案：17.函數(shù)([2，6])的值域為

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xoy中，已知圓C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圓C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應用；直線的一般式方程．【專題】綜合題．【分析】（1）因為直線l過點A（4，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C1截得的弦長為2，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．（2）與（1）相同，我們可以設出過P點的直線l1與l2的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l1與l2的方程．【解答】解：（1）由于直線x=4與圓C1不相交；∴直線l的斜率存在，設l方程為：y=k（x﹣4）圓C1的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C1截得的弦長為2∴d==1d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直線l的方程為：y=0或7x+24y﹣28=0（2）設點P（a，b）滿足條件，由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0，不妨設直線l1的方程為y﹣b=k（x﹣a），k≠0則直線l2方程為：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，∴⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有無窮多個，所以或解得或這樣的點只可能是點P1（，﹣）或點P2（﹣，）【點評】在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．19.某學校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍，土地的征用費為2388元/m2．經(jīng)工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2．試設計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用．（總費用為征地費用和建筑費用之和）．參考答案：（本小題滿分12分）解:設樓高為層，總費用為元，每層的建筑面積為

則土地的征用面積為，征地費用為（元），樓層建筑費用為[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·

（元），從而

（元）

當且僅當

,=20（層）時，總費用最少．答：當這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20時,最少總費用為1000A元．略20.(本小題滿分12分)已知可行域的外接圓與軸交于點、，橢圓以線段為長軸，離心率e=.(1)求圓及橢圓的方程；(2)設橢圓的右焦點為，點為圓上異于、的動點，過原點作直線的垂線交直線x=2于點，判斷直線與圓的位置關系，并給出證明．參考答案：（1）由題意可知，可行域是以為頂點的三角形因為∴為直角三角形∴外接圓是以原點O為圓心，線段＝為直徑的圓故其方程為設橢圓的方程為

∵

∴又

∴，可得故橢圓的方程為（2）設當時，ks5u若

∴若

∴

即當時，，直線與圓相切當

∴……9分所以直線的方程為，因此點的坐標為（2,…10分∵……11分證法一：∴當，……12分∴當，∴

……13分證法二：直線的方程為：，即…………………12分圓心到直線的距離……13分綜上，當時，，故直線始終與圓相切。21.如圖ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中點求證：DE⊥面PBC．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定．【分析】推導出PD⊥BC，BC⊥DC，從而BC⊥面PDC，進而BC⊥DE，再推導出DE⊥PC，由此能證明DE⊥面PBC．【解答】證明：因為PD⊥面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥DC，所以BC⊥面PDC，所以BC⊥DE，又PD⊥BC，PD=DC，E是PC的中點，所以DE⊥PC，因為PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．22.已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓C2：(a＞b＞0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為．（1）求橢圓C2的方程；（2）經(jīng)過點（﹣1，0）作斜率為k的直線l與曲線C2交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在實數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】圓錐曲線的綜合．【分析】（1）由拋物線的焦點坐標（0，1），求得a和b的關系，由C1與C2的公共點的坐標為（±，），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得，可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)，故不存在實數(shù)k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦點F的坐標為（0，1）