第8章

最優化模型內容簡介最優化問題的定義、分類和數學模型，規劃求解工具和查表方法；目標函數和約束條件與決策變量之間都是線性關系的規劃問題，產品混合線性規劃問題的求解；目標函數或者約束條件與決策變量之間不是線性關系的規劃問題，產品混合非線性規劃問題的求解；運輸、選址、資金管理、生產管理等常見規劃問題的求解。多目標規劃問題的概念和求解；規劃求解報告的生成與分析；2第一節

最優化問題概述最優化問題的概念最優化問題就是在給定條件下尋找最佳方案的問題。最佳的含義有各種各樣：成本最小、收益最大、利潤最多、距離最短、時間最少、空間最小等，即在資源給定時尋找最好的目標，或在目標確定下使用最少的資源。3第一節

最優化問題概述最優化問題分類最優化問題根據有無約束條件可以分為無約束條件的最優化問題和有約束條件的最優化問題。無約束條件的最優化問題就是在資源無限的情況下求解最佳目標有約束條件的最優化問題則是在資源限定的情況下求解最佳目標。實際問題一般都是有資源限制的，所以大部分最優化問題都是有約束條件的最優化問題。最優化問題根據決策變量在目標函數與約束條件中出現的形式可分為線性規劃問題和非線性規劃問題。最優化問題根據決策變量是否要求取整數可分整數規劃問題和任意規劃問題。4第一節

最優化問題概述最優化問題的數學模型最優化問題可表示為如下的數學形式：……5第一節

最優化問題概述最優化問題的求解方法方法一：公式法分析問題，推導出計算最優解的公式。方法二：用規劃求解工具求解啟動規劃求解工具，在規劃求解參數對話框中設置目標單元格（目標變量）和可變單元格（決策變量），設置目標單元格的目標值（最大、最小或者某一特定值），添加約束條件，另外也可以設置一些附加參數。按“求解”按鈕，規劃求解工具就根據參數設置尋求最優解。方法三：用查表法求解查表法就是利用模擬運算表工具制作決策變量與目標變量的對照表，在該對照表中用MAX()或MIN()函數找出最優目標值，然后用Index()和Match()可以找出該最優目標值對應的決策變量值，即最優解。6第二節

線性規劃線性規劃就是研究在一組線性約束條件下，求解一個線性函數的極大化或極小化的問題線性規劃的標準形式為：

……7第二節

線性規劃Excel中求解線性規劃問題的方法和步驟第一步，選擇“數據”選項卡中“分析”組里的“規劃求解”命令，打開“規劃求解參數”對話框；第二步，根據對線性規劃問題的分析，在“設置目標”以及它的取值（最大值，或最小值，或目標值）中定義目標值所在的單元格及它的取值，在“通過更改可變單元格”中設置決策變量所在的單元格；第三步，在“遵守約束”中設置約束條件。單擊“添加”按鈕來定義約束條件。當單擊了“添加”按鈕后會彈出定義約束條件的對話框，如圖8-3所示，其中的運算符有：>=（大于等于）、=（等于）、<=（小于等于）、int（只取整數）和bin（只取0或1）等5種，可以通過反復單擊“添加”按鈕來定義多個約束條件。約束條件定義完畢后，單擊“確定”按鈕結束約束條件的設定，返回到“規劃求解參數”對話框；第四步，在正確地完成了對需要求解問題的相關參數的設置后，單擊“求解”按鈕，規劃求解工具就開始求解。8第二節

線性規劃產品混合問題【例8.1】某化工廠用A、B、C三種原料生產P1、P2兩種化工產品。每生產1升P1產品需要A、B、C的數量為3，4，2公斤，而生產1升P2的數量為4，2，1公斤。P1、P2的單位利潤分別為5元和4元，工廠現有A、B、C三種原料的數量分別為14，8，6公斤。試用規劃求解工具幫助該工廠安排生產P1、P2的產量，使其能獲利最大。9第二節

線性規劃求解結果：10第二節

線性規劃【例8.2】某公司生產兩種產品，兩種產品各生產一個單位需要工時3和7，用電量4千瓦和5千瓦，需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工時為300，可提供的用電量為250千瓦，可提供的原材料為420公斤。兩種產品的單價p與銷量q之間存在負的線性關系，分別為p1=3000-50q1,p2=3250-80q2。工時、用電量和原材料的單位成本分別為10、12和50，總固定成本是10000。該公司怎樣安排兩種產品的產量，能獲得最大利潤？11第二節

線性規劃求解結果：需要指出的是，對于非線性規劃問題，如果有解，其解可能不唯一，即可能存在多解12第三節

常見規劃問題運輸問題

【例8.3】某公司生產一種高檔品牌葡萄酒，在全國有3個工廠（工廠1、工廠2和工廠3），各工廠的日最大生產量分別為120箱、200箱和100箱。該公司每天要向4個城市（城市A、城市B、城市C和城市D）供貨，這四個城市的日需要量分別為80箱、150箱、100箱和70箱。每箱貨物從工廠運到各城市的運費如下表所示：該公司怎樣安排生產和運輸量，能使總運費最?。恳蟾鞴S的實際供給量不能超過其最大產量，同時又要滿足各城市的需要量。13第三節

常見規劃問題求解結果：在線性規劃中，當決策變量的取值只能為整數時，把這類問題稱之為整數規劃。本題由于運輸時不能拆箱，因而是一個整數規劃問題。14第三節

常見規劃問題選址問題

【例8.4】一家移動通信公司準備在四個候選的位置中挑選幾個來建造信號發射基站，以便覆蓋一個城市中的四個地區。這四個位置對于四個區的覆蓋與修建費用如下表所示（在一個位置所在列與一個地區所在行的交叉點處有數字“1”表明在該位置建造信號發射基站時信號可以覆蓋對應的地區）：要求：構造一個線性規劃模型框架，用規劃求解工具確定一種基站建設方案，使得既能將所有四個地區都加以覆蓋又使建站總費用達到極小。15第三節

常見規劃問題求解結果：本題目中決策變量的取值只有0和1，在線性規劃中把這類取值為0或1的問題稱之為0-1規劃。16第三節

常見規劃問題【例8.5】某奶制品廠的產品在市場上暢銷，為了有利于原料的及時獲得和質量控制，工廠決定對其6個原料供應站鋪設管道輸送牛源，6個供應站相互間的距離如表所示。已知：1號供應站離工廠的距離為5公里，每鋪設1公里管道的成本為人工費30萬元、材料費50萬元、其它費用100萬元。請設計從1號供應站開始鋪設管道，把各供應站連接起來的鋪設方案，使建設總成本最低。17第三節

常見規劃問題求解結果：18第三節

常見規劃問題資金管理問題

【例8.6】某人手頭有10000元準備存入銀行。銀行可供選擇的儲蓄品種有一年期、二年期和三年期的定期存款，三種存款的年利率分別為2.5%、2.7%和2.9%（復利計息）。此人第3年初和第5年初需要使用現金1000元和2000元，第4年初有5000元的現金收入可以存入銀行。銀行的定期存款假設為當年年初存款，次年年初到期。試在Excel中建立模型，計算每年年初的到期本金、到期利息和年末現金余額；用規劃求解工具求解每年各種存款的最優存款額，使第7年到期的現金本利之和最大。19第三節

常見規劃問題求解結果：20第三節

常見規劃問題生產管理問題【例8.7】已知某公司生產的某一產品在不同月份的需求量、單位生產成本與生產能力不同，見下表：每月的儲存成本等于單位儲存成本與月平均庫存量（月初庫存量與月末庫存量的平均值）的乘積，而每月的單位儲存成本等于當月單位生產成本的1.5%。公司要求每月的生產量既不超過當月生產能力又不低于當月生產能力的一半，另外，為防備急需，管理人員還要求每月月末庫存量不少于1500件（安全庫存量），倉庫容量為6000件，當前庫存量為2750件。假設每月生產量為1件，試在Excel中建立規劃求解模型，并且按如下要求操作：計算每月的月初庫存量、生產量下限、月末庫存量、月平均庫存量、單位儲存成本和總成本；用規劃求解工具求解每月的最優生產量和6個月總成本的最小值。

21第三節

常見規劃問題求解結果：22第四節

多目標規劃問題概述前面所討論問題的目標函數都只有一個，這類問題稱之為單目標規劃。在經濟管理中有時會面臨多目標決策問題，例如在研究產品混合問題時，可能要考慮這樣的問題，在保證獲利最大的前提下能否使原料的消耗最小。多目標規劃問題要比單目標規劃問題復雜23第四節

多目標規劃問題多目標規劃問題的求解有多種方法，主要有：（1）、分層序列法：將各目標按其重要性排序，先求出第一個最重要目標的最優解，然后在保證前一目標最優解不變的前提下，按序依次求下一目標的最優解，直至求出最后一個目標的最優解。（2）、化多為少法：將多目標問題轉化為單目標問題來求解，最常用的線性加權法。（3）、直接求非劣解法：先求出一組非劣解，然后按事先確定好的評判標準從中找出一個最優解。（4）、目標規劃法：對于每一個目標事先確定一個期望值，然后在滿足一定約束條件下，找出與目標期望值最接近的解。（5）、多屬性效用法：各目標都用表示效用程度大小的效用函數表示，通過效用函數構成多目標的綜合效用函數，以此來評價各個可行方案的優劣。（6）、層次分析法：把目標體系結構予以展開，求得目標與決策方案的計量關系。（7）、重排序法：把原來不好比較的非劣解通過一定的辦法使其排出優劣次序來。（8）、多目標群決策和多目標模糊決策。24第四節

多目標規劃問題多目標規劃問題求解【例8.8】某公司生產和銷售兩種產品，兩種產品各生產一個單位需要工時3和7，用電量4千瓦和5千瓦，需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工時為300，可提供的用電量為250千瓦，可提供的原材料為420公斤。兩種產品的單位利潤分別為25元和30元。假設兩種產品各生產1個單位，試在Excel中建立產品組合線性規劃模型，用規劃求解工具求解兩種產品的最優生產量，使總利潤最大，總工時最少。25第四節

多目標規劃問題使利潤最大的第一次規劃的結果：26第四節

多目標規劃問題在保證利潤最大的前提下，使總工時最小的第二次規劃的結果：27第五節

規劃求解報告規劃求解報告的生成Excel的規劃求解工具在求解的過程中，還能生成運算結果報告、敏感性報告和極限值報告，這三張報告反映了在求解過程中目標變量、決策變量的變化情況，約束條件的滿足條件情況等，還提供了對決策分析很有幫助的其他信息，為決策者分析決策過程的合理性、