一、集合1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合．(1)集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作a∈A；若b不是集合A的元素，記作b?A.(2)集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性．確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應重復出現同一元素．無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列，與順序無關．(3)表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法．列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號{}內．描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內．具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法.)(4)常用數集及其記法．非負整數集(或自然數集)，記作N；正整數集，記作N*或N＋；整數集，記作Z；有理數集，記作Q；實數集，記作R.2．集合的包含關系．(1)集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A)，記作A?B(或B?A)．集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣．若A?B且B?A，則稱A等于B，記作A＝B；若A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB.(2)簡單性質：①A?A；②??A；③若A?B，B?C，則A?C；④若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集(其中2n－1個真子集)．3．全集與補集．(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U.(2)若S是一個集合，A?S，則?SA＝{x|x∈S且x?A}稱S中子集A的補集．(3)簡單性質：①?S(?SA)＝A；②?SS＝?；③?S?＝S.4．交集與并集．(1)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法.)5．集合的簡單性質．(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(2)A∪?＝A，A∪B＝B∪A；(3)(A∩B)?(A∪B)；(4)A?B?A∩B＝A，A?B?A∪B＝B；(5)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB)．二、函數1．函數的概念．設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)（1）“y＝f（x）”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y＝g（x）”；,（2）函數符號“y＝f（x）”中的f（x）表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x.)2．構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域．(1)解決一切函數問題必須認真確定該函數的定義域，函數的定義域包含三種形式：①自然型．指函數的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如：分式函數的分母不為零，偶次根式函數的被開方數為非負數，等等)．②限制型．指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數學習中的重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤．③實際型．解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考查自變量x的實際意義．(2)求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函數的值域問題：①配方法(將函數轉化為二次函數)；②判別式法(將函數轉化為二次方程)；③不等式法(運用不等式的各種性質)；④函數法(運用基本函數性質，或抓住函數的單調性、函數圖象等)．3．兩個函數的相等．函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f.當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定．因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數．4．區間．(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示．5．映射的概念．一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．記作“f：A→B”．函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這樣的對應就叫映射．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述.,（2）“都有唯一”什么意思？,包含兩層意思：一是必有一個，二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思.)6．常用的函數表示法．(1)解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式．(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系．(3)圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系．7．分段函數．若一個函數的定義域分成了若干個子區間，而每個子區間的解析式不同，這種函數又稱分段函數．8．復合函數．若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]稱為復合函數，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域．三、函數性質1．奇偶性．(1)定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)＝－f(x)，則稱f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為偶函數．如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性．如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；,②由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）.)(2)利用定義判斷函數奇偶性的步驟：①首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱．②確定f(－x)與f(x)的關系．③作出相應結論：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數．(3)簡單性質．①圖象的對稱性質：一個函數是奇函數則它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數則它的圖象關于y軸對稱．②設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．單調性．(1)定義：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就說f(x)在區間D上是增函數(減函數)．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)①函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質.,②必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，總有f（x1）＜f（x2）[f（x1）＞f（x2）].)(2)如果函數y＝f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．(3)設復合函數y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定義域的某個區間，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：①若u＝g(x)在A上是增(或減)函數，y＝f(u)在B上也是增(或減)函數，則函數y＝f[g(x)]在A上是增函數．②若u＝g(x)在A上是增(或減)函數，而y＝f(u)在B上是減(或增)函數，則函數y＝f[g(x)]在A上是減函數．(4)判斷函數單調性的方法步驟．利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形(通常是因式分解和配方)；④定號[即判斷差f(x1)－f(x2)的正負]；⑤下結論[即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性]．(5)簡單性質．①奇函數在其對稱區間上的單調性相同．②偶函數在其對稱區間上的單調性相反．③在公共定義域內：增函數f(x)＋增函數g(x)是增函數；減函數f(x)＋減函數g(x)是減函數；增函數f(x)－減函數g(x)是增函數；減函數f(x)－增函數g(x)是減函數．3．最值．(1)定義．最大值：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)的最大值．最小值：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)是最小值．eq\x(\a\vs4\al(特別關注：)①函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M.,②函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的x∈I，都有f（x）≤M[f（x）≥M].)(2)利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值的方法．①利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值．②利用圖象求函數的最大(小)值．③利用函數的單調性判斷函數的最大(小)值：如果函數y＝f(x)，x∈[a，c]在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減，則函數y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)．如果函數y＝f(x)，x∈[a，c]在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增，則函數y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b)．設card(X)表示有限集X所含元素的個數，則①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，特別地，當A∩B＝?時，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．例1某班有36名同學分別參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有________人．解析：由條件知，每名同學至多參加兩個小組，故不可能出現一名同學同時參加數學、物理、化學課外探究小組，設參加數學、物理、化學小組的人數構成的集合分別為A，B，C，則card(A∩B∩C)＝0，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝4.由公式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，故card(A∩C)＝8.即同時參加數學和化學小組的有8人．答案：8?跟蹤訓練1．已知全集U＝A∪B中有m個元素，(?UA)∪(?UB)中有n個元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個數為()A．mn個B．m＋n個C．n－m個D．m－n個2．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為____人．1．解析：因為A∩B＝(A∪B)－(?UA)∪(?UB)，所以A∩B共有m－n個元素，選D.答案：D2．解析：設兩者都喜歡的人數為x人，則只喜愛籃球的有(15－x)人，只喜愛乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12.即所求人數為12人．答案：121．若a∈A，則a??UA；若a∈?UA，則a?A.2．若a∈A∩B，則a∈A且a∈B.3．設a<b，則x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))a≤x≤b))?a≤x≤b.已知A，B均為集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝()A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}解析：∵A∩B＝{3}，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))∩A＝{9}，且B∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))＝U，∴A＝{3，9}．故選D.本題也可以用Venn圖(如下圖)幫助理解并解決問題．答案：D?跟蹤訓練3．設集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數a＝____.3．解析：∵3∈A∩B，∴3∈B.又a2＋4>3，故由a＋2＝3,解得a＝1.答案：1有關集合的新定義問題，高考中常見的有兩類題型：一是定義集合的新概念，二是定義集合的新運算．一、定義集合的新概念例3對于平面上的點集Ω，如果連接Ω中任意兩點的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集：給出平面上4個點集的圖形如下(陰影區域及其邊界)，其中為凸集的是_____________(寫出所有凸集相應圖形的序號)．解析：由題中凸集的定義，觀察所給圖形知，①④不是凸集，而②③滿足條件，是凸集．答案：②③二、定義集合的新運算在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算⊕和eq\a\vs4\al(○*)A．aB．bC．cD．d解析：由上表可知：(a⊕c)＝c，故deq\a\vs4\al(○*)(a⊕c)＝deq\a\vs4\al(○*)c＝a，故選A.答案：A?跟蹤訓練4．設P是一個數集，且至少含有兩個數．若對任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、eq\f(a,b)∈P(除數b≠0)，則稱P是一個數域．例如有理數集Q是數域．有下列結論：①數域必含有0，1兩個數；②整數集是數域；③若有理數集Q?M，則M必為數域；④數域必為無限集．其中正確的結論的序號是____(把你認為正確結論的序號都填上)．4．解析：設a，b∈數域P，按照定義得eq\f(a,b)∈P，eq\f(b,a)∈P，從而eq\f(a,b)·eq\f(b,a)＝1∈P.又a，b∈P，則a＋b∈P，a－b∈P，b－a∈P，從而0＝(a－b)＋(b－a)∈P，于是數域必含有0，1兩個數，因此①正確；以此類推下去，可知數域必為無限集，④正確．②對除法如eq\f(1,2)?Z不滿足，所以排除；③取M＝Q∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(2)))，1，eq\r(2)∈M，但對除法eq\f(1,\r(2))?M.所以①④正確．答案：①④設集合M有n個元素，那么集合M的所有子集共有2n個，集合M的所有真子集共有2n－1個，集合M的所有非空真子集共有2n－2個．若集合M＝?，顯然M的所有子集共有1個；若集合M只有一個元素，即M＝{a1}，M的所有子集分別是?和M＝{a1}，所有子集共有2個；設集合M含有n－1個元素，M的所有子集共有Mn－1個，當集合M含有n個元素時，不妨設M＝{a1，a2，a3，…，an－1，an}，M的所有子集共分為兩類：一類是不含an的子集，即{a1，a2，a3，…，an－1}的子集，共有Mn－1個，另一類是含an的子集，只需將an添加到{a1，a2，a3，…，an－1}的所有子集中去，便得到含an的所有子集，顯然也有Mn－1個，故Mn＝2Mn－1.由此可知，M1＝2M0＝2,M2＝2M1＝4,M3＝2M2＝8，…，Mn＝2Mn例5設M為非空的數集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一個奇數元素，則這樣的集合M共有()A．6個B．5個C．4個D．3個解析：集合{1，2，3}的所有子集共有23＝8(個)，集合{2}的所有子集共有2個，故滿足要求的集合M共有8－2＝6(個)．答案：A例6滿足{0，1，2}A?{0，1，2，3，4，5}的集合A的個數是________個．解析：集合{3，4，5}的所有非空真子集共有23－1＝7(個)，滿足要求的集合A就是這7個真子集與集合{0，1，2}的并集，故滿足要求的集合A共有7個．答案：7?跟蹤訓練5．已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的個數是()A．3個B．4個C．15個D．16個5．C6．已知集合M＝{0，1}，則滿足M∪N＝{0，1，2}的集合N的個數是()A．2個B．3個C．4個D．8個對于函數的概念及其表示要注意：1．函數的三要素：定義域、值域、對應關系．2．定義域和對應關系相同的兩個函數是同一函數．3．求抽象函數定義域的方法：(1)已知f(x)的定義域為[a，b]，求f[g(x)]的定義域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集；(2)已知f[g(x)]的定義域為[a，b]，求f(x)的定義域，就是求當x∈[a，b]時，g(x)的值域．4．求函數解析式的常用方法：①湊配法；②換元法；③待定系數法；④構造法．5．求函數值域的方法：①配方法；②分離常數法；③換元法．隨著學習的深入，我們會有更多的求值域的方法．例7設x≥0時，f(x)＝2，x＜0時，f(x)＝1，又規定g(x)＝eq\f(3f（x－1）－f（x－2）,2)(x＞0)，試寫出y＝g(x)的表達式，畫出其圖象．分析：對于x＞0的不同區間，討論x－1與x－2的符號可求出g(x)的表達式．解析：當0＜x＜1時，x－1＜0，x－2＜0，∴g(x)＝eq\f(3－1,2)＝1；當1≤x＜2時，x－1≥0，x－2＜0，∴g(x)＝eq\f(6－1,2)＝eq\f(5,2)；當x≥2時，x－1＞0，x－2≥0.∴g(x)＝eq\f(6－2,2)＝2.故g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0＜x＜1，,\f(5,2)，1≤x＜2，,2，x≥2.))其圖象如右圖所示．點評：此題要注意分類討論，做題時要分段求解析式．畫圖要注意端點的取舍．?跟蹤訓練7．求下列函數的定義域．(1)f(x)＝x＋eq\f(2,x－1)；(2)f(x)＝eq\f(\r(4－x),x－1)；(3)f(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(4)f(x)＝eq\r(x2＋x＋1)＋eq\f(1,x2－2x＋1).7．解析：(1)∵x－1≠0，∴x≠1，∴函數的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x≥0，,x－1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4，,x≠1.))∴函數的定義域是(－∞，1)∪(1，4]．(3)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1.))∴x＝1，∴函數的定義域是{1}．(4)∵x2＋x＋1的判別式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，∴x2＋x＋1＞0對一切x∈R恒成立，∴函數的定義域由x2－2x＋1≠0確定，由x2－2x＋1≠0，得x≠1.∴函數的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．點評：求函數的定義域要注意使函數解析式中每個式子都有意義，有時需解不等式組．1．判斷函數單調性的步驟：(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)變形(通分、配方、因式分解)；(4)判斷差的符號，下結論．2．求函數單調性要先確定函數的定義域．3．若f(x)為增(減)函數，則－f(x)為減(增)函數．4．復合函數y＝f[g(x)]的單調性遵循“同增異減”的原則．5．奇函數的性質：(1)圖象關于原點對稱；(2)在關于原點對稱的區間上單調性相同；(3)若在x＝0處有定義，則有f(0)＝0.6．偶函數的性質：(1)圖象關于y軸對稱；(2)在關于原點對稱的區間上單調性相反；(3)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．7．若奇函數f(x)在[a，b]上有最大值M，則在區間[－b，－a]上有最小值－M.例8已知f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x|x－2|，求f(x)在R上的表達式．解析：(1)當x＝0時，∵f(x)是奇函數，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.(2)當x＜0時，－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.又∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x|x＋2|，∴f(x)＝x|x＋2|.綜上可知，f(x)在R上的表達式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x－2|，x＞0，,0，x＝0，,x|x＋2|，x＜0.))點評：解決本題的關鍵在于通過區間的過渡，將(－∞，0)上的變量轉換到(0，＋∞)上，從而利用函數的奇偶性和函數在(0，＋∞)上的解析式求出函數在(－∞，0)上的解析式，但不要忘記f(x)為奇函數且x∈R時，f(0)＝0.?跟蹤訓練8．設函數f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)證明：f(x)是偶函數；(2)指出函數f(x)的單調區間，并說明在各個單調區間上f(x)是增函數還是減函數；(3)求函數的值域．8．(1)證明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數．(2)解析：當x≥0時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；當x＜0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2－2，x≥0，,（x＋1）2－2，x＜0.))根據二次函數的作圖方法，可得函數圖象如圖所示．函數f(x)的單調區間為[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]．f(x)在區間[－3，－1)，[0，1)上為減函數，在[－1，0)，[1，3]上為增函數．(3)解析：由圖象可知，函數值域為[－2，2]．點評：利用函數的奇偶性，可以作出相應的圖象．9．若f(x)是奇函數，且在(0，＋∞)內是增函數，又f(3)＝0，則xf(x)＜0的解集是()A．{x|－3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜－3或0＜x＜3}C．{x|x＜－3或x＞3}D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}9．解析：因為f(x)在(0，＋∞)內是增函數，f(3)＝0，所以當0＜x＜3時，f(x)＜0；當x＞3時，f(x)＞0.又因f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，所以當－3＜x＜0時，f(x)＞0；當x＜－3時，f(x)＜0，可見xf(x)＜0的解集是{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}．答案：D分段函數是指在定義域的不同子集上解析式不同的函數．在求分段函數的有關問題時，要根據自變量的所在范圍，選擇相應的解析式進行研究．分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各解析式的取值范圍的并集．分段函數的性質往往要結合函數圖象進行判斷研究．分段函數解析式的確定一定要分類討論，根據不同情形分別確定．例9某旅行社組團去風景區旅游，若每團人數在30人或30人以下，飛機票每張收費900元；若每團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，機票每張減少10元，直到每張降為450元為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數；(2)每團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解析：(1)設旅行團人數為x人，由題知0<x≤75，飛機票價格為y元，則y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,900－（x－30）·10，30<x≤75，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)設旅行社獲利為S元，則S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,x（1200－10x）－15000，30<x≤75，))即S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10（x－60）2＋21000，30<x≤75，))因此，當x＝60時，旅行社可獲得最大利潤．?跟蹤訓練10．函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈[0，1]，,3－x，x∈（－∞，0）∪（1，＋∞），))若f[f(x)]＝1，求x的取值范圍．10．解析：f[f(x)]＝1等價于：f(x)∈[0，1]，①或3－f(x)＝1.②①式又等價于x∈[0，1]或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x∈[0，1]，,x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）；))②式又等價于3－x＝2.解得x的取值范圍是[0，1]∪[2，3]．11．通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間．講座開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和講授概念的時間(單位：分鐘)，可有以下的公式：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－＋＋43，0<x≤10，,59，10<x≤16，,－3x＋107，16<x≤30.))(1)開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多少時間？(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？(3)一個數學難題需要55的接受能力以及13分鐘時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題？11．解析：(1)易知在前10分鐘學生的接受能力一直增強，所以開講后10分鐘學生的接受能力最強，此時達到59；而從16分鐘后開始，學生的接受能力從59起一直在下降，故能維持6分鐘．(2)因為開講后5分鐘學生的接受能力為－×25＋13＋43＝，開講后20分鐘學生的接受能力為－3×20＋107＝47，所以學生在開講后5分鐘接受能力強一些．(3)因為易求得從第6分鐘開始學生的接受能力開始達到55，一直維持到第eq\f(52,3)分鐘時開始從55下降，所以能保持接受能力為55的時間為eq\f(52,3)－6＝eq\f(34,3)<13，因為講這個數學難題需要55的接受能力和13分鐘，因此老師不能在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題.抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數．由于抽象函數表現形式的抽象性，使得這類問題是函數內容的難點之一，其性質常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以常見函數為背景，通過代數表述給出函數性質．處理抽象函數的問題時，往往需要對某些變量進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段．也是解決這類問題的主要方法．例10已知定義域為R＋的函數f(x)，同時滿足下列條件：①f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)；②f(x·y)＝f(x)＋f(y)．求f(3)、f(9)的值．解析：取x＝2，y＝3，得f(6)＝f(2)＋f(3)，∵f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)，∴f(3)＝－eq\f(4,5).又取x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝－eq\f(8,5).點評：通過觀察已知與未知的聯系，巧妙地取x＝2，y＝3，這樣便把已知條件f(2)＝1，f(6)＝eq\f(1,5)與欲求的f(3)聯系了起來．這是解此類問題的常用技巧．?跟蹤訓練12．已知定義域為R的函數f(x)滿足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)設有且僅有一個實數x0，使得f(x0)＝x0，求函數f(x)的解析表達式．12．解析：(1)因為對任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2.又由f(2)＝3得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1.若f(0)＝a，則f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因為對任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又因為有且只有一個實數x0，使得f(x0)＝x0，所以，對任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0，在上式中令x＝x0，有f(x0)－xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0，又因為f(x0)＝x0，所以x0－xeq\o\al(2,0)＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，則f(x)－x2＋x＝0，即f(x)＝x2－x.但方程x2－x＝x有兩個不同實根，與題設矛盾，故x0≠0.若x0＝1，則有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1.易驗證該函數滿足題設條件．綜上可知，所求函數為f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．二次函數的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中有三個參數a，b，c.解題時常常需要通過三個獨立條件“確定”這三個參數.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0))的圖象為拋物線，具有許多優美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等.結合這些圖象特征解決有關二次函數的問題，可以化難為易，形象直觀．二次函數的圖象關于直線x＝－eq\f(b,2a)對稱，設二次函數的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)也反映了二次函數的一種對稱性．將二次函數的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)進行配方可得二次函數的頂點式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)，由此可知函數的對稱軸、最值及判別式．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0))在區間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))和區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上分別單調，所以二次函數feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在閉區間上的最大值、最小值必在區間端點或頂點處取得．例11某公司有價值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，改造就需要投入，相應就要提高產品附加值．假設附加值