最優估計1第7章卡爾曼濾波器的發散

抑制方法

濾波的發散現象

限定增益濾波誤差方差陣加權濾波衰減記憶濾波限定記憶濾波增廣狀態濾波平方根濾波2上一章要點回顧問題：卡爾曼濾波最優的條件？否則濾波易發散。模型精確，統計特性已知。3內容提要針對卡爾曼濾波的發散問題，討論了若干抑制濾波發散的方法。對于模型誤差導致的發散，可以通過直接和間接限定增益的方法增強新測量數據的作用，如限定增益濾波、誤差方差陣加權濾波；可以增加新數據的比重，減小舊數據的比重，如衰減記憶濾波和限定記憶濾波；也可以將模型誤差作為狀態的一部分而估計，即增廣狀態濾波。對于計算發散，可以采用平方根濾波法，減小截斷誤差的影響。47.1濾波的發散現象發散：實際的估計誤差超過理論預計值，非常大，甚至趨于無窮。發散視在發散真實發散模型發散數值發散模型非完全能控能觀計算機截斷誤差系統模型或噪聲不準5兩類發散現象二者區別視在發散：濾波誤差大，但有界；真實發散：濾波誤差趨于無窮。6各類發散的解決方案視在發散的解決方法：（1）如果是由模型引起的，可通過改變系統的結構及參數，使系統的狀態完全能控能觀；（2）如果是數值發散，可以采用雙字長運算，減少有效數字損失，也可以采用平方根濾波方法。真實發散的解決方法：削弱預測在濾波估計中的作用，而增加新息的作用。77.2限定增益濾波來自模型來自觀測離散系統卡爾曼最優估計：限定增益濾波的思想：降低模型誤差產生的影響，削弱最優估計公式中狀態預測的作用，而增加新息的作用，這需要通過限定增益來實現。8例：若建立系統模型時忽略了常數c，即：910濾波發散了！11發散原因？建模時忽略了常數？實際上，建模時即便考慮了常數，但如果不準確，即若取模型：12克服此類發散的方法：發散得到抑制M的取法：M=?原則：濾波的均方誤差（誤差方差）應小于觀測誤差方差。137.3誤差方差陣加權濾波方法思想：通過加權的方法人為地增大濾波誤差方差陣，從而間接地增大增益陣，抑制真實發散。1.人為加權法：兩種加權方法：人為加權法和自動加權法。14增益不會衰減到0，發散得到抑制。152.自動加權法：由于濾波產生發散的直接原因是實際估計誤差超過理論預計值，因新息中包含了實際估計誤差的信息，可用其判斷濾波器是否發散。判據：當此式不成立時，濾波發散。16濾波方程：177.4衰減記憶濾波方法思想：是一種方差加權法。對濾波器中的方差陣（包括系統噪聲方差、觀測噪聲方差、初始估計誤差方差）進行加權，以逐漸減小舊的測量數據的比重，同時增加新數據的比重。權值為指數函數或冪函數。1.指數加權法：18這相當于采用新模型：對模型(7.4.6)在N時刻以后濾波，得-----------------(7.4.6)19濾波方程組：20濾波方程組：212.冪函數加權法：濾波方程組：227.5限定記憶濾波方法思想：23卡爾曼濾波基本方程的建立過程:

限定記憶濾波思想:

24限定記憶濾波實現過程:

25無動態噪聲的狀態方程和觀測方程：

262728（3）利用前兩個步驟得到xk

的限定記憶濾波方程：兩式相減29加上前面已得到的估計公式：則得限定記憶的濾波公式。狀態估計公式誤差方差公式增益矩陣公式30（4）初值的選取由動態方程可得卡爾曼濾波基本公式：317.6增廣狀態濾波方法思想：將動態偏差作為增廣的狀態進行估計，解決模型誤差引起的發散問題。同時，偏差的估值還可以用于模型校正。線性系統模型：引入增廣狀態：增廣模型方程為：32一步預報方差陣（分塊矩陣）：估計誤差方差陣（分塊矩陣）：33上式中，34將上式展開，得展開，得：35增廣系統的卡爾曼濾波器方程：展開得增廣系統的卡爾曼濾波方程：其中，367.7平方根濾波解決由舍入誤差引起的發散問題。方法思想：在濾波過程中，采用誤差方差矩陣的平方根形式來傳播方差矩陣，從而使方差陣在傳播過程中始終保持非負定。方法步驟：37對于非負定矩陣P：注：矩陣分解方式的不唯一性導致平方根濾波方法也有不同的形式。38