第6章

大數定理和中心極限定理6.1大數定理學校有10000個學生，平均身高為a；若隨意觀察1個學生的身高X1，則X1與a可能相差較大。若隨意觀察10個學生的身高X1,

X2,…,

X10，則10個數據的均值(X1+X2+…+X10)/10與a較接近；若隨意觀察100個學生的身高X1,

X2,…,

X100，則100個數據的均值(X1+X2+…+X100)/100與a更接近；若隨意觀察n個學生的身高X1,

X2,…,

Xn，則n個數據的均值(X1+X2+…+Xn)/n與a隨著n的增大而接近；定理1設X1,

X2,…,

Xn是獨立同分布的隨機變量，記它們的公共均值為a，又設它們的方差存在，并記為2，則對任意給定的>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，越來越接近a而不接近a的可能性越來越小。證明需要用契比雪夫不等式。6.1.1馬爾科夫不等式

若Y是只取非負值的隨機變量，則對任意常數>0，有證明：

6.1.2契比雪夫不等式

若D(Y)存在，則對任意常數>0，有證明：

定理1的證明：6.1.3伯努利大數定理(頻率收斂于概率)設pn是n重伯努利試驗中事件A出現的頻率，在每次試驗中P(A)=p是常數，則對任意正數>0，有意義：隨著n的增大，依概率意義講，頻率pn越來越接近概率p，而pn不接近p的可能性越來越小。不能說：因為可能有pnp情形(雖然這些例外情形出現的概率趨于0)。證明：6.2中心極限定理設X1,

X2,…,

Xn是一系列隨機變量，通常把論證

和函數X1+X2+…+Xn的分布收斂于正態分布的這類定理叫做“中心極限定理”.定理2(林德伯格定理)設X1,

X2,…,

Xn是獨立同分布的隨機變量，它們有相同均值為E(Xi)=a，它們有相同方差為D(Xi)=2(0<<+),則對任意實數x，有(證明略)說明：和函數Yn=X1+X2+…+Xn

E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2

將Yn“標準化”：“標準化”后的和函數的分布函數Fn(x):和函數X1+X2+…+Xn在“標準化”后的分布函數Fn(x)，隨著n的增大，Fn(x)逐漸趨向于標準正態分布函數。值得注意的是，每個Xi的概率分布可以是未知的，不

一定是正態分布。

意義：若有無數多種因素X1,

X2,…,

Xn相互影響，每個因素的影響都很小，則所有這些因素的綜合影響可認為是Y=X1+X2+…+Xn+…,則這些綜合影響的結果呈現出正態分布。

所以在自然界中很多問題都可用正態分布研究。定理3(棣莫弗-拉普拉斯定理)設X1,

X2,…,

Xn是獨立同分布(0-1分布)的隨機變量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

則對任意實數x，有

證明：由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….

代入定理2的公式，a=p,=有設Yn是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，在每次試驗中P(A)=p是常數(0<p<1),Yn~B(n,p).設Xi是第i次試驗時A出現的次數，則Xi服從0-1分布，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

Yn=X1+X2+…+Xn

所以定理3的另一種描述方式：定理3的另一說法(棣莫弗-拉普拉斯定理)

設Yn是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，在每次試驗中P(A)=p是常數(0<p<1),Yn~B(n,p).

則對任意實數x，有這說明：若Yn服從二項分布B(n,p)，計算P(t1≤Yn≤t2)可用正態分布近似計算。若X1,

X2,…,

Xn是獨立的0-1分布的隨機變量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

計算P(t1≤X1+X2+…+Xn≤t2)可用正態分布近似計算。當n較小時，誤差較大，公式可修正為例6-2設某地區原有一家小電影院，現擬籌建一所較大的電影院。根據分析，該地區每天平均看電影者約有n=1600人，預計新電影院開業后，平均約有3/4的觀眾將去新電影院。現計劃其座位數，要求座位數盡可能多，但“空座達到200或更多”的概率不能超過0.1，問設多少座位為好？解：設每天看電影的人編號1,2,3,…,1600,且令

假設各觀眾去不去電影院是獨立選擇的。則X1,

X2,…,

X1600是獨立的0-1分布的隨機變量。設座位數是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號時。解法2：設n=1600人中去新影院的人數為X，每個觀眾選擇去新影院的概率為3/4，則X~B(1600,3/4)設座位數是m，按要求有:P(X≤m-200)≤0.1要在此條件下m最大，就是在上式取等號時。例（合作問題）設有同類設備200臺，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01，并且一臺設備的故障可由一個人來處理，試求由4個人共同負責維修200臺設備時，設備發生故障而不能及時維修的概率。解：設Y為200臺設備中在同一小時內發生故障的臺數，則Y~B(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98設備發生故障而不能及時維修的概率=P(Y≥5)

例題講解一、設隨機變量X和Y獨立，其分布列分別為則下列各式正確的是

。X=Y(2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0(4)P(X=Y)=1解：雖然X和Y是相同的分布，但不寫成X=Y；P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5選答案(2)二、設X,Y滿足D(X+Y)=D(X-Y),則X,Y必有

.解：因為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

由于D(X+Y)=D(X-Y)得2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0

X,Y不相關。三、設隨機變量X和Y獨立同分布,且P(X=k)=1/3,k=1,2,3

又設X=max(X,Y),Y=min(X,Y).試(1)寫出(X,Y)的聯合分布律；(2)求E(X)解:(1)由于X=1,2,3,Y=1,2,3所以，X=1,2,3;Y=1,2,3當i>j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=j)+P(X=j,Y=i)=P(X=i)P(Y=j)+P(X=j)P(Y=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9當i=j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=(1/3)(1/3)=1/9當i<j時，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=0(X,Y)的聯合概率分布律：(2)XY12311/90022/91/9032/92/91/9四、對隨機變量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X與Y的相關系數r=-0.5由契比雪夫不等式所能確定的最小正數c為何值(其中c滿足不等式P{|X+Y|≥6}≤c)解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r=1+4+2(-0.5)12=3P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12c=1/12五、設某班車起點站上人數X服從參數為的泊松分布，且中途不再有人上車。而車上每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1)，且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數。試求(1)(X,Y)的聯合分布律；(2)求Y的分布律解:(1)X~P(),當X=n時，Y~B(n,p)P(Y=k|X=n)=Cnkpk(1-p)n-kk=0,1,2,…,n

當n<k時，P(X=n,Y=k)=0當n≥k時，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)

(X,Y)的聯合分布律為：X=n=0,1,2,3,…Y=k=0,1,2,3,…(2)六、設Xn~B(n,p).(0<p<1,n=1,2,…)則對任意實數x，有解：七、(習題5-2)設X服從幾何分布

P(X=k)=pqk(k=0,1,2,…0<p<1,q=1-p)

求EX,DX解：八、(習題5-5)證明：當t=EX時，g(t)=E(X-t)2最小，這個最小值是DX解：g(t)=E(X-t)2

=E(X2-2Xt+t2)=EX2-2tEX+E(t2)=EX2-2tEX+t2=EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2=DX+(t-EX)2≥DX當t=EX時，g(t)=DX是最小值.九、(習題5-6)證明：在一次試驗中事件A發生的次數X的方差DX≤1/4解：X~B(1,p)