學業分層測評(二十)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1.與均勻隨機數特點不符的是()A.它是[0,1]內的任何一個實數B.它是一個隨機數C.出現的每一個實數都是等可能的D.是隨機數的平均數【解析】A，B，C是均勻隨機數的定義，均勻隨機數的均勻是“等可能”的意思，并不是“隨機數的平均數”.【答案】D2.要產生[－3,3]上的均勻隨機數y，現有[0,1]上的均勻隨機數x，則y可取為()A.－3x －3 D.－6x－3【解析】法一：利用伸縮和平移變換進行判斷；法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.【答案】C3.歐陽修《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕.可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為1.5cm的圓，中間有邊長為0.5cm的正方形孔，若你隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率為()\f(4,9π) \f(9,4π)\f(4π,9) \f(9π,4)【解析】由題意知所求的概率為P＝eq\f×,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))2)＝eq\f(4,9π).【答案】A4.一次試驗：向如圖3-3-13所示的正方形中隨機撒一大把豆子，經查數，落在正方形的豆子的總數為N粒，其中有m(m<N)粒豆子落在該正方形的內切圓內，以此估計圓周率π的值為()圖3-3-13\f(m,N) \f(2m,N)\f(3m,N) \f(4m,N)【解析】設正方形的邊長為2a，依題意，P＝eq\f(πa2,4a2)＝eq\f(m,N)，得π＝eq\f(4m,N)，故選D.【答案】D5.(2023·遼寧高考)若將一個質點隨機投入如圖3-3-14所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()圖3-3-14\f(π,2) \f(π,4)\f(π,6) \f(π,8)【解析】設質點落在以AB為直徑的半圓內為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).【答案】B二、填空題6.如圖3-3-15，矩形的長為6，寬為3，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆為125顆，則我們可以估計出陰影部分的面積約為________.圖3-3-15【解析】∵矩形的長為6，寬為3，則S矩形＝18，∴eq\f(S陰,S矩)＝eq\f(S陰,18)＝eq\f(125,300)，∴S陰＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)7.利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數a，則使關于x的一元二次方程x2－x＋a＝0無實根的概率為________.【解析】∵方程無實根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>eq\f(1,4)，即所求概率為eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)8.如圖3-3-16，在一個兩邊長分別為a，b(a＞b＞0)的矩形內畫一個梯形，梯形的上、下底分別為eq\f(1,4)a與eq\f(1,2)a，高為b，向該矩形內隨機投一點，那么所投點落在梯形內部的概率為________.【導學號：25440059】圖3-3-16【解析】∵圖中梯形的面積為s＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)a))×b＝eq\f(3,8)ab，矩形的面積為S＝ab，∴落在梯形內部的概率為：P＝eq\f(s,S)＝eq\f(\f(3,8)ab,ab)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答題9.箱子里裝有5個黃球，5個白球，現在有放回地取球，求取出的是黃球的概率，如果用計算機模擬該試驗，請寫出算法.【解】P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，用計算機模擬法時可認為0～1之間的隨機數x與事件的對應是：當x在0～時，確定為摸到黃球；當x在～1之間時，確定為摸到白球.具體算法如下：S1，用計數器n記錄做了多少次摸球的試驗，用計算器m記錄其中有多少次顯示的黃球，置n＝0，m＝0；S2，用函數rand產生一個0～1的隨機數x；S3，如果這個隨機數在0～之間，我們認為是摸到黃球，判斷x是不是在0～之間，如果是，則m的值加1，即m＝m＋1；否則m的值保持不變；S4，表示隨機試驗次數的記錄器n加1，即n＝n＋1，如果還需要繼續試驗，則返回S2繼續執行；否則，執行S5；S5，摸到黃球發生的頻率eq\f(m,n)作為概率的近似值.10.對某人某兩項指標進行考核，每項指標滿分100分，設此人每項得分在[0,100]上是等可能出現的.單項80分以上，且總分170分以上才合格，求他合格的概率.【解】設某人兩項的分數分別為x分、y分，則0≤x≤100,0≤y≤100，某人合格的條件是80＜x≤100，80＜y≤100，x＋y＞170，在同一平面直角坐標系中，作出上述區域(如圖陰影部分所示).由圖可知：0≤x≤100,0≤y≤100構成的區域面積為100×100＝10000，合格條件構成的區域面積為S五邊形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－eq\f(1,2)×10×10＝350，所以所求概率為P＝eq\f(350,10000)＝eq\f(7,200).該人合格的概率為eq\f(7,200).[能力提升]為圓C1：x2＋y2＝9上任意一點，Q為圓C2：x2＋y2＝25上任意一點，PQ中點組成的區域為M，在C2內部任取一點，則該點落在區域M上的概率為()\f(13,25) \f(3,5)\f(13,25π) \f(3,5π)【解析】設Q(x0，y0)，中點M(x，y)，則P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq\f(9,4)，故M軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))為圓心，以eq\f(3,2)為半徑的圓，又點(x0，y0)在圓x2＋y2＝25上，所以區域M為在以原點為圓心、寬度為3的圓環帶，即應有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2內部任取一點落在M內的概率為eq\f(16π－π,25π)＝eq\f(3,5)，故選B.【答案】B2.(2023·廣州模擬)如圖3-3-17，已知圓的半徑為10，其內接三角形ABC的內角A，B分別為60°和45°，現向圓內隨機撒一粒豆子，則豆子落在三角形ABC內的概率為()圖3-3-17\f(3＋\r(3),16π) \f(3＋\r(3),4π)\f(4π,3＋\r(3)) \f(16π,3＋\r(3))【解析】由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R為圓的半徑)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°，,AC＝20sin45°))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3)).于是，豆子落在三角形ABC內的概率為eq\f(S△ABC,S圓)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).【答案】B3.(2023·保定模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點【解析】如圖，與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，其體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事件“點P與點O距離大于1的概率”對應的區域體積為23－eq\f(2π,3)，根據幾何概型概率公式得，點P與點O的距離大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)4.從甲地到乙地有一班車