3．指數函數1．理解指數函數的概念與意義，掌握指數函數的定義域、值域的求法．(重點、難點)2．能畫出具體指數函數的圖象，并能根據指數函數的圖象說明指數函數的性質．(重點)[基礎·初探]教材整理1指數函數的定義閱讀教材P90～P91“第12行”以上內容，完成下列問題．指數函數的定義一般地，函數y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝－2x是指數函數．()(2)函數y＝2x＋1是指數函數．()(3)函數y＝(－2)x是指數函數．()【解析】(1)×.因為指數冪2x的系數為－1，所以函數y＝－2x不是指數函數．(2)×.因為指數不是x，所以函數y＝2x＋1不是指數函數．(3)×.因為底數小于0，所以函數y＝(－2)x不是指數函數．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2指數函數的圖象和性質閱讀教材P91～P92，完成下列問題．a＞10＜a＜1圖象a＞10＜a＜1性質定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調性在R上是增函數在R上是減函數奇偶性非奇非偶函數判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)指數函數的圖象一定在x軸的上方．()(2)當a>1時，對于任意x∈R，總有ax>1.()(3)函數f(x)＝2－x在R上是增函數．()【解析】(1)√.因為指數函數的值域是(0，＋∞)，所以指數函數的圖象一定在x軸的上方．(2)×.當x≤0時，ax≤1.(3)×.因為f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，所以函數f(x)＝2－x在R上是減函數．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]指數函數的概念(1)下列一定是指數函數的是()A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D．y＝(a－2)ax(2)函數y＝(a－2)2ax是指數函數，則()A．a＝1或a＝3 B．a＝1C．a＝3 D．a>0且a≠1【精彩點撥】根據指數函數的定義判斷、求解．【自主解答】(1)A中a的范圍沒有限制，故不一定是指數函數；B中y＝xa(a>0且a≠1)中變量是底數，故也不是指數函數；C中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)顯然是指數函數；D中只有a－2＝1即a＝3時為指數函數．(2)由指數函數定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝1，,a>0，且a≠1，))所以解得a＝3.【答案】(1)C(2)C1．指數函數具有形式上的嚴格性，在指數函數定義的表達式中，要牢牢抓住四點：(1)底數是大于0且不等于1的常數；(2)指數函數的自變量必須位于指數的位置上；(3)ax的系數必須為1；(4)指數函數不會是多項式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指數函數．2．求指數函數的解析式常用待定系數法．[再練一題]1．(1)若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝9，則f(x)＝________.(2)已知函數f(x)＝(2a－1)x是指數函數，則實數a的取值范圍是________.【導學號：60210075】【解析】(1)由題意設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則f(2)＝a2＝9，又因為a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.(2)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)且a≠1，所以實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．【答案】(1)3x(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)指數函數的定義域和值域求下列函數的定義域和值域：【導學號：97512041】(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|)；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.【精彩點撥】eq\x(函數式有意義)→eq\x(原函數的定義域)eq\o(→,\s\up7(指數函數),\s\do5(的值域))eq\x(原函數的值域)【自主解答】(1)要使函數式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因為函數y＝3x在R上是增函數，所以x≤0，故函數y＝eq\r(1－3x)的定義域為(－∞，0]．因為x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函數y＝eq\r(1－3x)的值域為[0,1)．(3)因為對于任意的x∈R，函數y＝4x＋2x＋1＋2都有意義，所以函數y＝4x＋2x＋1＋2的定義域為R.因為2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函數y＝4x＋2x＋1＋2的值域為(2，＋∞)．1．求與指數函數有關的函數的定義域時，首先觀察函數是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝eq\r(fax)型函數的定義域時，往往轉化為解指數不等式(組)．2．函數y＝af(x)的值域的求解方法如下：(1)換元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定義域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．3．求與指數函數有關的函數的值域時，要注意與求其它函數(如一次函數、二次函數)值域的方法相結合，要注意指數函數的值域為(0，＋∞)，切記準確運用指數函數的單調性．[再練一題]2．求下列函數的定義域和值域．【解】(1)函數的定義域為{x|x∈R且x≠3}．令t＝eq\f(1,x－3)，則t≠0，∴y＝2t>0且2t≠1，故函數的值域為{y|y>0且y≠1}．(2)函數的定義域為R，令t＝2x－x2，則t＝－(x－1)2＋1≤1，[探究共研型]指數函數的圖象探究1指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過哪一定點？函數f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象又過哪一定點呢？【提示】法一(平移法)∵y＝ax過定點(0,1)，∴將函數y＝ax向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到y＝ax－1＋2，此時函數y＝ax圖象過定點(1,3)法二(解方程法)指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過定點(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，則f(x)＝3，所以函數f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,3)．探究2指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象可能在第三或四象限嗎？為什么？【提示】不可能．因為指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的定義域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，這就決定了其圖象只能在第一象限和第二象限．探究3從左向右，指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象呈上升趨勢還是下降趨勢？其圖象是上凸還是下凸？【提示】當0<a<1時，指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象從左向右呈下降趨勢；當a>1時，指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象從左向右呈上升趨勢．指數函數的圖象下凸．(1)在同一坐標系中畫出函數y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()(2)函數y＝a－|x|(0＜a＜1)的圖象是()【精彩點撥】(1)分a＞1和0＜a＜1兩種情況分類討論，結合排除法解題；(2)根據函數的奇偶性，單調性和函數的最值，以及函數的凹凸性即可判斷．【自主解答】(1)∵a為直線y＝x＋a在y軸上的截距，對應函數y＝x＋a單調遞增，又∵當a＞1時，函數y＝ax單調遞增，當0＜a＜1時，函數y＝ax單調遞減，A中，從圖象上看，y＝ax的a滿足a＞1，而直線y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上兩條；B中，從圖象上看，y＝ax的a滿足0＜a＜1，而直線y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上兩條；C中，從圖象上看，y＝ax的a滿足a＞1，而函數y＝x＋a單調遞減，不符合以上兩條，∴只有選項D的圖象符合以上兩條，故選D.(2)y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(|x|)，易知函數為偶函數，∵0＜a＜1，∴eq\f(a,1)＞1，故當x＞0時，函數為增函數，當x＜0時，函數為減函數，當x＝0時，函數有最小值，最小值為1，且指數函數為凹函數，故選A.【答案】(1)D(2)A1．可用指數函數的圖象過定點(0,1)，結合指數函數的性質如單調性、值域等處理指數函數的圖象問題．2．要求指數型函數圖象所過的定點時，只需令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點．3．指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系．(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小．(2)在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小．(3)無論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向變大．這一性質可通過x取1時函數值的大小關系去理解，如圖3-1-1所示的指數函數的底數的大小關系為0＜d＜c＜1＜b＜a.圖3-1-1[再練一題]3．定義一種運算：g⊙h＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gg≥h，,hg<h，))已知函數f(x)＝2x⊙1，那么函數y＝f(x－1)的大致圖象是()【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥0，,1x<0，))∴f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥1，,1x<1，))∴其圖象為B，故選B.【答案】B1．若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝2，則f(x)＝()A．(eq\r(2))x B．2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(x)【解析】由題意，設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f(2)＝a2＝2，得a＝eq\r(2)，所以f(x)＝(eq\r(2))x.【答案】A2．當x∈[－2,2)時，y＝3－x－1的值域是()【導學號：60210076】\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))【解析】y＝3－x－1，x∈[－2,2)是減函數，∴3－2－1<y≤32－1，即－eq\f(8,9)<y≤8.【答案】A3．已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖3-1-2所示，則f(3)等于()圖3-1-2A．2eq\r(2)－2 \f(\r(3),9)－3C．3eq\r(3)－3 D．3eq\r(3)－3或－3eq\r(3)－3【解析】由圖象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝eq\r(3)(負值舍去)，故f(x)＝3eq\f(x,2)－3，f(3)＝3eq\r(3)－3.【答案】C4．已知函數f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P(m,2)，則m＋n＝________.【解析】令2x－4＝0，即x＝2，f(x)＝1＋n.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,1＋n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))∴m＋n＝3.【答案】