學業分層測評(四)并集、交集(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．(2023·湛江高一檢測)設集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，則集合A∪B＝()A．{1,3,1,2,4,5} B．{1}C．{1,2,3,4,5} D．{2,3,4,5}【解析】∵集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，∴集合A∪B＝{1,2,3,4,5}．故選C.【答案】C2．(2023·中山高一檢測)已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B等于()A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{x∈R|1＜x≤5}【解析】∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故選D.【答案】D3．設集合A＝{1,2}，則滿足A∪B＝{1,2,3}的集合B的個數是()A．1 B．3C．4 D．8【解析】A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，則集合B中必含有元素3，即此題可轉化為求集合A＝{1,2}的子集個數問題，所以滿足題目條件的集合B共有22＝4個．故選C.【答案】C4．(2023·保定高一檢測)設集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，則滿足條件的實數x的個數是()【導學號：97030016】A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1,4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，滿足條件的實數x有0,2，－2，共3個，故選C.【答案】C5．(2023·東城高一檢測)已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A．{0，x,1,2} B．{2,0,1,2}C．{0,1,2} D．不能確定【解析】∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，則x＝2，∴M＝{0,2}，∴M∪N＝{0,1,2}，故選C.【答案】C二、填空題6．某校高一某班共有45人，摸底測驗數學20人得優，語文15人得優，兩門都不得優20人，則兩門都得優的人數為________人．【解析】如圖，設兩門都得優的人數是x，則依題意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即兩門都得優的人數是10人．【答案】107．(2023·廊坊高一檢測)若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，則實數a的取值范圍是________．【解析】A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠?，得a≥－1.【答案】a≥－18．(2023·達州高一檢測)已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，若A∩B＝B，則a的值為________．【解析】由題意得，當a＝1時，方程x2－ax＋1＝0即x2－x＋1＝0無解，集合B＝?，滿足題意；當a＝2時，方程x2－ax＋1＝0即x2－2x＋1＝0有兩個相等的實根1，集合B＝{1}，滿足題意；當a＝3時，方程x2－ax＋1＝0即x2－3x＋1＝0有兩個不相等的實根eq\f(3＋\r(5),2)，eq\f(3－\r(5),2)，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(5),2)，\f(3－\r(5),2)))，不滿足題意．綜上可知，a的值為1或2.【答案】1或2三、解答題9．(2023·滁州高一檢測)設A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.【解】(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8,4＋6＋2b＝0，即b∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．10．已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x＜1}.【導學號：97030017(1)若a＝eq\f(1,2)，求A∩B；(2)若A∩B＝?，求實數a的取值范圍．【解】(1)當a＝eq\f(1,2)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．(2)若A∩B＝?，當A＝?時，有a－1≥2a＋1，∴a≤當A≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<2a＋1,2a＋1≤0或a－1≥1，))∴－2＜a≤－eq\f(1,2)或a≥2.綜上可得，a≤－eq\f(1,2)或a≥2.[能力提升]1．設A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若A∩B＝B，則實數a組成的集合C中元素的個數為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】當a＝0時，由題意B＝?，又A＝{3,5}，B?A，當a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，又A＝{3,5}，B?A，此時eq\f(1,a)＝3或5，則有a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5)，故C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).【答案】D2．設集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))＝\f(1,2)))，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}．若A∩B＝B，則實數a的取值范圍為()A．{a|a≤－2} B．{a|a≤－3}C．{a|a≤－4} D．{a|a≤－1}【解析】∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))＝\f(1,2)))＝{1,2}，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}．由A∩B＝B，得B?A.當4(a＋1)2－4(a2－5)＜0，即a＜－3時，B＝?，符合題意；當4(a＋1)2－4(a2－5)＝0，即a＝－3時，B＝{t|t2－4t＋4＝0}＝{2}，符合題意；當4(a＋1)2－4(a2－5)＞0，即a＞－3時，要使B?A，則B＝A，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－2a＋1,1×2＝a2－5，))此方程組無解．∴實數a的取值范圍是{a|a≤－3}．【答案】B3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為()【導學號：97030018】A．0 B．1C．2 D．4【解析】∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.【答案】D4．(2023·鄭州高一檢測)設集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－5<x<\f(3,2)))))，C＝{x|1－2a＜x＜2a}．(1)若C＝?，求實數a的取值范圍；(2)若C≠?且C?(A∩B)，求實數a的取值范圍．【解】(1)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝∴1－2a≥2a，∴a≤eq\f(1,4)，即實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))).(2)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠?，∴1－2a＜2a，即a>eq\f(1,4)∵A＝{x|－1＜x＜4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－5<x<\f(3,2)))))，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a