平面向量概念及線性算．向量的有關概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．零向量：長度為0向量，其方向是任意的．單位向量：長度等于1單位的向量．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．相反向量：長度相等且方向相反的向量．．向量的線性運算向量運算加法減法數乘

定義求兩個向量和的運算求與b的反向量－的的運算求實數與量積的運算

法則或幾何意義a＝λ>0時a與a的方向相同；當時λa與a的方向相反；當λ＝0時λ＝0

運算律交換律：＋＝＋a結合律：ab)＋＝＋(b＋)ab＝a(－)λ(μa)＝λ)a＋a＝λa＋；λ(ab＝a＋b向量共定理向量b與零向量共線的充要條件是有且只一個實數λ使得＝a.概念方法微思考．線，則存在實數λ使＝a對嗎？提示不，因為當a，≠，不存在λ滿足b＝.．何理解數乘向量？提示λa的小＝λa，向要分類討論：當時，λ與a同向當λ<0時λa

與方向；當＝0或為零向量時λa為向量，方向不確．．何理解共線向量定理？提示如＝b，則a；之，如果ab，b≠0則一定存在唯一一個實數，使得＝題組一思考辨析．斷下列結論是否正請在括號中打“√”或“×)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小(√)與是相等與，的向無關(√)若a∥，b∥c則∥×)→→若向與向量CD是共線向量，則A，，C，四在一條直線上．(×)當兩個非零向量ab共線時，一定有＝a，反之成立．(√)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反(×)題組二教材改編→→→4已ABCD的角線AC和BD相于點O＝a＝C＝________，→＝________.(用，表)答案b－－→→→→解析ABOAb→→→→→ab→→→→[P108B組T5]在行四邊形ABCD，ABAD＝AB－AD，四邊形ABCD的狀為．答案矩→→→解析AB→→→ADDB→→|AC|

3122123212131221232121ABCD題組三易錯自糾．于非零向量ab，“＋b0”是“∥”()A充分不必要條件C．要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件答案A解析b0ab∥abb0．向量，不平行，向量a＋b與＋2b行，則實數＝____________.答案

解析∵a2b0λabμλabμab)λaba

λμ

2→→→設DE分是的邊BC上點ADBE若D＝ABλ(λ，λ為數，則λ＋λ的值為．答案

→→→→2→解析DEDBBC2→→→2→AB(BAACAB31∴，，λ題型一平向量的概念．出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若與b共，與c共線，則a與c也線→→③若，，CD是共線的四點，A＝，則ABCD為行四邊形；④a＝的要條件＝b且ab；⑤已知，μ實數，若λ＝b，則與b共．其中真命題的序號是．答案③解析①

②b0a→→→→→→③ABDCAB|DC∥DCAD④abbab|∥ab⑤λbλμa③.．斷下列四個命題：①若ab則＝；②若＝b，則＝b③＝b，∥b；④若ab，則a＝|.其中正確的個數是()A1B2．3D．答案A解析④思維升華向有關概念的關鍵向量定義的關鍵是方向和長度．非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．相等向量的關鍵是方向相同且長度相等．單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度．零向量的關鍵是長度是，規定零向量與任何量共線．題型二平向量的線性運算命題點向量加、減法的何意義例全國)非零向量，滿＋＝－b，則()AabC．a∥答案A解析方法一∵a∴a.∴a2a·b2.∴a·b∴a⊥b

Ba＝D．b

A.方法二→→ABCDABaAD→→aa|AC⊥AD⊥.A.命題點向量的線性運算例運城模擬)在平行四邊形中點為CD的點BE與的點為F，→→→設ABa，＝，向B等于()2a＋3C．ab

B－a2a3答案→→2→→解析BFBE)123C.→全Ⅰ在ABC中，為BC邊的中線E為AD中點，等于)→1→1→→AB－B.AB－AC444→1→1→→C.＋ACD.＋444答案A解析→→→1→→EDDBADCB→→1→→×((221AB.

A.命題點根據向量線性運求參數→→→→→例在角中CM3MB，AM＝xAB＋yAC則＝________.y答案→→→→解析ABAM)→→→AM3→→1→AMx，y.4xy思維升華平向量線性運算問的常見類型及解題策略向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則求已知向量的和．共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．求參數問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量示出來，進行比較，求參數的值．→→→→→跟蹤訓練(1)在△中，點D分別在邊AC上BDDCCE，＝→→，AC，則等于()5a＋b125C．a12答案→→→1→3→解析DECECA

13－b12D．＋→→→AC)AC→5→5ABC.123→→威模在平行四邊形中E，分為邊，CD的點，若A＝xAE＋→yAF(x，y∈R)，則－y

→→y→→yx答案→→→→1→解析AABAB→→→→→ADDFAD→→→AyAFyAABy

→AD1

xy題型三共定理的應用例設個零向量與不線．→→→若＝a＋＝2＋8b，＝－)，求證：A，B，三共線；試確定實數，使a＋和＋k共線．→→→證明∵ABab2a8CDa)→→→∴BCCDb)→28ab5(ab→→∴ABBD∵B∴ABD解abλkaλ(ab)()(λk1).ab∴kλλk0.k0∴±1.引申探究→→若將本例(1)中“BC2a＋8”改為“＝＋mb”m為值時D三共？→→解CD(m)3(a)a(3)→B4a(mb

111211→→ADBDλAB.4a(b(ab)

7.m7AD．若將本例(2)中的“共線”為反向共”則k為何值？解

kaakλkabλk)(<0)

kλkk1思維升華證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．向量ab線是指存在不全為零的實數λλ，使λa＋λb＝0立；若λ＋b＝0，當且僅當＝＝0時立，則量，不線．→→→跟蹤訓練已，B是共線的三點，且O＝mOA＋nOB(m，∈R)．若mn＝，求證：，P三共線；若A，，三共線，求證＋n證明

(1)→→→→→→OPmOAm)OB)→→→→∴OPmOB→→→→BPmBABP→→∵BAB→→AλPλBA→→→→∴OPOB→→→OPmOA.→→→→mOA(n1)OB→→()(OB0→→∵OAB∴OB

∴

∴mn

．于非零向量ab，“＋2＝”是“a∥”()A充分不必要條件C．要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件答案A解析2b0b∥ab2→→→．知向量＝ab，BCa＋3b，CD－＋，則()A，，三共線C．，，D三共線

B．，，三共線D．B，C，D三共答案B→→→→解析∵BDCDab2→→→→∴ABDDB.如在正方形ABCD中點是DC的點點F上的一個靠近點B的等分點，→那么E等于()→1→AB－AD3→1→C.＋2

→1＋2→－3答案D→→→解析△EFECCF.→→EDCDCB→2→CF.

→→→→1→1→→)→→→→1→1→→)6→1→→→2→EDCABDA2→ABADD.→→→→1→．唐山模擬在△中點滿GA＋GB＋＝若存在點O，使得G，→→→且A＝mOB＋nOC，則－n等于()A2B－2．1．－1答案D→→→解析∵GA→→→→→→∴OAOBOC∴OG→1→3→OOCOB1∴，，mnD.2→→→如，知AB圓O的徑，點D是圓的兩個三等分點＝＝，D等于()AaC．a＋

－ab答案D解析CDCAOC∠∠BOD60°△OCDOOACD→→→1→ADAOACABbD.2→→→→2→如，ABC中ANACP是的一點，若＝mABAC，則實數m的值為()

C.

答案B解析N→→→→6→AmABACmm11→→→→→→．＝＝ABAC＝2則AB＝答案→→→→解析ABABAC△2→→|△ABC→→|23.→→→→→．點是ABC所平面內的一點，且滿－OC＝OB－2OA，eq\o\ac(△,則)形狀為．答案直三角形→→→→→→→解析B2OAOBOAOC→→→→→→→OB→→→→|AC→→AB0→→AB△→→→→→M是△ABC的上的一點M3MBAMλAB＋λ的為．答案

CM解析MMNNMB

11211111121111

MNBNBM1，ACBA4AN3AB→→→→→→→AλABACANNMABAC.→→．州質檢已知為面內兩個不共線的向量＝2e－，NPλe＋，若MN，P三共線，則λ答案－解析M→→kNP3e(λe

λ4.→→→11如圖所示，設O是△部一點，OAOC－OB與的積之比．解DOD→→→OA2→→∴OBOD∴

aDDC(AD)k222→→→111aDDC(AD)k222→→→1112213∴2eq\o\ac(△,)∴△∶→12.如圖所示，在△ABC，，分是，AC的中點與交點，設AB＝，→→＝，試用ab表示向量.解

方法一D→→→→112kakb(k)1→→→→BOkk()k

bakakbk)①222BBDDOakakb(1b②1①②kb(1ak21(1kakkb0.1abk21

123→2BO3→→→AO1a()方法二AOEABC→2→21→→1AOAE×()a)

m→1→1→m→1→1→→→→．圖所示，矩形ABCD的角線相交于點O為AO中點，D＝AB＋ADλμ為實數)則

＋

等于()1B.．D.16答案A→→1→1→解析DEDADADB→1→→→3→DA(DA)44，μ，λμA.．，BC圓O不同的三點，線段CO與段AB交點D點與D不合)若→→→OCOAμOBλ