第二講第四節一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列說法中正確的是()A．圓的切線上的一點與圓心的連線垂直于切線B．一個圓的兩條切線必相交C．和三角形各邊所在的直線都相切的圓一定是三角形的內切圓D．以等腰三角形的頂點為圓心，底邊上高為半徑的圓與底邊相切答案：D2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝eq\f(1,2)BC，則sin∠MCA＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(5),5)解析：由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC．∵sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5)，故選D．答案：D3．如圖，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于D，AB的延長線交CD于點C，若∠CAD＝25°，則∠C為()A．45° B．40°C．35° D．30°解析：連結BD，∵AB為直徑，∴∠BDA＝90°.又∵CD為⊙O的切線，切點為D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°，在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°，∴選B．答案：B4．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．4解析：連接BC．∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2eq\r(3)，故選C．答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知如圖，PA切⊙O于點A，PCB交⊙O于C、B兩點，且PCB過點O，AE⊥BP交⊙O于E，則圖中與∠CAP相等的角是________、________.解析：其中：∠B、∠AEC都與∠CAP相等，連接OA、OE，則△AOE為等腰三角形．∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE為等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.答案：∠EAC∠AEC6．如圖，點P在圓O直徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點，CD⊥AB于D點，則CD＝________.解析：連接OC，∵PC切⊙O于C點，∴OC⊥PC．∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2eq\r(3).∵OC·PC＝OP·CD．∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，△ABT內接于⊙O，過點T的切線交AB的延長線于點P，∠APT的平分線交BT、AT于C、D．求證：△CTD為等腰三角形．證明：∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A．又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形．8．如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，直線MN切⊙O于點C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.解析：(1)證明：在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC＝∠DCN，∵直線MN是圓的切線，∴∠DCN＝∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD．(2)∵∠EBC＝∠BCM，∠BCM＝∠BDC，∴∠EBC＝∠BDC＝∠BAC，BC＝CD＝4.又∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝∠ACB，∴BC＝BE＝4，設AE＝x，易證△ABE∽△DCE，∴eq\f(DE,x)＝eq\f(DC,AB)＝eq\f(4,6)?DE＝eq\f(2,3)x，又AE·EC＝BE·ED，EC＝6－x，∴4·eq\f(2,3)x＝x(6－x)，可得x＝eq\f(10,3).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是∠ACB的平分線交AE于點F，交AB于D點．(1)求∠ADF的度數；(2)若AB＝AC，求AC∶BC．解析：(1)∵AC為圓O的切線，∴∠B＝∠EAC，又DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋ACD，即∠ADF＝∠AFD，又因為BE為圓O的直徑，∴∠DAE＝90°，∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(