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文檔簡介
一二維形式的柯西不等式1.認識柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義.(難點)2.通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題.(重點)[基礎·初探]教材整理二維形式的柯西不等式閱讀教材P31~P36,完成下列問題.內容等號成立的條件代數形式若a,b,c,d都是實數,則(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2當且僅當ad=bc時,等號成立向量形式設α,β是兩個向量,則|α·β|≤|α||β|當且僅當β是零向量,或存在實數k,使α=kβ時,等號成立三角形式設x1,y1,x2,y2∈R,那么eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))+eq\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))≥eq\r(x1-x22+y1-y22)當且僅當P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三點共線且P1,P2在點O兩旁時,等號成立已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()\f(5,6) \f(6,5)\f(25,36) \f(36,25)【解析】2x2+3y2=(2x2+3y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+\f(1,3)))·eq\f(6,5)≥eq\f(6,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)x·\f(\r(2),2)+\r(3)y·\f(\r(3),3)))eq\s\up10(2)=eq\f(6,5)(x+y)2=eq\f(6,5).【答案】B[質疑·手記]預習完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑:疑問2:解惑:疑問3:解惑:[小組合作型]二維柯西不等式的向量形式及應用已知p,q均為正數,且p3+q3=2.求證:p+q≤2.【精彩點撥】為了利用柯西不等式的向量形式,可分別構造兩個向量.【自主解答】設m=peq\s\up10(\f(3,2)),qeq\s\up10(\f(3,2)),n=(peq\s\up12(\f(1,2)),qeq\s\up12(\f(1,2))),則p2+q2=peq\s\up12(\f(3,2))peq\s\up12(\f(1,2))+qeq\s\up12(\f(3,2))qeq\s\up12(\f(1,2))=|m·n|≤|m||n|=eq\r(p3+q3)·eq\r(p+q)=eq\r(2)eq\r(p+q).又∵(p+q)2≤2(p2+q2),∴eq\f(p+q2,2)≤p2+q2≤eq\r(2)eq\r(p+q),∴eq\f(p+q2,2)≤eq\r(2)·eq\r(p+q),則(p+q)4≤8(p+q).又p+q>0,∴(p+q)3≤8,故p+q≤2.使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式,關鍵是合理構造出兩個向量.同時,要注意向量模的計算公式|a|=eq\r(x2+y2)對數學式子變形的影響.[再練一題]1.若本例的條件中,把“p3+q3=2”改為“p2+q2=2”,試判斷結論是否仍然成立?【解】設m=(p,q),n=(1,1),則p+q=p·1+q·1=|m·n|≤|m|·|n|=eq\r(p2+q2)·eq\r(12+12).又p2+q2=2.∴p+q≤eq\r(2)·eq\r(2)=2.故仍有結論p+q≤2成立.運用柯西不等式求最值若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.【精彩點撥】由2x+3y=1以及4x2+9y2的形式,聯系柯西不等式,可以通過構造(12+12)作為一個因式而解決問題.【自主解答】由柯西不等式得(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1.∴4x2+9y2≥eq\f(1,2),當且僅當2x×1=3y×1,即x=eq\f(1,4),y=eq\f(1,6)時取等號.∴4x2+9y2的最小值為eq\f(1,2).1.利用柯西不等式求最值,不但要注意等號成立的條件,而且要善于配湊,保證出現常數結果.2.常用的配湊的技巧有:①巧拆常數;②重新安排某些項的次序;③適當添項;④適當改變結構,從而達到運用柯西不等式求最值的目的.[再練一題]2.若3x+4y=2,試求x2+y2的最小值及最小值點.【導學號:32750048】【解】由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4.所以x2+y2≥eq\f(4,25),當且僅當eq\f(x,3)=eq\f(y,4)時,“=”成立.為求最小值點,需解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+4y=2,,\f(x,3)=\f(y,4),))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(6,25),,y=\f(8,25).))因此,當x=eq\f(6,25),y=eq\f(8,25)時,x2+y2取得最小值,最小值為eq\f(4,25),最小值點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25),\f(8,25))).[探究共研型]二維柯西不等式代數形式的應用探究在二維形式的柯西不等式中,取等號的條件可以寫成eq\f(a,b)=eq\f(c,d)嗎?【提示】不可以.當b·d=0時,柯西不等式成立,但eq\f(a,b)=eq\f(c,d)不成立.已知|3x+4y|=5,求證:x2+y2≥1.【精彩點撥】探求已知條件與待證不等式之間的關系,設法構造柯西不等式進行證明.【自主解答】由柯西不等式可知(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,所以(x2+y2)≥eq\f(3x+4y2,32+42).又因為|3x+4y|=5,所以eq\f(3x+4y2,32+42)=1,即x2+y2≥1.1.利用二維形式的柯西不等式證明時,要抓住柯西不等式的結構特征,必要時,需要將數學表達式適當變形.2.變形往往要求具有很高的技巧,必須善于分析題目的特征,根據題設條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發現問題的本質,找到突破口.[再練一題]3.設a,b∈R+且a+b=2.求證:eq\f(a2,2-a)+eq\f(b2,2-b)≥2.【證明】根據柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2-a)+\f(b2,2-b)))=[(eq\r(2-a))2+(eq\r(2-b))2][eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2-a))))eq\s\up10(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2-b))))eq\s\up10(2)]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2-a)·\f(a,\r(2-a))+\r(2-b)·\f(b,\r(2-b))))eq\s\up10(2)=(a+b)2=4.∴eq\f(a2,2-a)+eq\f(b2,2-b)≥eq\f(4,2-a+2-b)=2,當且僅當eq\r(2-a)·eq\f(b,\r(2-b))=eq\r(2-b)·eq\f(a,\r(2-a)),即a=b=1時等號成立.∴eq\f(a2,2-a)+eq\f(b2,2-b)≥2.[構建·體系]二維柯西不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(代數形式),—\x(向量形式),—\x(三角形式),—\x(柯西不等式求最值)))1.設x,y∈R,且2x+3y=13,則x2+y2的最小值為()\r(13) B.169C.13 【解析】(2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),∴x2+y2≥13.【答案】C2.已知a,b∈R+,且a+b=1,則(eq\r(4a+1)+eq\r(4b+1))2的最大值是()【導學號:32750049】A.2eq\r(6) \r(6)C.6 【解析】(eq\r(4a+1)+eq\r(4b+1))2=(1×eq\r(4a+1)+1×eq\r(4b+1))2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12,當且僅當eq\r(4b+1)=eq\r(4a+1),即a=b=eq\f(1,2)時等號成立.故選D.【答案】D3.平面向量a,b中,若a=(4,-3),|b|=1,且a·b=5,則向量b=________.【解析】|a|=eq\r(42+-32)=5,且|b|=1,∴a·b=|a|·|b|,因此,b與a共線,且方向相同,∴b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),-\f(3,5))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),-\f(3,5)))4.已知x,y>0,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,y)))的最小值為4,則xy=________.【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·1+\r(\f(1,xy))))eq\s\up10(2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2)=4.又eq\r(xy)>0,∴eq\r(xy)=1,∴xy=1.【答案】15.已知x,y,a,b∈R+,且eq\f(a,x)+eq\f(b,y)=1,求x+y的最小值.【解】構造兩組實數eq\r(x),eq\r(y);eq\r(\f(a,x)),eq\r(\f(b,y)).∵x,y,a,b∈R+,eq\f(a,x)+eq\f(b,y)=1,∴x+y=[(eq\r(x))2+(eq\r(y))2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,x))))eq\s\up10(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,y))))eq\s\up10(2)≥(eq\r(a)+eq\r(b))2,當且僅當eq\r(x)∶eq\r(\f(a,x))=eq\r(y)∶eq\r(\f(b,y)),即eq\f(x,y)=eq\r(\f(a,b))時取等號,∴(x+y)min=(eq\r(a)+eq\r(b))2.我還有這些不足:(1)
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