西城區高三模數

本試卷共6頁共分考試時長分鐘。考生務必答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分

（選擇題共40分一、本大題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1已知集合A{xZ

≤}Bx，

（A）{0,1,3}（C）{2,3}

（）{1,2,3}（）{x≤3}（2已知復數i（A）（C）(

，其所對應的點在第四象限，則實數的值范圍（）(1,+（）(（3要得到函數y)

的圖象，只需將函數

sinx

的圖象（A）向左平移個位長度B）向右移個位長度6（C）向左平移

個單位長度（）向平移個單位長度3（4某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的體積為（A）

（）

（C）8（5在△，a，A（A）充分而不必要件（C）充分必要條件

（）4ππ，則“B”“b”（）必要而不充分條件（）既不充分也不必要條件北京市西城區5月高三數學

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（6若直線與曲線C:

y無共點，雙曲線的心率可能是（A）

32

（B

（）2

（）3（）“蘇州碼子”發源蘇州，在明清至民國時期，作為一種民間的數字符號曾經流行一時，廣泛應用于各種商業場.多前，詹天佑主持修建京張鐵路，首次將“州碼子”刻于里程碑上.“蘇州子”計數方式如下：〡（1（2（（4（（（（（9（0）.為防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫已知某鐵路的里程碑所刻數字代表距離始發車站的里程，每隔里擺放一個里程碑，若在A點里程碑上刻著“〣〤B點處里程碑刻著“〩〢從A點B點里程碑的個數應為（A）29

（B

（）

（）59（8記

為等比數列{}

的前n和．已知a

，

，則數列{}（A）有最大項，有小項（C）無最大項，有最小項

（）有最大項，無最小項（）無最大項，無最小項（9在平面直角坐標系x，點A(1,1)，B1)C(2,2)，P圓M:

4)

上一點，Q是△ABC上一點，則的大值是（A）2（C）

（）（）16（乙丙三個學生同時參加了若干門學科競少包含數學和物理競賽中，甲乙丙三人中都有一個學生的分數為x，一個學生的分數為，三學生的分數為，其中，y，z是個互不相等的正整數在成所有學科競賽后，甲的總分為分，乙的總分為分丙的總分為16分且在甲乙丙這三學生中乙的數學競賽成績排名第一，則（A）甲乙丙三個學至少參加了四門學科競賽（B，，這三個中的最大值可以取到（C）在甲乙丙這三個學生中，甲學生的物競賽成績可能排名第二（）在甲乙丙這三個學生中，丙學生的物理競賽成績一定排名第二北京市西城區5月高三數學

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第二部分

（非選擇題共）二、填空題共小題，每小題5分，共25分。（）已知向量a，b(3,m)，a方相反，則m等_____．（）在(x)x

3開式中，常數項是.（）對于拋物線C，出下列三個條件：①對稱軸為軸；②過點(1,1)③焦點到準線的距離為.寫出符合其中兩個條件的一個拋物線的準方程____.（）共享單車已經成為方便人們出行的交通工具，某公司決定從1月始向某地投放共享單車，記第nnN個月共享單車的投放量和損失量分別為和b（位：千輛中1

.從第2個月到年12月共單車的每月投放量比上個月增加1千輛，從21月始共單車的月投放量比上個月減1千輛據預測2020年1月開始享單車的每月損失量比上月增1輛第n個底的共享單車的保有量是前個的累計投放量與累計損失量的差，則該地區第4個底的共享單車的計保有量_____千輛n為時地第個月底的共享單車估計保有量達到最大．1,（）已知函數f)x

其中.出下列四個結論：①若a2，函數(x的點是；②若數f()無小值，則a的值范圍為；③若a則f(x在間上調遞減，在區間單遞增；④若于的程f()恰有三個不相等的實數x,，a的值范圍3為，x的值范圍為(2其中，所有正確結論的序號是_____.北京市西城區5月高三數學

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三、解答題共小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步或證明過程。（小13）如圖，在四棱錐ABCD中面ABCDAB//CD，ABAD,PACD,為PB的點（Ⅰ）求證：平面PBC平；（Ⅱ）求二面角ECD的弦值.（小13）已知函數fx)cos()0).在列條件①、條件②、條件③這三23個條件中，選擇可以確定值兩個條件作為已.（Ⅰ）求)的；（Ⅱ）若函數f()在間[0,a]上增函數，求實數a的最大.條件①：()最正周期為條件②：()最值與最小值之和為0；條件③：f(0).注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．北京市西城區5月高三數學

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（小14）在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了“優化線上教育與學生線下學習相結合教育教學實踐活動.為了解區教師對A,C,E五線教育軟件的使用情位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每位教師只選擇一類教育軟件師中隨機抽取了1人，統計數據如下表，其中a，a教育軟件類型選用教師人數

D

假設所有教師選擇使用哪類軟件相互獨立．（Ⅰ）若某校共有00教師，試估計該校教師中使用教育軟件C或的數；（Ⅱ）從該區教師中隨機抽取，估計這中至少有人用教育軟件D的率；（Ⅲ）設該區有3名師，從中隨機抽1人記教師使用教育軟件D的概率估計值為；區學校M有600名師，其中有200人用教育軟件C，100人用教育軟件D學校M中隨機抽取人師用教育件C或D的概率值為P；從該區其他教師（除學校外中隨機抽取人該教師使用教育軟件C或D的概率估計值為.比較PP和之的大小（結論不要求證明）1（小15）x已知橢圓C:的心率為其軸的兩個端點分別為(，B.a（Ⅰ）求橢圓的準方程；（Ⅱ）點為橢圓上除，的任意一點，直線直線于，點為標原點且與直線垂的直線記為lBP交y軸點M線l于點求△BMO與△的積之比北京市西城區5月高三數學

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（小15）已知函數()ln，()

，x在x處得極大值（Ⅰ）求和c的；（Ⅱ）當x時曲線yf()在線(x)的方，求實數的值范圍（Ⅲ）設k，明：存在兩條與曲線yfx和y(x都切的直.（小15）設是正整數的一個非空子集，如果對于任意A都有A或xA，稱為自鄰集記集合A{1,2,

n}(n2,n的有子集中的自鄰集的個數為.（Ⅰ）直接寫出的有自鄰集；（Ⅱ）若偶數且≥，證：A的所有含5個素的子集中，自鄰集的個數是偶數；（Ⅲ）若n≥4，證：≤.北京市西城區5月高三數學

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22西城區高三模數學參考答案一、選擇題（共10小，每小題4，共分）

（）（）A（）B

（）D（）（10）D

（B（B

（）D（）A二、填空題（共5小題，每小題5分，共分）（11）3

（12）（13x，,x（上答案均可）（14

（15）④注：第14）題第一空3分第空.第15題全部選對得5分，選或有錯選得0分其他得3分三、解答題（共6小題，共85）（）解）取的點，接CF，以AFCD，又因為//CD，所以四邊形AFCD是行四邊.因為，ADCD，以四邊形AFCD是正方形，則CF,CF，以BC2，得到BC，所以BC.因為面ABCD，所以PA，

……………分……………分因為PA

A，所以平面因為面PBC，平面PBC平面PAC.（Ⅱ）因為面ABCD，

……………分……………分……………分所以PAAD，AB則,兩垂直，北京市西城區5月高三數學

第7頁

如圖建立空間直角坐標系xyz.

……………分則(0,0,0)，P，B(0,4,0)，(2,2,0)，D，E，所以(0,2,0)，.設平面的向量為xz)，所以

0,

所以

0,x

即

z

……………分令，，所以平面CDE的向量為(1,0,2)，又因為平面法向量

……………分……………10分所以cos

m5，m5

……………12分由已知，二面角為銳角，所以二面角E的弦值為

25

.

…………3分（）解Ⅰ）()4sin

()222

……………分3sin

3(1cos

……………分sin

cos

3πx).選擇條件①②：

……………分由條件①得，T

|

2π

，因，以.

……………分由②知，(2m)3)，以3.

……………分則f()

π)，ππππ所以f())3.3

……………分北京市西城區5月高三數學

第8頁

πππ（Ⅱ）令π2x≤π(kZ)，3

……………10分所以

πππ≤≤π(kZ)12所以函數f()單調增區間為[

π5π,π]kZ).12

……………11因為函數f()[]上單調遞增，且

π5]，時，12所以a

≤

π，故實數的大值為.

……………13分選擇條件①③：由條件①得，T

|

2π

，因，以.

……………分π由③知，f(0)2sin()3，以m.π則f()x)3.ππ所以f()+3+2.πππ（Ⅱ）令π2x≤π(kZ)，3

……………分……………分……………10分所以

πππ≤≤π(kZ)12所以函數f()單調增區間為[

π5π,π]kZ)，12

……………12分因為函數f()[]上單調遞增，且

π5]，時，12所以a

≤

π，故實數的大值為.

……………13分說明：不可以選擇條件②③：由②知，(2m)3)，以3；π由③知，f(0))3，以；矛盾所以函數f()能同時滿足條件②和.（）解（Ⅰ）從表格數據可知，100，則，所以樣本中教師使用教育軟件E的數為45，

…………2北京市西城區5月高三數學

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2233030022330300故估計該校教師中使用教育軟件或的數為300

135人

……4（Ⅱ）設事件F為從該區教師中隨機抽取人，至少有人用教育軟件D由題意樣中的00名師使用軟件D的率為10用頻率估計概率，從該區教師中隨機抽取一名教師，估計該教師使用教育軟件D的率為

……………分記被抽取的3人中使用軟件D的人數為X，

)

………7所以(X2)C3

3189()(1)10

，

……………分3(C())101000

，

……………分所以P()PX（Ⅲ）PPP13（15分

27

……………11……………14分解）題意，得.又

c6a

，所以.

……………分又因為

，所以b3.x故橢圓C的程為.93

……………分（Ⅱ）設P(,y)(y00

x，則093

……………分所以直線的方程為y

x3)，

……………分y令，點E的標為(4,)707y因為直線BE的率為x0x4

，

……………分所以直線l

的方程為

……………分北京市西城區5月高三數學

第10頁

2222|OM||22222222|OM||2222又因為直線

的方程為y

……………10分聯立直線l和線的程，消去y73y，所以0700

得

yy0

，……………11因為

x0所以x，93所以

y0xyx00

，解得點N橫坐標xN

.

……………13分所以eq\o\ac(△,S)BMONMO

1|OM|||x41|x|2124

……………15分即BMO與NMO的積之比為4:7.（）解）

.

……………分由已知f

，f，

……………分解得.經檢驗，滿足題意.所以.

……………分（Ⅱ）f(x)lnx,(x)kx.f)g)xxkx.依題意ln對任意的成立

……………分所以k

lnxx

對任意的x[1,成.lnx令(x，xF

xxx)xxxx

，

………6令(x)2lnx所以h

xxx

，令h

，以x.

……………分因為當時

，h(調遞減；北京市西城區5月高三數學

第11頁

222222222222222222當(2,時

，hx單遞增當時函數h的最小值為32ln2，且32ln2所以()，即.F()在[1,單調遞增，

………8所以F()

min

F所以故數k的值范圍為（Ⅲ）假設存在與曲線yf()和曲線(x都切直線l，

……………分設切點坐標分別為(x,lnx，x,12

2).因為

1)，以l的程為.xx

…………10分因為g

)x，以l的程為2xx2

.

……………11所以

1lnx12

1，消去x得x0……①.x2x41令t(x)x

13，x，2x4所以t

112(x2xx

，1所以區間)上()是函數間(

，t()是函數所以，當x時函數t()的最值為.3又因為t，4e2e4

……………13分1ee31111t()，444244

………14分所以函數t(x)在(0,有個零點，即方程①有兩個不等的正實根，1由方程可得x有個不同的值，x所以

1x11

有兩組不同的解，直線l有條，

…………15分所以存在兩條與曲線yf()(x都切的直.北京市西城區5月高三數學

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（）解）A的集中的自鄰集有：{1,2,3,4}，，{2,3,4}，，{2,3}，.

……………分（Ⅱ）對于集合A的含有5個素的自鄰集Bx,x,,,x}2不妨設xx.34因為對于任意xB，有xB，i1,2,3,4,5.iii所以xx，或.14

……………分對于集合Cn,nn,}，2因為≤xx24

n

，所以1ni

ni

1,2,3,4,5.且nnxnx.431所以CA.因為x，