第三章基礎鞏固一、選擇題1．將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應定在eq\x(導學號27542816)(A)A．每個95元 B．每個100元C．每個105元 D．每個110元[解析]設每個漲價x元，則利潤y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，∴當x＝eq\f(200,40)＝5時，y取得最大值．故每個售價為95元時利潤最大．2．在面積為S(S為定值)的扇形中，當扇形中心角為θ，半徑為r時，扇形周長最小，這時θ、r的值分別是eq\x(導學號27542817)(D)A．θ＝1，r＝eq\r(S) B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S) D．θ＝2，r＝eq\r(S)[解析]S＝eq\f(1,2)θr2?θ＝eq\f(2S,r2)，又扇形周長P＝2r＋θr＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(S,r)))≥4eq\r(S)，當P最小時，r＝eq\f(S,r)?r＝eq\r(S)，此時θ＝2.3．某公司從2023年起每位職工的年工資主要由三個項目組成，并按下表規定發放工資：(工齡為整數)項目計算方法基礎工資2023年2萬元，以后每年逐增10%住房補貼800元×工齡醫療費每年1600元固定不變若該公司某職工在2023年將得到的住房補貼與醫療費之和超過基礎工資的25%，到2023年年底這位職工的工齡至少是eq\x(導學號27542818)(C)A．4年 B．5年C．6年 D．7年[解析]設這位職工的工齡為x年，則800x＋1600>20000(1＋10%)2×25%，即800x＋1600>6050，解得x>5，所以到2023年年底這位職工的工齡至少為6年．4．做一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，在下面四種長度的鐵管中，最合理(夠用，又浪費最少)的是eq\x(導學號27542819)(C)A．4.6mC．5m[解析]設直角三角形兩直角邊長分別為x，y，則eq\f(1,2)xy＝1，即xy＝2.周長l＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝(1＋eq\r(2))×2≈，當且僅當x＝y時取等號．考慮到實際問題，故選C．二、填空題5．光線透過一塊玻璃，其強度要減弱eq\f(1,10).要使光線的強度減弱到原來的eq\f(1,3)以下，至少需這樣的玻璃板11塊．(參考數據：lg2＝0，lg3＝1)eq\x(導學號27542820)[解析]設至少需要經過這樣的n塊玻璃板，則，(1－eq\f(1,10))n<eq\f(1,3)，即n·lgeq\f(9,10)<lgeq\f(1,3)，∴n>eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg3,2lg3－1)＝eq\f(－1,2×1－1)≈.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．一個矩形的周長為l，面積為S，給出下列實數對：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作為(l，S)的取值的實數對的序號是①④.eq\x(導學號27542821)[解析]依題意，設矩形的長、寬分別為a、b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,2)l,ab＝S))，即l＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4eq\r(S)，eq\f(l,\r(S))≥4.對于①，eq\f(4,\r(1))＝4；對于②，eq\f(8,\r(6))<eq\f(8,\r(4))＝4；對于③，eq\f(10,\r(8))＝eq\f(5,\r(2))<eq\f(\r(32),\r(2))＝4；對于④，eq\f(3,\f(1,\r(2)))＝3eq\r(2)>4.因此，其中可作為(l，S)的取值的實數對的序號是①④.三、解答題7．某企業生產一種機器的固定成本(即固定投入)為萬元，但每生產1百臺時又需可變成本(即需另增加投入)萬元，市場對此商品的需求量為5百臺，銷售的收入函數為R(x)＝5x－eq\f(1,2)x2(萬元)，(0≤x≤5)，其中x是產品生產并售出的數量．(單位：百臺)eq\x(導學號27542822)(1)把利潤表示為年產量的函數；(2)年產量為多少時，企業所得利潤最大？(3)年產量多少時，企業才不虧本．(不賠錢)?[解析](1)設利潤為y.則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Rx－－0≤x≤5,R5－－x＞5))，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋x－0≤x≤5,12－x＞5)).(2)y＝－eq\f(1,2)(x－2＋∴x＝時，即年產量為475臺時企業所得利潤最大．(3)要使企業不虧本，須y＞0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜5,－\f(1,2)x2＋x－＞0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－＞0,x≥5)).2．65＜x＜5或5≤x＜48，即＜x＜48.∴年產量在265臺至4800臺時，企業才會不虧本．8．某自來水廠的蓄水池存有400t水，水廠每小時可向蓄水池中注水60t，同時蓄水池又向居民小區不間斷供水，xh內供水總量為120eq\r(6x)(0≤x≤24).eq\x(導學號27542823)(1)從供水開始到第幾個小時蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？(2)若蓄水池中水量少于80t，就會出現供水緊張現象，請問：在一天的24h內，有幾個小時出現供水緊張現象？[解析](1)設xh后蓄水池中的水量為yt，則y＝400＋60x－120eq\r(6x)，設eq\r(6x)＝u，則u2＝6x(u∈[0,12])，∴y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.∵u∈[0,12]，故當u＝6即x＝6時，ymin＝40.即從供水開始到第6h時，蓄水池中的存水量最少，為40t.(2)依題意，得400＋10u2－120u<80，即u2－12u＋32<0，解得4<u<8，∴16<u2<64.又∵u2＝6x，所以16<6x<64，∴eq\f(8,3)<x<eq\f(32,3).又∵eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，∴每天約有8h供水緊張．能力提升一、選擇題1．某地2023年第一季度應聘和招聘人數排行榜前5個行業的情況列表如下：行業名稱計算機機械營銷物流貿易應聘人數2158302002501546767457065280行業名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數124620102935891157651670436若用同一行業中應聘人數和招聘人數比值的大小來衡量該行業的就業情況，則根據表中數據，就業形勢一定是eq\x(導學號27542824)(B)A．計算機行業好于化工行業B．建筑行業好于物流行業C．機械行業最緊張D．營銷行業比貿易行業緊張[解析]就業情況＝eq\f(應聘人數,招聘人數)，計算機就業形式＝eq\f(215830,124620)＞1，化工業就業形式＝eq\f(應聘人數,70436)＜eq\f(65280,70436)＜1，則A不合適．同理，建筑行業就業形式＝eq\f(應聘人數,76516)＜eq\f(65280,76516)＜1，物流業就業形式＝eq\f(74570,招聘人數)＞eq\f(74570,70436)＞1.2．某商場的某種商品的年進貨量為1萬件，分若干次進貨，每次的進貨量相同，且每次的運費均為100元，運來的貨物除出售外，還需租倉庫存放，倉庫一年的租金數和一次進貨的件數相同，為使一年的運費和租金最省，每次的進貨量應為eq\x(導學號27542825)(D)A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件[解析]設每次的進貨量為x件，一年的運費和租金總和為y元，則y＝eq\f(10000,x)×100＋x≥2eq\r(\f(10000,x)×100·x)＝2000，當且僅當eq\f(1000000,x)＝x，即x＝1000時等號成立，故選D．二、填空題3．現有含鹽7%的食鹽水200克，生產上需要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是100＜x＜\x(導學號27542826)[解析]由題意可列式5%<eq\f(7%×200＋4%×x,200＋x)<6%，即5<eq\f(1400＋4x,200＋x)<6，解得100<x<400.4．周長為2的直角三角形的面積的最大值為3－2eq\r(2).eq\x(導學號27542827)[解析]設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)ab.由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝2，∴2＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(2,2＋\r(2))＝2－eq\r(2)，∴ab≤(2－eq\r(2))2＝6－4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)ab≤3－2eq\r(2)，當且僅當a＝b＝2－eq\r(2)時，S取最大值3－2eq\r(2).三、解答題5．某漁業公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為12萬元，以后每年增加4萬元，每年捕魚收益50萬元．(1)問第幾年開始獲利？eq\x(導學號27542828)(2)若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時，以26萬元出售該漁船；②總純收入獲利最大時，以8萬元出售該漁船．問哪種方案最合算？[解析]由題設知每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數列．設純收入與年數的關系為f(n)，則f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n