山西省臨汾市師村中學2021年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．非鈍角三角形參考答案：C【考點】三角形的形狀判斷．【分析】由三角形的三邊判斷出b為最大邊，根據大邊對大角可得B為最大角，利用余弦定理表示出cosB，將已知的三邊長代入求出cosB的值，由cosB的值小于0及B為三角形的內角，可得B為鈍角，即三角形為鈍角三角形．【解答】解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，∴B為最大角，∴由余弦定理得：cosB===﹣＜0，又B為三角形的內角，∴B為鈍角，則△ABC的形狀是鈍角三角形．故選C2.如圖，F1F2為橢圓C：=1的左、右焦點，點P為橢圓C上一點，延長PF1、，PF2分別交橢圓C于A，B．若=2，=，則λ=（）A．1 B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由橢圓方程求出橢圓兩個焦點的坐標，設出PA所在直線方程，和橢圓方程聯立，求出P的坐標，再由=，把B的坐標用含有λ的代數式表示，代入橢圓方程求得λ的值．【解答】解：由=1，得a2=4，b2=3，∴c2=1．則F1（﹣1，0），F2（1，0），設PA所在直線方程為x=ty﹣1，聯立，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0．解得：，由題意知：yP=﹣2yA，即，解得：t=．不妨取t=，則yP=，則．∴p（，），由=，得，∴B（，），代入，得，解得：．故選：C．3.“雙曲線方程為”是“雙曲線離心率”的

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B4.已知正數x,y滿足，則x+3y的最小值為

A．5

B．12

C．13

D．25參考答案：D5.(2－)8展開式中不含x4項的系數的和為()A．0

B．1

C．-1

D．2參考答案：A6.在⊿ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為()A．

B．

C．1

D．參考答案：B7.右圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)(，)圖像的一部分．為了得到這個函數的圖像，只要將y＝sinx(x∈R)的圖像上所有的點

(

).向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變..向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變..向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變..向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.參考答案：A8.如果對任意實數x總成立,則a的取值范圍是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.表示甲、乙兩名運動員每場比賽得分的莖葉圖．則甲得分的中位數與乙得分的中位數之和為（）A．56分 B．57分 C．58分 D．59分參考答案：B【考點】莖葉圖．【分析】根據莖葉圖中的數據，先把甲、乙運動員得分按從小到大的順序排列，求出它們的中位數，再求和．【解答】解：根據莖葉圖中的數據，得；甲運動員得分按從小到大的順序排列為4，14，14，24，25，31，32，35，36，36，39，45，49，∴它的中位數是32；乙運動員得分按從小到大的順序排列為8，12，15，18，23，25，26，32，33，34，41，∴它的中位數是25；∴32+25=57．故選：B．10.若框圖所給程序運行的結果為，那么判斷框中應填入的關于的判斷條件是（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓，過右焦點作不垂直于軸的弦交橢圓于、兩點，的垂直平分線交軸于，則等于_______.參考答案：略12.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F且EF=，則下列結論中正確的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱錐A﹣BEF的體積為定值：（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．參考答案：（2）（3）【考點】棱柱的結構特征．【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．【解答】解：對于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；對于（2），由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，故正確；對于（3），由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故正確；對于（4），由圖知，當F與B1重合時，與當E與D1重合時，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯誤．∴正確命題的序號是（2）（3）．故答案為（2）（3）．【點評】本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關鍵，是中檔題．13.已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．參考答案：14.右圖給出的是一個算法的偽代碼，若輸入值為，則輸出值=

．參考答案：215.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在y軸上，且長軸長為12，離心率為，則橢圓方程為____________.參考答案：略16.函數在時有極值，那么的值分別為________.參考答案：4，—11略17.36的所有正約數之和可按如下方法得到：因為36=22×32，所以36的所有正約數之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得200的所有正約數之和為

．參考答案：465【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】這是一個類比推理的問題，在類比推理中，參照上述方法，200的所有正約數之和可按如下方法得到：因為200=23×52，所以200的所有正約數之和為（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：類比36的所有正約數之和的方法，有：200的所有正約數之和可按如下方法得到：因為200=23×52，所以200的所有正約數之和為（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正約數之和為465．故答案為：465．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.直線與圓交于、兩點，記△的面積為（其中為坐標原點）．

（1）當，時，求的最大值；

（2）當，時，求實數的值；參考答案：解：（1）當時，直線方程為，設點的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以．所以

Ks5u

．當且僅當，即時，取得最大值．（2）設圓心到直線的距離為，則．因為圓的半徑為，所以．于是，Ks5u

即，解得．故實數的值為，，，．19.已知直線l經過直線3x+4y﹣2=0與直線2x+y+2=0的交點P，且垂直于直線x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直線l的方程；（Ⅱ）直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積S．參考答案：【考點】直線的一般式方程；兩條直線的交點坐標．【分析】（Ⅰ）聯立兩直線方程得到方程組，求出方程組的解集即可得到交點P的坐標，根據直線l與x﹣2y﹣1垂直，利用兩直線垂直時斜率乘積為﹣1，可設出直線l的方程，把P代入即可得到直線l的方程；（Ⅱ）分別令x=0和y=0求出直線l與y軸和x軸的截距，然后根據三角形的面積函數間，即可求出直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于點P的坐標是（﹣2，2）．則所求直線l與x﹣2y﹣1=0垂直，可設直線l的方程為2x+y+m=0．把點P的坐標代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直線l的方程為2x+y+2=0．（Ⅱ）由直線l的方程知它在x軸．y軸上的截距分別是﹣1．﹣2，所以直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積．20.如圖所示，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的，求橢圓的離心率．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c，可得M（c，b），利用勾股定理與橢圓的定義建立關于a、b、c的等式，化簡整理得b=，從而得出c==a，即可算出該橢圓的離心率．【解答】解：設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c，可得焦點為F1（﹣c，0）、F2（c，0），點M的坐標為（c，b），∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2，根據橢圓的定義得|MF1|+|MF2|=2a，可得|MF1|2=（2a﹣|MF2|）2=（2a﹣b）2，∴（2a﹣b）2=4c2+b2，整理得4c2=4a2﹣ab，可得3（a2﹣c2）=2ab，所以3b2=2ab，解得b=，∴c==a，因此可得e==，即該橢圓的離心率等于．21.在中，角所對的邊分別是，且.（1）求角；（2）若的中線的長為，求的面積的最大值.參考答案：(1)∵，…………4分,即，又.………………6分(2)由

即…8分從而（當且僅當時，等號成立），…………10分即…12分22.已知P（0，﹣1）是橢圓C的下頂點，F是橢圓C的右焦點，直線PF與橢圓C的另一個交點為Q，滿足．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過左頂點A作斜率為k（k＞0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點B．已知M為AD的中點，是否存在定點N，使得對于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）P（0，﹣1）是橢圓C的下頂點，可設橢圓的標準方程為：+y2=1．右焦點F（c，0）．由，可得Q，代入橢圓C的方程可得：+=1，又b2=a2﹣c2=1，解得a即可得出．（2）直線l的方程為：y=k（x+2），與橢圓方程聯立化為：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，可得D（，）．可得AD的中點M，可得kOM．直線l的方程為：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假設存在定點N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，則kOM?kBN=﹣1，化簡即可得出．【解答】解：（1）∵P（0，﹣1）是橢圓C的下頂點，可設橢圓的標準方程為：+y2=1．右焦點F（c，0）．由，可得Q，代入橢圓C的方程可得：+=1，∴4c2=3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．∴橢圓C的標準