要點梳理1.周期函數

(1)周期函數的定義對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得定義域內的每一個x值,都有___________,那么函數f(x)

就叫做周期函數._________叫做這個函數的周期.§3.4

三角函數的圖象與性質基礎知識自主學習f(x+T)=f(x)非零常數T(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個____________,那么這個_________就叫做f(x)的最小正周期.

如果函數y=f(x)的周期是T,那么函數y=f(ωx)的周期是多少？函數y=f(ωx)的周期是而不是最小的正數最小正數思考提示2.三角函數的圖象和性質

y=sinxy=cos

xy=tanx定義域______圖象值域___________________奇偶性________________________函數性質RR[-1,1][-1,1]R奇函數奇函數偶函數對稱性對稱軸:;對稱中心:對稱軸:;對稱中心:對稱中心:周期___________________單調性單調增區間

;單調減區間單調增區間

;單調減區間單調增區間基礎自測1.(2010·泰州模擬)函數y=cos4x的最小正周期是____.

解析利用公式2.函數的單調增區間為

________________________.

解析

解析答案

(1)>(2)<4.設函數f(x)=A+Bsinx,若B<0時,f(x)的最大值是最小值是則A=____,B=____.

解析根據題意,-1【例1】求下列函數的定義域:

本題求函數的定義域:(1)需注意對數的真數大于零，然后利用弦函數的圖象求解；(2)需注意偶次根式的被開方數大于或等于零,然后利用函數的圖象或三角函數線求解.典型例題深度剖析分析解

(1)要使原函數有意義,必須有由圖知,原函數的定義域為(2)要使函數有意義∴函數定義域是{x|0<x<或π≤x≤4}.解方法一利用三角函數線,如圖MN為正弦線,OM為余弦線,要使sinx≥cosx,即MN≥OM,∴定義域為方法二

sinx-cosx

將視為一個整體,由正弦函數y=sinx的圖象和性質可知所以定義域為跟蹤練習1求函數的定義域:

【例2】求下列函數的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.

先觀察解析式的結構針對不同的結構采用不同的方法轉化為二次函數或利用|sinx|≤1，

|cosx|≤1等.

解

(1)y=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-

于是當且僅當cosx=1時取得ymax=4,

當且僅當cosx=時取得ymin=

故函數值域為分析跟蹤練習2求下列函數的值域:(1)y=4tanxcosx;(2)y=6-4sinx-cos2x;(3)

解

(1)y=4tanxcosx=4sinx(cosx≠0).

由于cosx≠0,所以sinx≠±1,∴函數的值域為(-4,4).(2)y=6-4sinx-cos2x=sin2x-4sinx+5=(sinx-2)2+1.∵-1≤sinx≤1.∴函數的值域為［2,10］.(3)方法一方法二【例3】已知函數

(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小正周期.

(1)判斷函數的奇偶性,首先要判斷其定義域是否關于原點對稱,之后再作進一步判斷.(2)在求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含有一個三角函數的式子,否則很容易出現錯誤.分析解又f(x)的定義域關于原點對稱,∴f(x)是偶函數.跟蹤練習3已知函數求它的定義域和值域,并判斷它的奇偶性.

解

=cos2x-1=-sin2x.又定義域關于原點對稱,∴f(x)是偶函數.

顯然-sin2x∈［-1,0］,

所以原函數的值域為【例4】(13分)(2008·北京)已知函數f(x)=sin2ωx+(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)求函數f(x)在區間上的取值范圍.

利用公式轉化為y=Asin(ωx+)的形式,然后根據單調性求解.

解題示范

解分析因為函數f(x)的最小正周期為π,且ω>0,所以解得ω=1.[6分]跟蹤練習4

關于x的方程sinx+cosx+a=0在區間[0,2π]上有且只有兩個不同的實根,求:(1)實數a的范圍;(2)這兩個實數根的和.

解

(1)圖為

的圖象,

方程在[0,2π]上有兩個相異實根的充要條件是高考中主要考查三角函數的概念、周期性、單調性、有界性.填空題、解答題均有可能出現,難度以容易題、中檔題為主.

1.當明確了函數圖象基本特征后,“描點法”是作函數圖象的快捷方式.運用“五點法”作正、余弦型函數圖象時,應取好五個特殊點，并注意曲線的凹凸方向.思想方法感悟提高高考動態展望方法規律總結2.作函數圖象首先要確定函數的定義域,先作出一個周期的圖象，再利用周期性作出整個定義域內的圖象.3.數形結合是本節課的重要數學思想.4.對于周期函數,先確定一個周期內的圖象，再確定整個定義域內的圖象.5.判斷函數的奇偶性，應先判定函數定義域的對稱性.注意偶函數的和、差、積、商仍為偶函數.6.三角函數單調區間的確定,一般先將函數化為基本三角函數標準式,然后通過同解變形或利用數形結合的方法求解.若對函數利用描點畫圖，則根據圖形的直觀性可迅速獲解.一、填空題1.(2009·大連一模)y=sin(2x+)的最小正周期是

____.

解析∵y=sinx的周期為2π,定時檢測2.(2010·揚州模擬)

的最大值為____,此時x=______________.

解析33.(2010·鹽城模擬)函數的定義域是

_________________________.

解析4.(2009·牡丹江調研)已知函數y=2cosx(0≤x≤1000π)的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形,則這個封閉圖形的面積是________.

解析如圖,y=2cosx的圖象在[0,2π]上與直線

y=2圍成封閉圖形的面積為S=4π,

所以在[0,1000π]上封閉圖形的面積為

4π×500=2000π.2000π5.(2010·江蘇鹽城月考)已知函數y=tanωx在內是減函數,則ω的取值范圍是________.

解析由已知條件ω<0,∴-1≤ω<0.-1≤ω<06.(2008·遼寧理)已知(ω>0),

且f(x)在區間上有最小值,無最大值,則ω=_____.

解析如圖所示,

又f(x)在區間內只有最小值、無最大值,答案7.(2009·浙江寧波檢測)定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數,若f(x)的最小正周期是π,且當時,f(x)=sinx,則的值為____.

解析由已知得8.(2010·連云港模擬)sin2,cos1,tan2的大小順序是__________________.

解析

sin2>0,cos1>0,tan2<0.∵cos1=sin(-1),sin2=sin(π-2),

從而sin(-1)<sin(π-2),即cos1<sin2.

故tan2<cos1<sin2.tan2<cos1<sin29.(2008·全國Ⅱ)若動直線x=a與函數f(x)=sinx

和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N兩點,則|MN|

的最大值為____.

解析設x=a與f(x)=sinx的交點為M(a,y1),

x=a與g(x)=cosx的交點為N(a,y2),

則|MN|=|y1-y2|=|sina-cosa|二、解答題10.(2009·福建莆田模擬)是否存在實數a,使得函數在閉區間上的最大值是1？若存在,求出對應的a值；若不存在，說明理由.

解11.(2008·陜西)已知函數

(1)求函數f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x)=判斷函數g(x)的奇偶性,并說明理由.

解

∴f(x)的最小正周期當時,f(x)取得最小值-2;

當時,f(x)取得最大值2.(2)g(x)是偶函數.理由如下∴函數g(x)是偶函數.12.(2010·山東濟寧第一次月考)設a=cosx+sinx),b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.(1)求函數f(x)的解析式;(2)已知常數ω>0,若y=f(ωx)在區間上是增函數,求ω的取值范圍;(3)設集合A=B={x||f(x)-m|<2},

若AB,求實數m的取值范圍.解

(1)f(x)=·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx