§3.4穩定球面腔的光束傳播特性§3.3高斯光束的傳播特性§3.1光學諧振腔的衍射理論1§3.5激光器的輸出功率第三章激光的輸出特性§3.6激光器的線寬極限§3.2對稱共焦腔內外的光場分布§3.7激光光束質量的品質因子M2§3.2對稱共焦腔內外的光場分布回顧——討論自再現模積分方程解的物理意義,建立了激光模式的概念，以及激光器輸出頻率和頻率間隔的計算方法。本節——求解對稱開腔中的自再現模積分方程,求出本征值和本征函數，了解輸出激光的具體場的分布，從而決定開腔自再現模的全部特征。(3-7)1.方形鏡面共焦腔自再現模積分方程的解析解設方鏡每邊長為2a，共焦腔的腔長為L，光波波長為λ，并把x，y坐標的原點選在鏡面中心,而以(x，y)來表示鏡面上的任意點以方形鏡面的對稱共焦腔為例，求解(3-7)式自再現模積分方程§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布1）本征函數的近似解：Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項式——高斯型函數——常系數鏡面上的場分布是厄密多項式與高斯函數的乘積——厄密多項式的零點決定了場圖的零點，高斯函數決定了場分布的外形輪廓（3-18）(3-7)§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布本征函數決定了鏡面上的光場分布，其中:本征函數的模——決定振幅分布

本征函數的幅角——決定相位分布本征值與單程衍射損耗和單程相移有關。2）本征值的近似解：（3-19）§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布1）本征函數的近似解：（3-18）1.方形鏡面共焦腔自再現模積分方程的解析解2.

鏡面上自再現模場的特征

（3-18）①基模：取式中

m=n=0，得到共焦腔方形鏡上基模TEM00場的分布因為所以(1)振幅（強度）分布基模在鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心（x=y=0）向邊緣平滑地降落。在離中心的距離為

處場的振幅降落為中心處的1/e。§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布②定義基模光斑半徑為基模振幅最大值的1/e處基模光束的能量集中在光斑有效截面圓內。上式表明，共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑與鏡的橫向尺寸無關，只與腔長有關。這是共焦腔的主要特征。§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布基模：例：L=1m,λ=10.6mm，共焦腔的CO2激光器ωs≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328mm，共焦腔的He—Ne激光器ωs≈0.25mm

可見，共焦腔的光斑半徑非常小。由

可知,增大鏡面寬度,只減少衍射損耗,對光斑尺寸并無影響.基模光斑半徑為§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布③高階橫模利用基模光斑半徑，本征函數的解可以寫為：

當m、n取不同時為零的一系列整數時,由上式可得出鏡面上各高階橫模的振幅分布因為故§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布因為故③高階橫模因為故TEM20因為故高階橫模因為故高階橫模因為故TEM11高階橫模

總結：m、n的數值正好分別等于光強在x，y方向上的節線(光強為零的線)數目，而且m、n的數值越大，光場也越向外擴展。

高階橫模(2)

相位分布由于為實函數,說明鏡面上各點的光場相位相同,共焦腔反射鏡面本身構成光場的一個等相位面①由自在現模umn(x,y)的輻角決定。2.

鏡面上自再現模場的特征

§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布(3)單程衍射損耗：一般忽略不計，但是在討論激光器單橫模的選取時必須考慮單程衍射損耗。

2.

鏡面上自再現模場的特征

§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布（4）單程相移與諧振頻率而當q一定時，若m、n改變，則橫模的頻率也將發生變化，相鄰橫模頻率間隔為圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜從上式可以看出，共焦腔在頻率上是高度簡并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的諧振頻率。如：TEMmnq，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1，

TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的頻率。這種現象會對激光器的工作狀態產生不良影響。因為所有頻率相等的模式都處在激活介質的增益曲線的相同位置處，從而彼此間產生強烈的競爭作用，導致多模振蕩,使輸出激光光束質量變壞。普通激光器的輸出都是多模的

§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布§3.2.1共焦腔鏡面上的場分布方形鏡面共焦腔諧振頻率圓形鏡面共焦腔諧振頻率§3.2.2共焦腔中的行波場與腔內外的光場分布1.腔內的場分布通過基爾霍夫衍射公式計算由鏡面M1上的場分布在腔內造成的行波求得，行波被反射鏡M2反射產生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內迭加成駐波,該駐波場的分布即腔內光場分布。定義將鏡面場分布[式(3-18)]代入基爾霍夫衍射公式[式(3-1)]可得腔內場分布圖3-7計算腔內外光場分布的示意圖上式表示TEMmn模在腔內任意點(x,y,z)處的場函數。其中,實部代表振幅,虛部代表相位（1）Hm，Hn——

m階、n階厄密多項式，確定了場在x、

y方向的大小及節線數目

(2)