第五章平穩時間序列模型的性質第一節自回歸過程的性質第二節移動平均過程的性質第三節自回歸移動平均過程的性質2/4/20231第四章時間序列模型的性質第一節自回歸過程的性質一、一階自回歸過程AR(1)的性質二、二階自回歸過程AR(2)的性質三、p階自回歸過程AR(p)的性質2/4/20232第四章時間序列模型的性質一、一階自回歸過程AR(1)的性質一階自回歸模型的形式為：或2/4/20233第四章時間序列模型的性質1、平穩性和可逆性a.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外，即應有：2/4/20234第四章時間序列模型的性質2.ar(1)過程的自相關函數2/4/20235第四章時間序列模型的性質2/4/20236第四章時間序列模型的性質2/4/20237第四章時間序列模型的性質2/4/20238第四章時間序列模型的性質通過上述推導可看出，當過程平穩即時，AR(1)過程的自相關函數（ACF）呈指數衰減。如果，那么所有的自相關系數都為正，并逐漸衰減。如果，自相關系數的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。2/4/20239第四章時間序列模型的性質例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖2/4/202310第四章時間序列模型的性質-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2/4/202311第四章時間序列模型的性質例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:呈指數衰減2/4/202312第四章時間序列模型的性質例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖2/4/202313第四章時間序列模型的性質-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2/4/202314第四章時間序列模型的性質例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::呈正負交替指數衰減2/4/202315第四章時間序列模型的性質3.AR(1)過程的偏自相關函數（PACF）A.偏自相關函數的一般公式2/4/202316第四章時間序列模型的性質2/4/202317第四章時間序列模型的性質2/4/202318第四章時間序列模型的性質2/4/202319第四章時間序列模型的性質2/4/202320第四章時間序列模型的性質B.AR(1)過程的偏自相關函數2/4/202321第四章時間序列模型的性質上述結論說明：AR(1)過程的偏自相關函數(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于。滯后一階以后PACF截尾。2/4/202322第四章時間序列模型的性質另一種思路：根據定義：偏自相關函數是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機變量Xt-1,Xt-2,…Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關性。對于p階自回歸過程，當s≤p時，xt與xt-s有直接的相關性；而s>p時，兩者沒有直接的相關性。因此，對于AR(p)過程，在模型的滯后階數以內，通常有非零的偏自相關系數；但在滯后階數以外，偏自相關系數則為零。2/4/202323第四章時間序列模型的性質例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::滯后一階以后截尾2/4/202324第四章時間序列模型的性質例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖::滯后一階以后截尾2/4/202325第四章時間序列模型的性質4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數2/4/202326第四章時間序列模型的性質二、二階自回歸AR(2)過程的性質二階自回歸模型的形式為：或2/4/202327第四章時間序列模型的性質B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。2/4/202328第四章時間序列模型的性質2.AR(2)過程的自相關函數2/4/202329第四章時間序列模型的性質2/4/202330第四章時間序列模型的性質2/4/202331第四章時間序列模型的性質2/4/202332第四章時間序列模型的性質通過上述推導可以如下結論，在AR(2)過程的平穩性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即時，AR(2)的自相關函數呈指數衰減。如果特征方程的根為復根，即時，AR(2)的自相關函數呈阻尼正弦波衰減。2/4/202333第四章時間序列模型的性質3.AR(2)過程的偏自相關函數2/4/202334第四章時間序列模型的性質2/4/202335第四章時間序列模型的性質另一種思路：直接根據定義2/4/202336第四章時間序列模型的性質通過上述證明可以得出如下結論：2/4/202337第四章時間序列模型的性質例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2/4/202338第四章時間序列模型的性質-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202339第四章時間序列模型的性質例1.模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰滯后二階以后截尾2/4/202340第四章時間序列模型的性質例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2/4/202341第四章時間序列模型的性質-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202342第四章時間序列模型的性質例2.模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰減滯后二階以后截尾2/4/202343第四章時間序列模型的性質例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2/4/202344第四章時間序列模型的性質-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2/4/202345第四章時間序列模型的性質模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾2/4/202346第四章時間序列模型的性質4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數（1）傳遞形式（2）格林函數2/4/202347第四章時間序列模型的性質三、p階自回歸過程AR(p)的性質二階自回歸模型的形式為：或2/4/202348第四章時間序列模型的性質B.平穩性：為滿足平穩性，的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。2/4/202349第四章時間序列模型的性質對于高階的自回歸過程，其平穩性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩的必要條件之一。2/4/202350第四章時間序列模型的性質2.AR(p)的自相關函數ACF2/4/202351第四章時間序列模型的性質2/4/202352第四章時間序列模型的性質通過上述推導有如下結論：對于平穩過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數衰減或出現復根時的阻尼正弦波衰減。2/4/202353第四章時間序列模型的性質3.AR(p)過程的偏自相關函數PACF2/4/202354第四章時間序列模型的性質可以很容易地看出，當k>p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當k>p時,有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關函數(PACF)滯后p階截尾。2/4/202355第四章時間序列模型的性質4.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數(1)傳遞形式(2)格林函數2/4/202356第四章時間序列模型的性質例:考察如下AR模型的自相關和偏自相關2/4/202357第四章時間序列模型的性質ACFPACF2/4/202358第四章時間序列模型的性質ACFPACF2/4/202359第四章時間序列模型的性質ACFPACF2/4/202360第四章時間序列模型的性質ACFPACF2/4/202361第四章時間序列模型的性質第二節移動平均過程的性質一、一階移動平均過程MA(1)的性質二、二階移動平均過程MA(2)的性質三、q階移動平均過程MA(q)的性質2/4/202362第四章時間序列模型的性質一、一階移動平均過程MA(1)的性質一階移動平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩序列，εt為零均值的白噪聲。2/4/202363第四章時間序列模型的性質1.MA(1)過程的平穩性和可逆性A.平穩性：AR(1)過程總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0的根必須在單位圓外，即有：2/4/202364第四章時間序列模型的性質注：以后對MA(1)過程性質的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。2/4/202365第四章時間序列模型的性質2.MA(1)過程的自相關函數ACF2/4/202366第四章時間序列模型的性質2/4/202367第四章時間序列模型的性質2/4/202368第四章時間序列模型的性質3.MA(1)過程的自相關函數PACF這里不加證明的給出偏自相關函數的遞推公式：2/4/202369第四章時間序列模型的性質2/4/202370第四章時間序列模型的性質由上推導可得出如下結論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負，且呈指數衰減；如果θ1<0,那么PACF正負交替呈指數衰減。2/4/202371第四章時間序列模型的性質另一種證明思路：對于移動平均過程MA(q)，其偏自相關函數會是什么樣的呢？為了考察yt與yt-k是否直接相關，可將MA模型轉換成AR模型；事實上，只要MA(q)過程是可逆的，它就可以表示成AR(∞)。2/4/202372第四章時間序列模型的性質例1：模擬產生的250個數據的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關圖：2/4/202373第四章時間序列模型的性質2/4/202374第四章時間序列模型的性質Xt=εt－0.85εt-1

=(1－0.85B)εt其中θ1=0.85>0εt為白噪聲滯后一階截尾呈負指數衰減2/4/202375第四章時間序列模型的性質例2：模擬產生的250個數據的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關圖：2/4/202376第四章時間序列模型的性質2/4/202377第四章時間序列模型的性質Xt=εt－(－0.85)εt-1

=(1－(－0.85)B)εt其中θ1=－0.85<0呈正負交替指數衰減滯后一階截尾2/4/202378第四章時間序列模型的性質4.MA(1)過程的逆轉形式2/4/202379第四章時間序列模型的性質二、二階移動平均過程MA(2)的性質二階移動平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩序列，εt為零均值的白噪聲。2/4/202380第四章時間序列模型的性質1.MA(2)過程的平穩性和可逆性A.平穩性：MA(2)過程總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。2/4/202381第四章時間序列模型的性質2.MA(2)過程的自相關函數ACF2/4/202382第四章時間序列模型的性質2/4/202383第四章時間序列模型的性質2/4/202384第四章時間序列模型的性質2.MA(2)過程的偏自相關函數(PACF)2/4/202385第四章時間序列模型的性質對于MA(2)過程，我們有如下結論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實數，則φkk是兩個衰減指數的和；如果其根是復數，則φkk是一衰減的正弦波。2/4/202386第四章時間序列模型的性質2/4/202387第四章時間序列模型的性質滯后二階截尾指數衰減(拖尾)2/4/202388第四章時間序列模型的性質2/4/202389第四章時間序列模型的性質滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)2/4/202390第四章時間序列模型的性質4.MA(2)過程的逆轉形式2/4/202391第四章時間序列模型的性質三、q階移動平均過程MA(q)性質2/4/202392第四章時間序列模型的性質1.平穩性和可逆性A.平穩性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。2/4/202393第四章時間序列模型的性質對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是移動平均過程可逆的必要條件之一。2/4/202394第四章時間序列模型的性質2.MA(q)過程的自相關函數(ACF)2/4/202395第四章時間序列模型的性質因而：MA(q)過程的自相關函數是滯后q階截尾的。2/4/202396第四章時間序列模型的性質證明：2/4/202397第四章時間序列模型的性質2/4/202398第四章時間序列模型的性質3.MA(q)過程的偏自相關函數（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關函數是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關函數是由的根確定的，呈混合指數衰減或阻尼正弦波衰減。2/4/202399第四章時間序列模型的性質例:考察如下MA模型的相關性質2/4/2023100第四章時間序列模型的性質MA模型的自相關系數截尾

2/4/2023101第四章時間序列模型的性質MA模型的自相關系數截尾

2/4/2023102第四章時間序列模型的性質MA模型的偏自相關系數拖尾

2/4/2023103第四章時間序列模型的性質MA模型的偏自相關系數拖尾

2/4/2023104第四章時間序列模型的性質MA模型可逆性MA模型自相關系數的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關系數和偏自相關系數2/4/2023105第四章時間序列模型的性質可逆概念的重要性一個自相關系數列唯一對應一個可逆MA模型。

2/4/2023106第四章時間序列模型的性質第三節自回歸移動平均ARMA(p,q)過程一、ARMA(1,1)的性質二、ARMA(p,q)過程的性質2/4/2023107第四章時間序列模型的性質一、ARMA(1,1)的性質2/4/2023108第四章時間序列模型的性質1.ARMA(1,1)過程的平穩性和可逆性2/4/2023109第四章時間序列模型的性質2.ARMA(1,1)過程的ACF2/4/2023110第四章時間序列模型的性質2/4/2023111第四章時間序列模型的性質2/4/2023112第四章時間序列模型的性質通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關函數具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當k=1時，自相關系數有一峰值，并且是由φ1和θ1共同決定，。當k≥2時，自相關系數僅取決于φ1即自回歸部分對應的差分方程的根，呈指數衰減。2/4/2023113第四章時間序列模型的性質3.ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值，一階以后呈指數衰減，不過指數衰減的形態由φ1和θ1共同決定，因此指數衰減的形態比MA(1)過程PACF指數衰減形式更多2/4/2023114第四章時間序列模型的性質例1：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2/4/2023115第四章時間序列模型的性質例1.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF滯后一階有一峰值之后呈指數衰減滯后一階有一峰值之后呈指數衰減2/4/2023116第四章時間序列模型的性質例2：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2/4/2023117第四章時間序列模型的性質例2.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF指數拖尾指數拖尾滯后一階有峰值2/4/2023118第四章時間序列模型的性質4.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉形式（1）傳遞形式和格林函數：xt=φ-1(B)θ(B)at（2）逆轉形式和逆函數θ-1(B)φ

(B)xt=at2/4/2023119第四章時間序列模型的性質二、ARMA(p,q)過程的性質2/4/2023120第四章時間序列模型的性質1.ARMA(p,q)的平穩性和可逆性2/4/2023121第四章時間序列模型的性質2/4/2023122