第四章

熱傳導問題

的數值解法1、重點內容：

①掌握穩態導熱問題數值解法的基本思路；②利用熱平衡法建立節點的離散方程。2、掌握內容：穩態導熱問題的離散方程的建立。

3、了解內容：了解非穩態導熱問題的兩種差分格式及其穩定性。

基本要求分析解法與數值解法的異同點：

?

相同點：根本目的是相同的，即確定①t=f(x，y，z)；②導熱量

。?

不同點：數值解法求解的是區域或時間空間坐標系中離散點的溫度分布代替連續的溫度場；分析解法求解的是連續的溫度場的分布特征，而不是分散點的數值。?

數值解法的實質

對物理問題進行數值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續的物理量的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，來獲得離散點上被求物理量的值。該方法稱為數值解法。

這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數值解。

§4-1導熱問題數值求解的基本思想

§4-2內節點離散方程的建立方法§4-3邊界節點離散方程的建立及代數方程的求解

§4-4非穩態導熱問題的數值解法以二維穩態導熱為例一、問題提出1、對于一維穩態導熱，可用理論法求解2、若不滿足，二維導熱，如圖

3、二維穩態無內熱源的導熱微分方程式（a）

此式求理論解困難，邊界復雜時則不可能

用數值法求解

區域離散化

建立離散方程

求離散點的溫度值

溫度場（分布）

§4-1導熱問題數值求解的基本思想

建立控制方程及定解條件確定節點（區域離散化）建立節點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值求解代數方程組是否收斂解的分析改進初場是否二、導熱問題數值求解基本步驟二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題例題條件（a）

如圖（a）所示二維矩形域內無內熱源、穩態、常物性的導熱問題采用數值解法的步驟如下：

（1）建立控制方程及定解條件

針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即導熱微分方程）為：

（a）（b）xynm(m,n)MN基本概念：網格線、節點、步長、控制容積（元體）二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題（2）區域離散化（確立節點）

用一系列與坐標軸平行的網格線把求解區域劃分成若干個子區域，用網格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節點(結點)

，節點的位置用該節點在兩個方向上的標號m，n表示。

相鄰兩節點間的距離稱步長，△x，△y。如圖(b)所示。xynm(m,n)MN控制容積：節點代表的區域（3）建立節點物理量的代數方程（離散方程）

節點上物理量的代數方程稱離散方程。其過程如下：?

首先劃分各節點的類型；?

其次，建立節點離散方程；?

最后，代數方程組的形成。

對節點(m,n)的代數方程，當△x=△y時，有：

（b）（4）設立迭代初場

代數方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預先設定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進。（5）求解代數方程組

求解時遇到的問題：

①線性；

②非線性；

③收斂性等。如圖（b），除m=1的左邊界上各節點的溫度已知外，其余(M-1)N個節點均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構成一個封閉的代數方程組。1）線性代數方程組：代數方程一經建立，其中各項系數在整個求解過程中不再變化；

xynm(m,n)MN2）非線性代數方程組：代數方程一經建立，其中各項系數在整個求解過程中不斷更新。

3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。（6）解的分析

通過求解代數方程，獲得物體中的溫度分布，根據溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等。因此，對于數值分析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量上的結論。

§4-2內節點離散方程的建立方法這是導熱問題數值計算的關鍵一步。要得出節點的離散方程，首先要了解該節點是哪種類型。如圖所示共給出了6種不同的節點：（1）具有對流邊界條件的外角頂；（2）具有對流邊界條件的平直邊界節點；（3）具有對流邊界條件和對稱絕熱角頂；（4）具有絕熱邊界條件的平直邊界節點；（5）具有對流邊界條件的內角頂；（6）內部節點。1、Taylor（泰勒）級數展開法：2、控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)

能量守恒建立方法一、泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節點(m,n)的溫度tm,n來表示節點(m+1,n)的溫度tm+1,n用節點(m,n)的溫度tm,n來表示節點(m－1,n)的溫度tm-1,n將以上兩式相加可得將上式改寫成的表達式，有同樣可得：表示未明確寫出的級數余項中的ΔX的最低階數為2（4-1a）（4-1b）

根據導熱問題的控制方程(導熱微分方程)若△x=△y則有

得（4-2）P164（b）在穩態下，流向任何節點的熱量總和必定為0二、控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：是傅里葉導熱定律和能量守恒定律的體現。對每個元體，可用傅里葉導熱定律寫出其能量守恒的表達式。流入控制體的總熱流量+控制體內熱源生成熱=流出控制體的總熱流+控制體內能的增量如圖所示，

從節點(m-1,n)通過界面w傳導到節點(m,n)的熱流量：

同理：通過界面e,n,s

傳導給節點（m,n

）的熱流量也可求得（省略）（垂直紙面方向取單位長度）其中，規定：導入元體（m,n

）的熱流量為正；導出元體（m,n

）的熱流量為負。在未知溫度高低的情況下一律以周圍節點或流體溫度都高于該節點溫度來列方程。

對元體(m,n).根據能量守恒定律可知：

說明：①上述分析與推導是在笛卡兒坐標系中進行的；②熱平衡法概念清晰，過程簡捷；③熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。

§4-3邊界節點離散方程的建立及代數方程的求解對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節點的離散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。而對于第二類或第三類邊界條件的導熱問題，所有內節點的離散方程組成的代數方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應對位于該邊界上的節點補充相應的代數方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。為使結果更具一般性，假設物體具有內熱源(不必均勻分布)。如圖所示邊界節點(m,n)只能代表半個元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw

，該元體具有內熱源，據能量守恒定律對該元體有：

1.邊界節點離散方程的建立：(1)平直邊界上的節點（4-4a）（4-4b）(2)外部角頂點如圖所示，二維墻角計算區域中(A.B.C.D.E點），該節點外角點僅代表1/4個以為邊長的元體。假設邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為，則據能量守恒定律得其熱平衡式為：

（4-5b）（4-5a）(3)內部角點如圖所示內部角點F代表了3/4個元體，在同樣的假設條件下有（4-6b）（4-6a）討論關于邊界熱流密度的三種情況：

（1）絕熱邊界即令上述各式即可。

（2）值不為零流入元體，取正，流出元體，取負使用上述公式（3）對流邊界此時，將此表達式代入上述各方程，并將此項中的與等號前的合并。對于的情形有（4-6b）（a）平直邊界（b）外部角點（c）內部角點（4-7）（4-8）（4-9）3.代數方程的求解方法

2）迭代法：先對要計算的場作出假設（設定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直到計算前的假定值與計算結果相差小于允許誤差為止的方法，稱迭代計算收斂。1）直接解法：通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。

迭代法目前應用較多的是：

1）高斯——賽德爾迭代法：每次迭代計算，均是使用節點溫度的最新值。2）用雅可比迭代法：每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。雅可比迭代法高斯——賽德爾迭代法設有一三元方程組：

其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系數（均不為零）及常數。采用高斯——賽德爾迭代法的步驟：

（1）將三元方程變形為迭代方程：

（2）假設一組解（迭代初場），記為：并代入迭代方程求得第一次解每次計算均用最新值代入。

（3）以新的初場重復計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計算終止。判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三公式比較好(4-10)說明：

1）對于一個代數方程組，若選用的迭代方程式不合適，有可能導致發散，即稱迭代過程發散；2）對于常物性導熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應使一個迭代變量的系數總是大于或等于該式中其他變量系數絕對值的代數和，此時，結果一定收斂。這一條件數學上稱主對角線占優（對角占優）；

3）采用熱平衡法導出差分方程時，若每一個方程都選用導出該方程中心節點的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。之所以除以2是因為1mm寬的電熱帶在該元體上只有一半作業P1884-9熱傳導內容總結基本概念導熱的定義、機理、特點熱流量和熱流密度導熱系數和導溫系數肋效率、過余溫度定解條件:幾何、物理、時間、邊界熱阻和接觸熱阻穩態導熱和非穩態導熱非穩態導熱的特點、畢渥數和傅立葉數、集總參數法控制體積、節點、步長定量分析和計算1、傅立葉定律2、導熱微分方程式熱流密度矢量導熱微分方程式（λ為常數）非穩態、無內熱源：

穩態、有內熱源：

穩態、無內熱源：（2-9）

（2-10）

（2-11）

一般形式：

（2-8）

（2-7）

導熱微分方程式（λ為變量）3、一維導熱計算平壁：圓管：肋片的計算（2-39）

（2-41）（1）肋端溫度

（2）通過肋根的熱流量（肋的散熱量）

（2-40）

4、非穩態導熱的計算(1)畢渥數定義：把導熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個無因次的數。（3-6）

（3-7）

(2)集總參數法采用集總參數法的判斷條件（3-10）

其中

，長圓柱

，大平板

，球體

，平板

，圓柱體

，球體

與

的關系：數值計算的熱平衡法討論橡膠的導熱系數小于不銹鋼或鋁試用簡練的語言說明導熱、對流換熱及輻射換熱三種熱傳遞方式之間的聯系和區別。答：導熱和對流的區別在于：物體內部依靠微觀粒子的熱運動而產生的熱量傳遞現象，稱為導熱；對流則是流體各部分之間發生宏觀相對位移及冷熱流體的相互摻混。聯系是：在發生對流換熱的同時必然伴生有導熱。導熱、對流這兩種熱量傳遞方式，只有在物質存在的條件下才能實現，而輻射可以在真空中傳播，輻射換熱時不僅有能量的轉移還伴有能量形式的轉換。以熱流密度表示的傅立葉定律、牛頓冷卻公式及斯忒藩－玻耳茲曼定律是應當熟記的傳熱學公式。試寫出這三個公式并說明其中每一個符號及其意義。導熱系數、表面傳熱系數及傳熱