第一章1一、選擇題1．(2023·蚌埠高二檢測)命題“若a、b都是奇數，則ab必為奇數”的等價命題是eq\x(導學號33780068)()A．如果ab是奇數，則a、b都是奇數B．如果ab不是奇數，則a、b不都是奇數C．如果a、b都是奇數，則ab不是奇數D．如果a、b不都是奇數，則ab不是奇數[答案]B[解析]等價命題即其逆否命題．2．命題“若?p，則q”是真命題，則下列命題一定是真命題的是eq\x(導學號33780069)()A．若p，則?q B．若q，則?pC．若?q，則p D．若?q，則?p[答案]C[解析]原命題與逆否命題互為等價命題，同真同假．3．命題“若a>b，則ac2>bc2(a、b、c∈R)”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為eq\x(導學號33780070)()A．0 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]逆命題與否命題為真．4．(2023·廈門高二檢測)給出命題：已知a、b為實數，若a＋b＝1，則ab≤eq\f(1,4).在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是eq\x(導學號33780071)()A．3 B．2C．1 D．0[答案]C[解析]a，b∈R，則ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴原命題為真，∴逆否命題為真，而ab≤eq\f(1,4)，a＋b不一定等于1，∴真命題1個．5．(2023·山東濟寧高二月考)以下說法錯誤的是eq\x(導學號33780072)()A．如果一個命題的逆命題為真命題，那么它的否命題也必為真命題B．如果一個命題的否命題為假命題，那么它本身一定為真命題C．原命題、否命題、逆命題、逆否命題中，真命題的個數一定為偶數D．一個命題的逆命題、否命題、逆否命題可以同為假命題[答案]B[解析]原命題與其逆否命題有相同的真假性，原命題與其逆命題、否命題的真假性沒有關系，故選B.6．(2023·東北師大附中高二檢測)有下列四個命題：(1)“若x－y＝0，則x、y為相等的實數”的逆命題；(2)“若a>b，則a2>b2”的逆否命題(3)“若x>5，則x2－3x－10>0”的否命題(4)“若ab是無理數，則a、b是無理數”的逆命題．其中真命題的個數是eq\x(導學號33780073)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析](1)逆命題“x、y為相等的實數，則x－y＝0”是真命題(2)∵原命題為假，∴其逆否命題為假命題．(3)否命題“若x≤5，則x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.為假命題．(4)逆命題“若a，b”是無理數，則ab也是無理數，假如a＝(eq\r(2))eq\r(2)，b＝eq\r(2)，則ab＝2是有理數．二、填空題7．(2023·廣州高二檢測)已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是\x(導學號33780074)[答案][1,2][解析]逆命題是“若1<x<2，則m－1<x<m＋1”∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))?1≤m≤2∴m的取值范圍[1,2]．8．設有兩個命題：①關于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；②函數f(x)＝logmx是減函數(m>0且m≠1)．如果這兩個命題中有且只有一個真命題，則m的取值范圍是\x(導學號33780075)[答案]{0}∪[1，＋∞)[解析]①中當m＝0時1≥0恒成立當m≠0時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,Δ≤0))?m>0∴m≥0②f(x)為減函數0<m<1∵兩個命題有且只有一個真命題∴兩個命題一真一假eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,m≤0或m≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,0<m<1))∴m＝0或m≥1∴m的取值范圍{0}∪[1，＋∞)．三、解答題9．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷其真假.eq\x(導學號33780076)(1)如果兩圓外切，那么兩圓心距等于兩圓半徑之和；(2)平面內，兩條平行直線不相交．[解析](1)逆命題：如果兩圓心距等于兩圓半徑之和，那么兩圓外切，真；否命題：如果兩圓不外切，那么兩圓心距不等于兩圓半徑之和，真；逆否命題：如果兩圓心距不等于兩圓半徑之和，那么兩圓不外切，真．(2)原命題：在同一平面內，若兩條直線是平行直線，則它們不相交，真；逆命題：在同一平面內，若兩條直線不相交，則它們平行，假；否命題：在同一平面內，若兩條直線不是平行直線，則它們相交，假；逆否命題：在同一平面內，若兩條直線相交，則它們不平行，真．10．已知a、b∈R，且a2－4b>0.寫出命題“若a＋b＋1<0，則方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根滿足x1<1<x2”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.eq\x(導學號33780077)[解析]逆命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的兩根滿足x1<1<x2，則a＋b＋1<0.否命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，則方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根不滿足x1<1<x2.逆否命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的兩個實根不滿足x1<1<x2，則a＋b＋1≥0.下面對真假進行判斷：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的圖象為開口向上的拋物線，∴x2＋ax＋b＝0的兩個實根滿足x1<1<x2，故原命題為真命題．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的兩實根滿足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命題為真命題．由四種命題的關系可知，否命題和逆命題都是真命題.1.命題“若A∪B＝A，則A∩B＝B”的否命題是eq\x(導學號33780078)()A．若A∪B≠A，則A∩B≠BB．若A∩B＝B，則A∪B＝AC．若A∩B≠B，則A∪B≠AD．若A∪B≠A，則A∩B＝B[答案]A[解析]否命題是對原命題的條件和結論都否定．2．已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個數為eq\x(導學號33780079)()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不屬于P的元素；③M中有屬于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由于“M?P”為假命題，故M中至少有一個元素不屬于P，∴②④正確．M中可能有屬于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③錯誤，選B.3．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，p的逆命題為t，則s是t的eq\x(導學號33780080)()A．逆否命題 B．逆命題C．否命題 D．原命題[答案]C[解析]特例：△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.p：若∠A＝∠B，則a＝b，r：若∠A≠∠B，則a≠b，s：若a≠b，則∠A≠∠B，t：若a＝b，則∠A＝∠B.故s是t的否命題．4．已知命題p：“若a>b>0，則logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1”，則命題p及它的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數為eq\x(導學號33780081)()A．0 B．1C．2 D．4[答案]C[解析]對于命題p，當a>b>0時，有logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b，則必有logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1，因此原命題正確，逆否命題也正確；但當logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1時，得logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)eq\f(b,2)，即a>eq\f(b,2)>0，此時不一定有a>b>0，因此逆命題不正確，則命題p的否命題也不正確．因此一共有2個正確命題，故選C.二、填空題5．原命題：在空間中，若四點不共面，則這四個點中任何三點都不共線，其逆命題為________(真、假).eq\x(導學號33780082)[答案]假[解析]逆命題為：在空間中，若四個點中任何三點不共線，則這四點不共面，假命題．如：正方形ABCD的四個頂點，任意三點不共線，但這四點共面．6．命題“若實數a滿足a≤2，則a2<4”的否命題是________命題．(填“真”或“假”)eq\x(導學號33780083)[答案]真[解析]原命題的否命題為：若實數a滿足a>2，則a2≥4，這是一個真命題．三、解答題7．(2023·山東臨沂高二月考)已知條件p：|5x－1|>a>0，條件q：eq\f(1,2x2－3x＋1)>0，請選取一個適當的實數a的值，分別利用所給出的兩個條件作為A、B，構造命題“若A，則B”，并使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題．這樣的一個原命題可以是什么？eq\x(導學號33780084)[解析]由已知條件p：|5x－1|>a>0，得5x－1<－a或5x－1>a，即x<eq\f(1－a,5)或x>eq\f(1＋a,5).又由已知條件q：eq\f(1,2x2－3x＋1)>0，得2x2－3x＋1>0，解得x<eq\f(1,2)或x>1.為使“若A，則B”為真命題，而其逆命題為假命題，則AB.令a＝4，則得p：x<－eq\f(3,5)或x>1，滿足題意，故可以選取實數a＝4，原命題可以是“若|5x－1|>4，則eq\f(1,2x2－3x＋1)>0”．8．判斷命題“已知a、x為實數，若關于x的不等式x2＋(2a＋1)x