MMTYANGZHOUDAXUE物理科學與技術學院第八講、小波變換和圖像壓縮第1節小波變換簡介設有信號f(t):其傅里葉變換為F(jΩ):即：=++Ψ（t）1/2Ψ（2t-t0）2/3Ψ（4t-t1）像Ψ(t)這樣，有限長且均值為0的函數稱為小波函數。常用的小波函數如下圖：由一個母小波函數，通過平移和縮放，可得到一系列函數，組成一個小波函數系。其中a為縮放參數，b為平移參數。將函數用一個小波函數系的線性組合表示就是小波反變換。為Ψ(x)的傅里葉變換。為小波系數。求得小波系數的算式就是小波正變換。該式也可以理解為f(x)和Ψa,b(x)內積，小波系數表示二者的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少。小波系數有a和b兩個自變量，分別代表不同的尺度（時間）和頻率，所以小波分析屬于時頻分析。第2節離散小波變換（HAAR小波）（1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8）（1/8,1/8,1/8,1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8）（1/4,1/4,-1/4,-1/4,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/4,1/4,-1/4,-1/4）（1/2,-1/2,0,0,0,0,0,0）（0,0,1/2,-1/2,0,0,0,0）（0,0,0,0,1/2,-1/2,0,0）（0,0,0,0,0,0,1/2,-1/2）連續Haar小波對應的離散Haar小波離散小波變換就是做向量的內積。例：對（64，2，3，61，60，6，7，57）做Haar小波變換：Haar小波變換第二種做法：Haar小波反變換：Haar小波反變換第二種做法：第3節圖像小波變換圖像是二維數據，所以要分別對行和列做小波變換。行列的順序不影響變換結果。JPEG2000標準中建議的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。對圖像的小波變換可能有損也可能無損。圖像小波變換除了應用在圖像壓縮上，還廣泛用于圖像分析。第4節EZW編碼（1992）將圖像的小波系數用樹結構表示。例：8×8小波系數掃描次序EZW編碼的術語P：正重要節點，本節點絕對值大于閾值，且為正數。N：負重要節點，本節點絕對值大于閾值，且為負數。Z：孤立零，本節點絕對值小于閾值，但其子節點中有重要節點。T：零樹根，本節點及其所有子節點絕對值都小于閾值。掃描：按次序掃描各小波系數，判斷其為何種節點。第一次掃描編碼結果：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010EZW編碼舉例：第一次掃描:初始閾值設為32。得到重要節點，對零樹根的子節點不做掃描。對重要節點編碼。

第二次掃描編碼結果：NPTTTTTTTTTTTTTTT100110第二次掃描:閾值設為16。第二遍掃描對第一遍的重要節點不掃描。對第一第二遍掃描的重要節點編碼。第三次掃描編碼結果：PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000第三遍掃描:閾值設為8。第三遍掃描對之前掃描的重要節點不掃描。對所有的重要節點編碼。EZW解碼：PNZTPTTTTZTTTTTTTPTT1010NPTTTTTTTTTTTTTTT100110PPNPPNTTNNPTPTTNTTTTTTTTPTTTPTTTTTTTTPTTTTTTTTTTTT10011101111011011000原始小波系數和原始數據解碼誤差分析：小波反變換：第一次解碼誤差：小波反變換：根據第一次掃描結果解碼第二次解碼誤差：根據第二次掃描結果解碼小波反變換：第三次解碼誤差：根據第三次掃描結果解碼小波反變換：JPEG2000是一個新的圖像標準，目的是利用當前的壓縮技術，提供一種新的圖像編碼體系。第5節JPEG2000其中，小波變換采用5/3或9/7小波，編碼采用EBCOT(1999)編碼。JPEG2000的文件采用擴展名".j2k"。JPEG2000有兩種編碼模式：基于DCT的編碼模式：基于JPEG。基于小波變換的編碼模式：包括無損和有損變換。JPEG2000有下述優點：(1)JPEG2000作為JPEG升級版，其壓縮率比JPEG高30%左右。(2)JPEG2000同時支持有損和無損壓縮。無損壓縮對保存一些重要圖片十分有用。(3)JPEG2000能實現漸進傳輸。先傳輸圖像的輪廓，然后逐步傳輸數據，不斷提高圖像質量，讓圖像由朦朧到清晰顯示，而不必是像現在的JPEG一樣，由上到下慢慢顯示。(4)JPEG2000支持“感興趣區域（ROI，regionofinterest）”特性，可以任意指定影像上感興趣區域的壓縮質量，還可以選擇指定的部份先解壓縮。可以很方便的突出重點。

漸進傳輸實例：ROI實例：小結小波變換屬于時頻分析數學工具，不同于單純的時域分析和頻域分析。圖象的小波變換屬于二維離散