引言穩定性是系統的重要特性，是系統正常工作的必要條件，它描述初始條件下系統方程解是否具有收斂性，而與輸入作用無關。線性系統的穩定性只決定于系統的結構和參數，與系統的初始條件及外界擾動的大小無關；非線性系統的穩定性既與系統的結構和參數，又與系統的初始條件及外界擾動的大小有關。

穩定性判別方法：

現代控制理論中：一般系統(包括單變量、線性、定常系統，以及多變量、非線性、時變系統)的穩定性：李雅普諾夫穩定性理論。經典控制理論中：線性定常系統的穩定性：

代數判據(如，赫爾維茨判據、勞斯判據等)；奈魁斯特判據；對數判據；根軌跡判據。

非線性系統穩定性：

描述函數法—要求系統的線性部分具有良好的濾除諧波的性能；相平面法—僅適合于一階、二階非線性系統。李雅普諾夫穩定性分析第四章李雅普諾夫穩定性理論李雅普諾夫理論在建立一系列關于穩定性概念的基礎上，提出了判斷系統穩定性的兩種方法：間接法：利用線性系統微分方程的解來判斷系統穩定性，又稱之為李雅普諾夫第一法；直接法：首先利用經驗和技巧來構造李雅普諾夫函數，進而利用李雅普諾夫函數來判斷系統穩定性，又稱為李雅普諾夫第二法。李雅普諾夫穩定性理論是確定系統穩定性的一般性理論，它采用狀態向量描述，在分析一些特定的非線性系統的穩定性時，有效地解決了用其它方法所不能解決的問題。該理論比經典控制中的穩定性判據、以及以后可能接觸到的超穩定性理論的適應范圍更廣，因而得到廣泛應用。4.1李雅普諾夫意義下的穩定性設系統動態方程為式中，x為n維狀態向量，且顯含時間變量t；f(x，t)為線性或非線性、定常或時變的n維函數，其展開式為假定方程的解為x(t；x0，t0)，式中x0和t0分別為初始狀態向量和初始時刻，則初始條件x0必滿足x(t0

；x0，t0)=x0

。1平衡狀態李雅普諾夫關于穩定性的研究均針對平衡狀態而言。對于所有t，滿足的狀態xe稱為平衡狀態。平衡狀態的各分量相對于時間不再發生變化。若已知狀態方程，令所求得的解x，便是平衡狀態。線性定常系統，其平衡狀態滿足Axe=0，當A為非奇異矩陣時，系統只有唯一的零解，即只存在一個位于狀態空間原點的平衡狀態。若A為奇異矩陣，則系統存在有無窮多個平衡狀態。對于非線性系統，可能有一個或多個平衡狀態。2李雅普諾夫意義下的穩定性設系統初始狀態位于以平衡狀態xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內，即

||x0-xe||≤

δ，

t

=t0 (4-385)若能使系統方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的過程中，都位于以xe為球心、任意規定的半徑為ε的閉球域S(ε)內，即

||x(t；x0，t0)-xe||≤ε，t≥t0 (4-386)則稱系統的平衡狀態xe在李雅普諾夫意義下是穩定的。式中||·||為歐幾里德范數，其幾何意義是空間距離的尺度。實數δ與ε有關，通常也與t0有關。

如果δ與t0無關，則稱平衡狀態是一致穩定的。要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩定性定義，當系統作不衰減的振蕩運動時，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(ε)，則認為是穩定的，這與經典控制理論中線性定常系統穩定性的定義是有差異的。例如：||x0-xe||表示狀態空間中，x0

點至

xe

點之間距離的尺度，數學表達式為：

||x0-xe||=[(x10–x1e)2+(x20–x2e)2+…+(xn0–xne)2]1/2(4-385)3漸近穩定性若系統的平衡狀態xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩定性，且有則稱此平衡狀態是漸近穩定的。這時，從S(δ)出發的軌跡不僅不會超出S(ε)，且當t→∞時收斂于xe，顯見經典控制理論中的穩定性定義與漸近穩定性對應。若δ與t0無關，且上式的極限過程與t0無關，則稱平衡狀態是一致漸近穩定的。4大范圍（全局）漸近穩定性當初始條件擴展至整個狀態空間，且平衡狀態均具有漸近穩定性時，稱此平衡狀態是大范圍漸近穩定的。此時，δ→∞，S(δ)→∞。當t→∞時，由狀態空間中任一點出發的軌跡都收斂于xe。對于嚴格線性的系統，如果它是漸近穩定的，必定是大范圍漸近穩定，這是因為線性系統的穩定性與初始條件的大小無關。而對于非線性系統來說，其穩定性往往與初始條件大小密切相關，系統漸近穩定不一定是大范圍漸近穩定。5不穩定性如果對于某個實數ε

>0和任一個實數δ

>0，不管這兩個實數有多么小，在S(δ)內總存在著一個狀態x0，使得由這一狀態出發的軌跡超出S(ε)，則平衡狀態xe

就稱為是不穩定的。4.2李雅普諾夫第一法(間接法)

間接法：利用狀態方程解的特性來判斷系統穩定性的方法。

適應范圍：線性定常系統、線性時變系統、非線性函數可線性化的系統。定理4-9對于線性定常系統有系統的每一平衡狀態是在李雅普諾夫意義下穩定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。系統的惟一平衡狀態xe

=0是漸近穩定的充要條件是，A的所有特征值均具有負實部。證明1)設xe

為線性定常系統(4-388+)的平衡狀態，則由性質可知，對于所有t≥0均有（可通過等式兩邊求微分證明下式）于是，考慮到x(t;x0,0)=eAtx0，有這表明，當且僅當‖eAt‖≤k＜∞時，對任給的一個實數ε>0，都對應存在和初始時刻無關的一個實數δ(ε)=ε

/k，使得由滿足不等式

||x0—xe||≤δ(ε)(4-391)的任一初態x0出發的受擾運動都滿足不等式因而‖eAt‖有界等價于‖e?t‖有界。但是，由?

為約當規范型可知e?t

每一元的形式為其中λi(·)

為(·)

的特征值，βi為特征值的重數。可以看出，式(4-394)中，當αi<0時對任何正整數βi

此元在[0，∞)上為有界，而αi=0時只對βi=0此元在[0，∞)上為有界。同時，e?t

的每一個元有界意味著‖e?t‖有界。由此可見，當且僅當A的所有特征值均具有負或零實部，且具有零實部的特征值為單根時，‖e?t‖為有界，也就是系統的每一個平衡狀態為李雅普諾夫意義下的穩定。結論1）證畢。這從而由定義知，系統的每一個平衡狀態均為李雅普諾夫意義下穩定。再引入非奇異變換陣P，使得 ?=P-1AP

為矩陣A的約當規范型，則又有2）結論2）證明由式(4-390)可知，當且僅當‖eAt‖對一切t≥0為有界，且當t→0時‖eAt‖→0，零平衡狀態xe=0為漸近穩定。如上所證，當且僅當A的所有特征值均具有負或零實部時，‖e?t‖有界。又根據式(4-393)和式(4-394)可知當且僅當t→∞時 ，可保證t→0時‖eAt‖→0，這就等價于A的特征值均具有負實部。結論2）證畢。由于所討論的系統為線性定常系統，當其為穩定時必為一致穩定；當其為漸近穩定時必為大范圍一致漸近穩定。

例4-1

設系統的狀態空間表達式如下，試分析該系統的狀態穩定性。

解由A陣的特征方程

det[λI–A]=(λ+1)(λ-1)=0可得特征值

λ1=-1，λ2=1。故系統不是漸近穩定的。4.3李雅普諾夫第二法（直接法）1標量函數定號性根據古典力學中的振動現象，若系統能量隨時間推移而衰減，系統遲早會達到平衡狀態，但要找到實際系統的能量函數表達式并非易事。李雅普諾夫提出，虛構一個能量函數，一般它與x1，x2，…，xn

及t有關，記為V(x，t)。若不顯含t，則記為V(x)。V(x)是一個標量函數，考慮到能量總大于零，故為正定函數。能量衰減特性用或表示。李雅普諾夫第二法利用V和的符號特征，直接對平衡狀態穩定性作出判斷，無需求出系統狀態方程的解，故稱直接法。直接法法解決了一些用其它穩定性判據難以解決的非線性系統的穩定性問題，遺憾的是對一般非線性系統仍未找到構造李雅普諾夫函數的通用方法。對于線性系統，通常用二次型函數xTPx

作為李雅普諾夫函數。⑴正定性標量函數V(x)對所有在域S中的非零狀態x有V(x)>0且V(0)=0，則在域S(域S包含狀態空間的原點)內的標量函數V(x)稱為是正定的。

如果時變函數V(x，t)由一個定常的正定函數作為下限，即存在一個正定函數W(x)，使得則稱時變函數V(x，t)在域S(域S包含狀態空間的原點)內是正定的。⑵負定性

如果–V(x)是正定函數，則標量函數V(x)稱為負定函數。⑷負半定性如果標量函數–V(x)是正半定函數，則V(x)稱為負半定函數⑶正半定性

如果標量函數V(x)除了原點及某些狀態處等于零外，在域S內的所有狀態都是正定的，則V(x)稱為正半定函數⑸不定性如果在域S內，不論域S多么小，V(x)既可為正值，也可為負值，則標量函數V(x)稱為不定函數。2李雅普諾夫第二法主要定理1）V(x,t)正定且有界，即存在兩個連續的非減標量函數α(||x||)和β(||x||)，其中α(0)=0，β(0)=0，使對一切t≥t0

和一切x≠0

均有

β(||x||)≥V(x,t)≥α(||x||)>0(4-397)定理4-10(大范圍一致漸近穩定判別定理)

考慮連續時間非線性時變自由系統其中f(0,t)=0，即狀態空間的原點為系統的平衡狀態。如果存在一個對x和t有連續一階偏導數的標量函數V(x,t)，V(0,t)=0，且滿足如下條件：3）當||x||→∞時，α(||x||)→∞，V(x,t)→∞，則系統原點平衡狀態為大范圍一致漸近穩定。2）V(x,t)對時間t的導數負定且有界，即存在一個連續的非減標量函數r(||x||)，其中r(0)=0，使對一切t≥t0

和一切x≠0

均有定理4-11(定常系統大范圍漸近穩定判別定理1)例4-39

設系統狀態方程為下式，試確定系統的穩定性。解顯然，原點(x1=0，x2=0)是該系統惟一的平衡狀態。選取正定標量函數V(x)為則沿任意軌跡，V(x)對時間的導數對于定常系統其中f(0)=0，如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x)，V(0)=0，并且對于狀態空間X中的一切非零點x

滿足如下條件：

1）V(x)為正定；

2）為負定；

3）當||x||→∞時V(x)→∞。則系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的。是負定的。這說明V(x)沿任意軌跡是連續減小的，因此V(x)是一個李雅普諾夫函數。由于當||x||→∞時V(x)→∞，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。定理4-12(定常系統大范圍漸近穩定判別定理2)

對于定常系統如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x)，V(0)=0，并且對于狀態空間X中的一切非零點x滿足如下條件：1）V(x)為正定；2）為負半定；3）對任意x∈X， 不恒等于零；4）當||x||→∞時V(x)→∞。則系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的。例4-40

已知定常系統狀態方程為下式，試確定系統的穩定性。解易知原點(x1=0，x2=0)為系統惟一的平衡狀態。現取V(x)=x12+x22，且有⑴V(x)=x12+x22為正定；⑵容易看出，除了①x1任意，x2=0；②x1任意，x2=-1時，以外，均有。所以，為負半定。⑶檢查是否不恒等于零。則由x2(t)≡0可導出將此代入系統狀態方程可得再考察情況②，設考慮到使得的可能性只有上述①、②兩種情況，所以問題歸結為判斷這兩種情況是否為系統的受擾運動解。

先考察情況①，設這表明，除了點(x1=0，x2=0)， 不是系統的受擾運動解。則由x2(t)=-1可導出將此代入系統狀態方程可得顯然，這是一個矛盾的結果，表明也不是系統的受擾運動解。綜合以上分析可知，不恒等于零。⑷當||x||→∞時，顯然有V(x)=||x||2

→∞。

所以，根據定理4-12可判定系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的。定理4-13(不穩定的判別定理)對于時變系統(4-396)或定常系統(4-399)，如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x，t)或V(x)，其中V(0，t)=0，V(0)=0，和圍繞原點的域Ω，使得對于一切

x∈Ω和一切t≥t0

滿足如下條件：⑴V(x，t)為正定且有界或V(x)為正定；⑵為正定且有界或為正定，則系統平衡狀態為不穩定。4.4線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析設線性定常系統方程為令這里，A為非奇異矩陣，故原點是惟一平衡狀態。取正定二次型函數V(x)=xTPx

作為可能的李雅普諾夫函數，有根據定常系統大范圍漸近穩定性判別定理1（定理4-11），只要Q正定，則系統是大范圍漸近穩定的。1線性定常連續系統漸近穩定的判別于是有因此，線性定常連續系統漸近穩定的充要條件可表示為：給定一正定矩陣P，存在滿足式(4-401)的正定矩陣Q，而V(x)=xTPx

是該系統的一個李雅普諾夫函數。式(4-401)稱為李雅普諾夫矩陣代數方程。

!

若P選取不當，會導致Q非正定，需反復多次選取P陣來驗證Q是否正定。定理4-14線性定常系統的原點平衡狀態

xe

=0為漸近穩定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定實對稱矩陣Q，有惟一的正定對稱矩陣P

使式(4-401)成立。需要說明的是，在利用上述定理判斷線性定常系統的漸近穩定性時，對Q的惟一限制是其應為對稱正矩陣。顯然，滿足這種限制的Q陣可能有無窮多個，但判斷的結果即系統是否為漸近穩定，則和Q

陣的不同選擇無關。上述定理的實質是給出了矩陣A

的所有特征值均具有負實部的充要條件。根據定常系統大范圍漸近穩定判別定理2可以推知，若系統任意的狀態軌跡在非零狀態不存在恒為零時，Q陣可選擇為正半定的，即允許Q取單位陣時主對角線上部分元素為零，而解得的P

陣仍應正定。例4-41已知線性定常連續系統狀