冪函數的概念,圖象與性質.目標:1)

理解冪函數的概念和性質2)

會畫出五種冪函數的圖象難點和重點:學會數形結合的思想概括出五種冪函數的性質.我們先來看看幾個具體的問題:

(1)如果張紅買了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________P=W元(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積_____(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積___________(4)如果某人ts內騎車行進1km,那么他騎車的平均速度________________p是w的函數S=a2

S是a的函數V=a3

V是a的函數V=t?1km/s

V是t的函數以上的函數有什么的共同的特征？

答：形似：y=xa

一引入.以上問題中的函數有什么共同特征？（1）都是函數；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數為常數；（4）自變量前的系數為1;（5）冪前的系數也為1。

上述問題中涉及的函數，都是形如y=xa的函數。

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1.從而我們歸納出冪函數的一般概念：一般地，函數y=xa叫做冪函數，其中x為自變量，a為常數。.例1，判斷下列函數哪幾個是冪函數？答案（2）（6）.函數圖象的畫法是：列表、描點、連線，那么冪函數也用此法。冪函數圖象的畫法

.冪函數的圖象和性質我們主要學習下列幾種函數.

(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3

(4)y=x1/2(5)y=x-1幾何畫板.定義域：值域：奇偶性：單調性：.定義域：值域：奇偶性：單調性：.定義域：值域：奇偶性：單調性：.定義域：值域：奇偶性：單調性：.定義域：值域：奇偶性：單調性：.冪函數的應用證明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2則x1/x2<1所以

所以

所以.

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定義域值域奇偶性單調性

公共點奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）x∈［0，+∞）時,增x∈（-∞，0]時，減增增增x∈[0，+∞）時，減x∈（-∞，0]時，減觀察冪函數圖象，將你發現的結論寫在下表.y=x

y=x2

y=x3

定義域

值域

奇偶性

單調性

定點

圖象R

R奇

增

(1,1)(0,0)

linkR[0,+∞]

偶

x∈[0,+∞]

增

x∈[-∞,0]減

(1,1)(0,0)

linkRR奇增link(1,1)(0,0)[0,+∞]

[0,+∞]

非奇非偶

增

(1,1)(0,0)

link{x|x∈R,x≠0}

{y|y∈R,y≠0}

奇

x∈[0,+∞]

減

x∈[-∞,0]

減

(1,1)

linkBack.結合以上特征得冪函數的性質如下:所有的冪函數在都有定義,并且圖象都通過點(1,1)>0時,(1)圖象都經過點（0，0）和（1，1）(2)圖象在第一象限,函數是增函數.<0時,(1)圖象都經過點（1，1）；(2)圖象在第一象限是減函數;(3)在第一象限內,圖象向上與Y軸無限地接近,向右與X軸無限地接近.指數是偶數的冪函數是偶函數,指數是奇數的冪函數是奇函數.冪函數的應用證明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2則x1/x2<1所以

所以

所以例2證明冪函數f(x)=x1/2在［0，+∞）上是增函數.(1)作差法:若給出的函數是有根號的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:證明時要注意分子和分母均為正數,否則推不出ｆ(Ｘ1)<ｆ(Ｘ2).解:設f(x)=xa由題意得所以所以練習：已知冪函數的圖象過點,試求出此函數的解析式.總結