一對三授課教案校區： 西門口

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所授科目：上課時間： 2018 年

1月

17

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分鐘【教學目標】極值點偏移【教學重難點】授課內容：第一：極值點偏移初探一、極值點偏移的含義眾所周知，函數f(x)滿足定義域內任意自變量x都有f(x)f(2mx)，則函數f(x)關于直線xm對稱；可以理解為函數f(x)在對稱軸兩側，函數值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數，則xm必為f(x)的極值點.如二次函數f(x)的頂點就是極值點x0，若f(x)c的兩根的中點為x1x2，則剛好有x1x2x0，22即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移 .若相等變為不等，則為極值點偏移：若單峰函數f(x)的極值點為m，且函數f(x)滿足定義域內xm左側的任意自變量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx)，則函數f(x)極值點m左右側變化快慢不同.故單峰函數f(x)定義域內任意不同的實數x1,x2滿足f(x1)f(x2)，則x1x2與極值點m必有確定的大小關系：2若mx12x2，則稱為極值點左偏；若mx1x2，則稱為極值點右偏2如函數g(x)x1剛好在方程g(x)x1x2的左邊，我們稱之為極值點左偏.ex的極值點x0c的兩根中點2二、極值點偏移問題的一般題設形式：1.若函數f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，求證：x1x22x0（x0為函數f(x)的極值點）；2.若函數f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2)，求證：x1x22x0（x0為函數f(x)的極值點）；3.若函數f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，令x0x1x2，求證：f'(x0)0；2x1x24.若函數f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2)，令x0，求證：f'(x0)0.2三、問題初現，形神合聚★函數f(x)x22x1aex有兩極值點x1,x2，且x1x2.證明：x1x24.所以h(2x)h(2x)，所以h(x1)h(x2)h[2(x22)]h[2(x22)]h(4x2)，因為x12，4x22，h(x)在(,2)上單調遞減所以x14x2，即x1x24。★已知函數f(x)lnx的圖象C1與函數g(x)1ax2bx(a0)的圖象C2交于P,Q，過PQ的中點R作x軸2的垂線分別交C1，C2于點M,N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.極值點偏移問題在 近幾年高考及各種模考， 作為熱點以壓軸題的形式給出， 很多學生對待此類問題經常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數的，而更多的題型又是含有參數的 .其實，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！第二：極值點處理方法一、極值點偏移的判定定理對于可導函數yf(x)，在區間(a,b)上只有一個極大（小）值點x0，方程f(x)0的解分別為x1,x2，且ax1x2b，（1）若f(x1)f(2x0x2)x1x2()x0，即函數yf(x)在區間(x1,x2)上極（小）大值點x0右，則2（左）偏；（2）若f(x1)f(2x0x2)，則x1x2()x0，即函數yf(x)在區間(1,x2)上極（小）大值點x0右2x（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數yf(x)，在區間(a,b)上只有一個極大（小）值點x0，則函數f(x)的單調遞增（減）區間為(a,x0)，單調遞減（增）區間為(x0,b)，由于ax1x2b，有x1x0，且2x0x2x0，又f(x)f(2x0x)，故x()2xx，所以x1x2()x0，即函數極（小）大值點x0右（左）偏；121022（2）證明略.左快右慢（極值點左偏mx1x2）左慢右快（極值點右偏mx1x2）22左快右慢（極值點左偏mx1x2）左慢右快（極值點右偏mx1x2）22二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：1）求出函數f(x)的極值點x0；2）構造一元差函數F(x)f(x0x)f(x0x)；（3）確定函數F(x)的單調性；（4）結合F(0) 0，判斷F(x)的符號，從而確定 f(x0 x)、f(x0 x)的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數f(x)滿足f(x1)f(x2)，x0為函數f(x)的極值點，求證：x1x22x0.（1）討論函數f(x)的單調性并求出f(x)的極值點x0；假設此處f(x)在(,x0)上單調遞減，在(x0,)上單調遞增（2）構造F(x)f(x0x)f(x0x)；注：此處根據題意需要還可以構造成 F(x) f(x) f(2x0 x)的形式.（3）通過求導F'(x)討論F(x)的單調性，判斷出F(x)在某段區間上的正負，并得出f(x0x)與f(x0x)的大小關系；假設此處F(x)在(0,)上單調遞增，那么我們便可得出F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0，從而得到：xx0時，f(x0x)f(x0x).（4）不妨設x1x0x2，通過f(x)的單調性，f(x1)f(x2)，f(x0x)與f(x0x)的大小關系得出結論；接上述情況，由于xx0時，f(x0x)f(x0x)且x1x0x2，f(x1)f(x2)，故f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2)，又因為x1x0，2x0x2x0且f(x)在(,x0)上單調遞減，從而得到x12x0x2，從而x1x22x0得證.（5）若要證明f'(x1x2)0，還需進一步討論x1x2與x0的大小，得出x1x2所在的單調區間，從而得出222該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為x1x2x1x2x0，由于f(x)在(,x0)上單調遞減，故2x0，故2f'(x1x2)0.2【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f(x)的單調性、極值點，證明f(x0x)與f(x0x)（或f(x)與f(2x0x)）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如x1x22x0或f'(x1x2)0的結2論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題三、對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數 f(x) xex(x R).(1)求函數 f(x)的單調區間和極值；(2)若x1 x2，且f(x1) f(x2)，證明：x1 x2 2.∵x2 1，∴2 x2 1，f(x)在( ,1)上單調遞增，∴ x1 2 x2，∴x1 x2 2.★函數f(x)x44x3與直線ya(a1)交于A(x1,a)、B(x2,a)兩點.33證明：x1x22.★已知函數f(x)2x2，且f(x1)f(x2)，證明：x1x24.lnx，若x1x【解析】由函數f(x)2f(x1)f(x2)，則必有x12x2。lnx單調性可知：若x所以4x12，而f(x1)f(4x1)22lnx1ln(4x1)，x14x1令h(x)22lnxln(4x)，則x4xh'(x)22112(4x)22x2x(4x)2x2(4x)x2(4x)2x4xx2(4x)28(x2)20x2(4x)2所以函數h(x)在(0,2)為減函數，所以h(x)h(2)0，所以f(x1)f(4x1)0即f(x1)f(4x1)，所以f(x2)f(4x2)，所以x1x24.★已知函數fxx2exax2是fx的兩個零點，證明：x1x22.1有兩個零點.設x1,x2四、招式演練★已知函數 gx ex ax2，其中aR,e2.71828L為自然對數的底數，fx是gx的導函數.2（Ⅰ）求 f x的極值；（Ⅱ）若a 1，證明：當x1 x2，且f x1 f x2時， x1 x2 0.【答案】(1)當a 0時， f x無極值;當a 0時, f x有極小值 f ln a a aln a;(2)詳見解析.【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）求出函數 f（x）的導數，設函數 F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．試題解析：（Ⅰ）f x g x ex ax的定義域為 , ， f x ex a當a 0時， f x 0在x , 時成立， f x 在 , 上單調遞增， f x無極值.當a0時，fxexa0解得xlna，由fx0得xlna；由fx0得xlna，所以fx在,lna上單調遞減，在lna,上單調遞增，故fx有極小值flnaaalna.（Ⅱ）當a1時，xxfxex的定義域為,，fxe1，由fxex10，解得x0.當x變化時，fx，fx變化情況如下表：x,000,f x 0 +f x 單調遞減 極小值 單調遞增∵x1 x2，且f x1 f x2，則x1 0 x2（不妨設x1 x2）★已知函數fxlnxax2，其中aR（1）若函數fx有兩個零點，求a的取值范圍；（2）若函數fx有極大值為1，且方程fxm的兩根為x1,x2，且x1x2，證明：x1x24a.12【答案】（1）0;（2）見解析.a2e（1）當a 0時， f x 0函數f x在0, 上單調遞增，不可能有兩個零點（2）當a