2022年山東省青島市嶗山區第五中學高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則

（

）A、

B、 C、

D、參考答案：D2.在復平面上，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：A【分析】化簡復數，判斷對應點的象限.【詳解】，對應點為在第一象限.故答案選A【點睛】本題考查了復數的計算，屬于簡單題.3.曲線x2+y2－ay=0與ax2+bxy+x=0有且只有3個不同的公共點,那么必有（

）A．(a4+4ab+4)(ab+1)=0

B．(a4－4ab－4)(ab+1)=0

C．(a4+4ab+4)(ab－1)=0

D．(a4－4ab－4)(ab－1)=0參考答案：B4.設為等比數列{}的前n項和，8

,則=(

)A.11

B.5

C.-8

D.-11參考答案：D5.函數（）的圖象向右平移個單位以后，到的圖像，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B6.定義函數f（x）=，則函數g（x）=xf（x）﹣6在區間（n∈N*）內的所有零點的和為(

)A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數判斷．【專題】函數的性質及應用．【分析】函數f（x）是分段函數，要分區間進行討論，當1≤x≤2，f（x）是二次函數，當x＞2時，對應的函數很復雜，找出其中的規律，最后作和求出．【解答】解：當時，f（x）=8x﹣8，所以，此時當時，g（x）max=0；當時，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2時，g（x）max=0．下面考慮2n﹣1≤x≤2n且n≥2時，g（x）的最大值的情況．當2n﹣1≤x≤3?2n﹣2時，由函數f（x）的定義知，因為，所以，此時當x=3?2n﹣2時，g（x）max=0；當3?2n﹣2≤x≤2n時，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2時，g（x）max=0．綜上可得：對于一切的n∈N*，函數g（x）在區間上有1個零點，從而g（x）在區間上有n個零點，且這些零點為，因此，所有這些零點的和為．故選：D【點評】本題屬于根的存在性及根的個數的判斷的問題，是一道較復雜的問題，首先它是分段函數，各區間上的函數又很復雜，挑戰人的思維和耐心．7.已知f（x）=ax3+bx2+cx+d與x軸有3個交點（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=，x=時取極值，則x1?x2的值為（）A．4 B．2 C．6 D．不確定參考答案：C【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】由f（0）=0，可得d=0．f′（x）=3ax2+2bx+c．根據f（x）在x=，x=時取極值，可得f′（）=0，f′（）=0，又f（x）=x（ax2+bx+c），可得f（x1）=f（x2）=0，x1，x2≠0．可得x1x2=．【解答】解：∵f（0）=0，∴d=0．f′（x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=，x=時取極值，∴f′（）=0，f′（）=0，a≠0，可得2×++3=0，4×++12=0，解得：=6，又f（x）=x（ax2+bx+c），f（x1）=f（x2）=0，x1，x2≠0．∴x1x2==6．故選：C．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8.數列{an}的前n項和Sn=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，則ap﹣aq=（）A．20 B．16 C．12 D．8參考答案：D【考點】等差數列的性質．【分析】根據an=Sn﹣Sn﹣1可得an是等差數列，可得答案．【解答】解：Sn=n2﹣5n（n∈N*），可得a1=Sn=﹣4當n≥2時，則Sn﹣1=（n﹣1）2﹣5（n﹣1）=n2+7n+6．∵an=Sn﹣Sn﹣1∴an=2n﹣6，當n=1，可得a1=﹣4∵an﹣an﹣1=2常數，∴an是等差數列，首項為﹣4，公差d=2．∵p﹣q=4，令q=1，則p=5，那么a5﹣a1=8．故選D9.在△ABC中，，，，則a的值為A.3 B.23 C. D.2參考答案：C【分析】先由題意得到，求出，再由正弦定理，即可得出結果.【詳解】因為在中，，，，所以，因此，由正弦定理可得，所以.故選C【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.10.《九章算術》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176兩），問玉、石重各幾何?”其意思：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現有寶玉和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質量是11斤（176兩），問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩?”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的x，y分別為（

）A.96,80 B.100,76 C.98,78 D.94,82參考答案：C【分析】流程圖的作用是求出的一個解，其中且為偶數，逐個計算可得輸出值.【詳解】執行程序：，，，故輸出的分別為98,78.故選C.【點睛】本題考查算法中的循環結構、選擇結構，讀懂流程圖的作用是關鍵，此類題是基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二維空間中圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；三維空間中球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=πr3；四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3，則猜想其四維測度W=．參考答案：2πr4【考點】F3：類比推理．【分析】根據所給的示例及類比推理的規則得出高維的測度的導數是底一維的測度，從而得到W′=V，從而求出所求．【解答】解：∵二維空間中圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2，觀察發現S′=l三維空間中球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=πr3，觀察發現V′=S∴四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3，猜想其四維測度W，則W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案為：2πr412.函數的單調減區間是

．參考答案：（－∞，2）13.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是

。參考答案：略14.一個直三棱柱的每條棱長都是3，且每個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為________參考答案：【分析】設此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【詳解】∵一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的球面上，∴設此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，設球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．【點睛】本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉化化歸思想、數形結合思想、屬于中檔題．15.直線l垂直于，且平分圓C：，則直線l的方程為

.參考答案：設直線：，因為過圓心（-1，2），所以，即

16.已知函數，(a是常數且a＞0)．對于下列命題：①函數f(x)的最小值是－1；②函數f(x)在R上是單調函數；③若f(x)＞0在上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；④對任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有其中正確命題的序號是__________(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：(1)(3)(4)17.曲線在點P（0，1）處的切線方程是__________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足（Ⅰ）若a＝1，p且q為真，求實數x的取值范圍；（Ⅱ）若?p是?q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．參考答案：19.(6分)當實數為何值時，直線(1)傾斜角為；

(2)在軸上的截距為.參考答案：解：（1）因為直線的傾斜角為，所以直線斜率為1即：

化簡得：故：（2）因為直線在軸上的截距為1，所以直線過點故有:，解得：略20.已知橢圓的兩焦點為,,離心率.(1).求此橢圓的標準方程。(2).設直線:,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且等于橢圓的短軸長,求m的值。參考答案：（1）.由題意,,又,∴,∴,∴橢圓方程為.

（2）.由消去,得,設,,則,,∴,∴,.21.設等差數列{an}的前項和為Sn，且a2=2，S5=15，數列{bn}的前項和為Tn，且b1=，2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*）（Ⅰ）求數列{an}通項公式an及前項和Sn；（Ⅱ）求數列{bn}通項公式bn及前項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（Ⅰ）由等差數列的性質可知：S5=5a3=15，則a3=3，d=a3﹣a2=1，a1=1，根據等差數列通項公式及前n項和公式即可求得an及Sn；（Ⅱ）由題意可知：=?，采用累乘法即可求得數列{bn}通項公式bn=，利用錯位相減法求得數列{bn}前項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由等差數列{an}的公差為d，由等差數列的性質可知：S5=5a3=15，則a3=3，d=a3﹣a2=1，首項a1=1，∴數列{an}通項公式an=1+（n﹣1）=n，前n項和Sn==；（Ⅱ）2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*），則=?，∴=?，=?，=×，…=?，∴當n≥2時，=（）n﹣1，即bn=，當n=1時，b1=，符合上式，∴數列{bn}通項公式bn=，∴Tn=+++…+，Tn=+++…++，兩式相減得：Tn=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，Tn=2﹣，數列{bn}前項和Tn=2﹣．22.（本題滿分12分）拋物線有光學性質，即由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所示，今有拋物線，一光源在點處，由其發出的光線沿平行于拋