2021-2022學年四川省成都市高埂中學高二數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a為函數的極小值點，則a＝（

）A.－9 B.－2 C.4 D.2參考答案：D∵，∴，∴當或時，單調遞增；當時，單調遞減．∴當時，有極小值，即函數的極小值點為2．選D．

2.參數方程表示的曲線是A.線段

B.射線

C.雙曲線的一支

D.圓參考答案：A略3.E為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A的中點，F為棱的AB上的一點，且∠C1EF=90°，則AF:FB等于

A、1:4

B、1:1

C、3:1

D、1:3參考答案：D4.已知三棱錐A﹣BCD內接于球O，AB=AD=AC=BD=，∠BCD=60°，則球O的表面積為(

)A． B．2π C．3π D．參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【專題】球．【分析】畫出圖形，求出底面三角形的外接圓的半徑，求出A到底面BCD的距離，然后取得外接球的半徑，即可求解表面積．【解答】解：如圖：底面△BCD中，BD=，∠BCD=60°，∴GB=r==1，∵AB=AD=AC=BD=，A﹣BCD是圓錐，∴AG⊥平面BCD，并且經過球的球心O，則AG===，設球的半徑為R，OB2=OG2+GB2，即，解得R=，∴球O的表面積為：4πR2==．故選：D．【點評】本題考查的表面積的求法，幾何體的外接球與幾何體的關系，考查空間想象能力以及計算能力．5.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】算出基本事件的總個數n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的個數m=C31=3，即可算出事件A的概率．【解答】解：∵總個數n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的個數m=C31=3∴P==．故選：A．6.將連續（n3）個正整數填入nn方格中，使其每行，每列，每條對

角線上的數的和都相等，這個正方形叫做n階幻方數陣。記f（n）為n階幻方數陣對角線上數的和，如右圖就是一個3階幻方數陣，可知f（3）=15.若將等差數列：3，4，5，6，的前16項填入44方格中，可得到一個4階幻方數陣，則其對角線上的和f（4）等于（

） 834159672

A．44

B．36

C．42

D．40參考答案：C7.正弦函數是奇函數，是正弦函數，因此是奇函數，以上推理（

）A．結論正確

B．大前提不正確

C．小前提不正確

D．大前提、小前提、結論都不正確參考答案：C根據題意，該推理的大前提：正弦函數是奇函數，正確；小前提是：是正弦函數，因為該函數不是正弦函數，故錯誤；結論：是奇函數，故錯誤.故選：C.

8.下列說法中正確的是（

）①相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于1，相關性越弱；②回歸直線一定經過樣本點的中心；③隨機誤差的方差的大小是用來衡量預報的精確度；④相關指數用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①②

B．③④

C.①④

D．②③參考答案：D①相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于，則相關性越強，所以錯誤；②回歸直線一定經過樣本點的中心，正確；③隨機誤差的方差的大小是用來衡量預報的精確度，正確；④相關指數用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好，所以錯誤．所以正確的有②③。故選D。

9.設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（）A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m參考答案：B【考點】直線與平面平行的判定．【分析】根據題意，依次分析選項：A，根據線面垂直的判定定理判斷．C：根據線面平行的判定定理判斷．D：由線線的位置關系判斷．B：由線面垂直的性質定理判斷；綜合可得答案．【解答】解：A，根據線面垂直的判定定理，要垂直平面內兩條相交直線才行，不正確；C：l∥α，m?α，則l∥m或兩線異面，故不正確．D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確．B：由線面垂直的性質可知：平行線中的一條垂直于這個平面則另一條也垂直這個平面．故正確．故選B10.已知點A(a，b)與點B(1,0)在直線3x－4y＋10＝0的兩側，給出下列說法：①3a－4b＋10>0；

②>2；③當a>0時，a＋b有最小值，無最大值；④當a>0且a≠1，b>0時，的取值范圍為∪.其中正確的個數是(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，….，類比這些等式，若（均為正實數），則=

▲

．參考答案：41略12.若tan=3，則的值等于

；參考答案：6試題分析：考點：三角函數的倍角公式與同角三角函數的商數關系13.378與90的最大公約數為________．參考答案：1814.已知點及橢圓上任意一點，則最大值為

。參考答案：15.已知三棱錐，側棱兩兩互相垂直，且，則以為球心且1為半徑的球與三棱錐重疊部分的體積是

▲

.參考答案：略16.管理人員從一池塘內撈出30條魚，做上標記后放回池塘。10天后，又從池塘內撈出50條魚，其中有標記的有2條。根據以上數據可以估計該池塘內共有

條魚。參考答案：750略17.若直線和圓O：沒有公共點，則過點的直線與橢圓的交點個數為

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點A(1，2).（I）求C的標準方程；（Ⅱ）若O為坐標原點，F是C的焦點，過點F且傾斜角為45°的直線l交C于A，B兩點，求△AOB的面積.參考答案：（I）依題意可設拋物線的方程是因為拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程（Ⅱ）法一：由（I）得，焦點，依題意知直線的方程是，聯立方程化簡，得設則，利用弦長公式得.點到直線的距離，所以的面積為.法二：由（I）得，焦點，依題意知直線的方程是，聯立方程化簡，得設則，采用割補法，則的面積為法三：由（I）得，焦點，依題意知直線的方程是，聯立方程化簡，得設由韋達定理，得.利用拋物線定義，得點到直線的距離，所以的面積為.19.（本題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點．參考答案：解（1）由題意知，所以．即．又因為，所以，．故橢圓的方程為．…………4分（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．…5分由得．

①…………6分設點，，則．直線的方程為．令，得．將，代入整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直線與軸相交于定點…………13分略20.已知函數，其中，e是自然對數的底數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數的單調減區間；參考答案：(1).(2)見解析.【分析】（1）由時，可得，求得和，利用直線的點斜式方程，即可求解.（2）由函數，求得，分類討論，即可求解函數的單調區間.【詳解】（1）由題意，當時，可得，所以.又由，所以，即切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由函數，則，當時，，函數單調遞增，所以無單調減區間；當即時，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調減區間是.當即時，，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調減區間是.綜上，當時，無單調減區間；當時，的單調減區間是；當時，的單調減區間是.【點睛】本題主要考查了利用導數的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數求解函數的單調區間，其中解答中熟記導數的幾何意義，以及導數與函數的單調性的關系，合理分類討論是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21.（本小題滿分12分）以橢圓的中心為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”.已知橢圓的離心率為,且過點．(1)求橢圓及其“伴隨”的方程;(2)過點作“伴隨”的切線交橢圓于,兩點,記為坐標原點)的面積為,將表示為的函數,并求的最大值.參考答案：(1)橢圓的離心率為,則,

設橢圓的方程為

……………2分 ∵橢圓過點，∴，

∴，

…………….………..4分 ∴橢圓的標準方程為，

橢圓的“伴隨”方程為.

………..6分(2)由題意知，.易知切線的斜率存在,設切線的方程為由得………..8分設,兩點的坐標分別為,,則,. 又由與圓相切,所以,. 所以

……10分

,.(當且僅當時取等號)所以當時，的最大值為1.

………..12分22.已知函數f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求證：f（x）≥2．參考答案：【考點】R5：絕對值不等式的解法；R4：絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過討論a的范圍得到關于a的不等式，解出取并集即可；