學業分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇＝________.【解析】扇形的弧長類比三角形的底，扇形的半徑類比三角形的高，所以S扇形＝eq\f(lr,2).【答案】eq\f(lr,2)2．(2023·晉州模擬)數列{an}是正項等差數列，若bn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，則數列{bn}也為等差數列，類比上述結論，正項等比數列{cn}，若dn＝________，則數列{dn}也為等比數列．【解析】∵根據等差數列構造的新的等差數列是由原來的等差數列和下標一致的數字倍的和，除以下標的和，∴根據等比數列構造新的等比數列，乘積變化為乘方c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n)，原來的除法變為開方(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n).【答案】(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)3．由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“|m·n|＝|m|·|n|”類比得“|a·b|＝|a|·|b|”；④“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，類比得到的結論正確的序號是________．【解析】①②均正確，③④不正確．【答案】①②4．已知正三角形內切圓的半徑是高的eq\f(1,3)，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是________.【導學號：01580034】【解析】原問題的解法為等面積法，即正三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h.類比，用等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)r·S?r＝eq\f(1,4)h.【答案】正四面體的內切球的半徑是高的eq\f(1,4)5．已知雙曲正弦函數shx＝eq\f(ex－e－x,2)和雙曲余弦函數chx＝eq\f(ex＋e－x,2)與我們學過的正弦函數和余弦函數有許多類似的性質，請類比正弦函數和余弦函數的和角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數的一個類比的正確結論________．【解析】類比結論為ch(x－y)＝chxchy－shxshy.證明：右邊＝eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ey＋e－y,2)－eq\f(ex－e－x,2)·eq\f(ey－e－y,2)＝eq\f(1,4)(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝eq\f(1,4)[2ex－y＋2e－(x－y)]＝eq\f(ex－y＋e－x－y,2)＝ch(x－y)＝左邊．【答案】ch(x－y)＝chxchy－shxshy(答案不惟一)6．已知{bn}為等比數列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數列，a5＝2，則{an}的類似結論為________．【解析】結合等差數列的特點，類比等比數列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×97．二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發現S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發現V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.【解析】因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V.【答案】2πr48．對于等差數列{an}有如下命題：“若{an}是等差數列，a1＝0，s，t是互不相等的正整數，則有(s－1)at＝(t－1)as”類比此命題，給出等比數列{bn}相應的一個正確命題是：“________”．【解析】首先，需要類比寫出b1＝1，然后寫出bt＝qt－1，bs＝qs－1，即可發現：beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).【答案】若{bn}為等比數列，b1＝1，s、t是互不相等的正整數，則有beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).二、解答題9．如圖2-1-10，在三棱錐S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1，α2，α3，三側面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想．圖2-1-10【解】在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體S-ABC中，猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．【解】證明：如圖所示，由射影定理，AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).[能力提升]1．下面使用類比推理恰當的序號是________．(填序號)①“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“a·c＝b·c，則a＝b”；②“(a·b)·c＝a·(b·c)”類推出“(a·b)·c＝a·(b·c)”；③“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”；④“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”．【解析】①②④均錯．【答案】③2．如圖2-1-11所示，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于________．圖2-1-11【解析】如圖所示，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】eq\f(1＋\r(5),2)3．在平面幾何里，由勾股定理：設△ABC的兩條邊BC，AC互相垂直，則BC2＋AC2＝AB2.拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積和底面積的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩垂直，則________”．【解析】線的關系類比到面的關系，猜測Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB).證明如下：如圖作AE⊥CD連接BE，則BE⊥CD，Seq\o\al(2,△BCD)＝eq\f(1,4)CD2·BE2＝eq\f(1,4)CD2(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2＋AD2)(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋AC2AE2＋AD2AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋CD2AE2)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)【答案】Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)4．我們知道三角形的性質：如圖2-1-12，過△ABC的底邊AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC，AC于A1，B1，則eq\f(OA1,AC)＋eq\f(OB1,BC)為定值1.那么你能類比此性質，猜想四面體中所具有的性質嗎？試證明你的猜想是否正確．圖2-1-12【解】猜想的性質為：如圖①，過四面體V－ABC的底面ABC上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面的交點，則eq\f(OA1,VA)＋eq\f(OB1,VB)＋eq\f(OC1,VC)為定值1.①證明如下：設平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，則△MOA1∽△MAV，