學(xué)業(yè)分層測評(七)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角【解析】“最多有一個”的反設(shè)是“至少有兩個”，故選C.【答案】C2.下列命題錯誤的是()A.三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°B.四面體的三組對棱都是異面直線C.閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個零點D.設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)【解析】a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，故D錯誤.【答案】D3.“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為()，b，c都是奇數(shù)，b，c都是偶數(shù)，b，c中至少有兩個偶數(shù)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)【解析】自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數(shù)；(2)2個奇數(shù)，1個偶數(shù)；(3)1個奇數(shù)，2個偶數(shù)；(4)3個都是偶數(shù).所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù).【答案】D4.設(shè)x，y，z都是正實數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數(shù)()A.至少有一個不大于2B.都小于2C.至少有一個不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6， ①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6， ②顯然①，②矛盾，所以C正確.【答案】C5.(2023·溫州高二檢測)用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A，B，C中有兩個直角，不妨設(shè)A＝B＝90°，正確順序的序號為()A.①②③ B.①③②C.②③① D.③①②【解析】根據(jù)反證法的步驟，應(yīng)該是先提出假設(shè)，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，從而肯定結(jié)論.【答案】D二、填空題6.(2023·南昌高二檢測)命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________.【導(dǎo)學(xué)號：37820237】【解析】“至少有一個”的否定是“沒有一個”.【答案】任意多面體的面沒有一個是三角形或四邊形或五邊形7.(2023·汕頭高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________.【解析】eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關(guān)系有三種情況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設(shè)應(yīng)為“eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)”.【答案】eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)8.(2023·石家莊高二檢測)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號).【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出.對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.【答案】③三、解答題9.已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個不小于1.【證明】假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3.而與a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up7(2)＋3≥3矛盾，故假設(shè)不成立，即a，b，c至少有一個不小于1.10.已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.【證明】假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾.所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.[能力提升]1.有以下結(jié)論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說法中正確的是()A.①與②的假設(shè)都錯誤B.①與②的假設(shè)都正確C.①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤D.①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確【解析】用反證法證題時一定要將對立面找準(zhǔn).在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2，故①的假設(shè)是錯誤的，而②的假設(shè)是正確的.【答案】D2.已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sinA≠sinB”.若用反證法證明，得出的矛盾是()A.與已知條件矛盾B.與三角形內(nèi)角和定理矛盾C.與已知條件矛盾且與三角形內(nèi)角和定理矛盾D.與大邊對大角定理矛盾【解析】證明過程如下：假設(shè)sinA＝sinB，因為0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B與A≠B矛盾；A＋B＝π與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立.所以sinA≠sinB.【答案】C3.(2023·九江高二檢測)有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是________.【導(dǎo)學(xué)號：37820238】【解析】因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說的對，同時甲、乙中只有一人說的對，假設(shè)乙說的對，這樣丙就說的錯，丁就說的對，也就是甲也說的對，與甲說的錯矛盾，所以乙說的錯，從而知甲、丙說的對，所以丙為獲獎歌手.【答案】丙4.(2023·溫州高二檢測)設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.【證明】假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1). ①因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\