河北省承德市隆化縣郭家屯鎮中學2022年度高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，假設正確的是（） A．假設三內角都不大于60度 B． 假設三內角都大于60度 C．假設三內角至多有一個大于60度 D． 假設三內角至多有兩個大于60度參考答案：B2.設是函數定義域內的一個子區間，若存在，使，則稱是的一個“開心點”，也稱在區間上存在開心點.若函數在區間上存在開心點，則實數的取值范圍是（

）

參考答案：C3.設連續函數，則當時，定積分的符號A、一定是正的

B、一定是負的C、當時是正的，當時是負的參考答案：C4.已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支C．一條射線 D．雙曲線右邊一支參考答案：C【考點】雙曲線的定義．【專題】數形結合．【分析】由于動點P滿足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合雙曲線的定義（定義要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），則利用幾何性質易得答案．【解答】解：因為|MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，所以動點P的軌跡是一條射線．故選C．【點評】本題考查雙曲線定義．5.在三棱錐E-ABD中，已知，，三角形BDE是邊長為2的正三角形，則三棱錐E-ABD的外接球的最小表面積為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用外接球的球心的性質可確定出球心的位置，再根據半徑滿足的不等式組得到半徑的最小值，從而可得外接球的最小表面積.【詳解】如圖，取的中點，因為，所以球心在過且垂直于平面的直線上.設該直線為，設的中心為，則平面，因平面，所以，在中，有，在中，有，故，當且僅當重合時等號成立，所以三棱錐的外接球的最小表面積為.【點睛】三棱錐外接球的球心，可以通過如下方法來確定其位置：選擇三棱錐的兩個面，考慮過這兩個三角形的外心且垂直于各自所在平面的垂線，兩個垂線的交點就是外接球的球心，解題中注意利用這個性質確定球心的位置.6.若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實數k的值是()A．－3

B．－

C．3

D.參考答案：B7.已知都是實數,則“”是“”的（▲）條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：D略8.設直線l經過橢圓的右焦點且傾斜角為45°，若直線l與橢圓相交于A，B兩點，則|AB|=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】直線l的方程為，聯立，得5x2﹣8+8=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式能求出|AB|．【解答】解：∵直線l經過橢圓的右焦點且傾斜角為45°，∴直線l過點F（，0），斜率k=tan45°=1，∴直線l的方程為，聯立，得5x2﹣8+8=0，﹣160=32＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴|AB|==．故選：D．【點評】本題考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．9.已知，由不等式…….,可以推出結論：=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

(

)(A)

(B)

(C)3

(D)4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.隨機變量X服從二項分布X～，且則等于（

）A.

B.

C.1

D.0

參考答案：B12.設F1，F2為雙曲線的兩個焦點，已知點P在此雙曲線上，且．若此雙曲線的離心率等于，則點P到y軸的距離等于

．參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出雙曲線的方程，利用余弦定理、等面積求出P的縱坐標，代入雙曲線方程，可得點P到y軸的距離．【解答】解：∵雙曲線的離心率等于，∴，∴a=2，c=．設|PF1|=m，|PF2|=n，則由余弦定理可得24=m2+n2﹣mn，∴24=（m﹣n）2+mn，∴mn=16．設P的縱坐標為y，則由等面積可得，∴|y|=2，代入雙曲線方程，可得|x|=2，故答案為2．13.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10……這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16……這樣的數稱為“正方形數”.如圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形”之和，下列等式中，符合這一規律的表達式是

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；

④49=18+31；⑤64=28+36

參考答案：③,⑤略14.若，，則

參考答案：略15.已知數列的前項和，則數列的通項公式為____________。參考答案：略16.已知且，則的最小值為________________.參考答案：4略17.函數的單調增區間為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)設，、是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點．

參考答案：解：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．………4分⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為

①聯立消去得：，……..6分由得，……….7分又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．……….9分⑶設點，則，直線的方程為令，得，將代入整理，得．

②…………….12分由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點．……….14分19.最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢進行投資理財，提出了三種方案：第一種方案：李師傅的兒子認為：根據股市收益大的特點，應該將10萬元全部用來買股票。據分析預測：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%（只有這兩種可能），且獲利的概率為.第二種方案：李師傅認為：現在股市風險大，基金風險小，應該將10萬元全部用來買基金.據分析預測：投資基金一年后可能獲利20%，可能虧損10%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為、、.第三種方案：李師傅的妻子認為：投入股市、基金均有風險，應該將10萬元全部存入銀行一年，現在存款年利率為4%。針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方案，并說明理由.參考答案：解：若按方案一執行，設收益為ξ萬元，則其分配分布列為

…

2分

E（ξ）=4×+（-2）×=1

…

3分

若按方案二執行，設收益為萬元，則其分配分布列為 20-1P

…5分

E（）=2×+0×+（-1）×=1.

…

6分

若按方案三執行，收益

y=10×4%=0.4（萬元）.

…

8分

又E(ξ)=E()>y,

D(ξ)=9×+9×=9

D()=1×+1×+4×=.

由上知D(ξ)>D(),這說明雖然方案一、方案二收益相等，但方案二更穩妥，所以，建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.

…12分20.（本題滿分12分）甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，兩家商場對購買該商品的顧客獎勵方案如下：甲商場：顧客轉動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為20°，邊界忽略不計)即為中獎．乙商場：從裝有3個白球2個紅球1個黃球的盒子中一次性隨機地摸出2個球，如果摸到的是2個紅球，即為中獎．問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？參考答案：設甲、乙商場中獎的事件分別為，則

……4分

對乙商場：設三個白球分別為、黃球為、二個紅球分別為，從盒中隨機地摸出個球的結果共種：………8分其中是2個紅球的結果共種，………………10分，即在購買該商品的顧客在甲商場中獎的可能性大。……12分21.已知等差數列{an}滿足．（1）求{an}的通項公式；（2）設等比數列{bn}滿足,求{bn}的前n項和Tn．參考答案：（1）（2）【分析】（1）根據基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，列方程組，解方程組可求得的值.并由此求得數列的通項公式.（2）利用（1）的結論求得的值，根據基本元的思想，，將其轉化為的形式，由此求得的值，根據等比數列前項和公式求得數列的前項和.【詳解】解：（1）設的公差為，則由得,故的通項公式，即．（2）由（1）得．設的公比為，則，從而，故的前項和．【點睛】本小題主要考查利用基本元的思想解有關等差數列和等比數列的問題，屬于基礎題.22.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為