111PAGE111第二十六章反比例函數17．1．1反比例函數的意義一、教學目標1．使學生理解并掌握反比例函數的概念2．能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，并會用待定系數法求函數解析式3．能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想二、重、難點1．重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式2．難點：理解反比例函數的概念三、例題的意圖分析教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從實際問題出發，探索其中的數量關系和變化規律，通過觀察、討論、歸納，最后得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目的一是要加深學生對反比例函數概念的理解，掌握求函數解析式的方法；二是讓學生進一步體會函數所蘊含的“變化與對應”的思想，特別是函數與自變量之間的單值對應關系。補充例1、例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。補充例3是一道綜合題，此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問題的能力。四、課堂引入1．回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？2．體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關系是怎樣的？五、例習題分析例1．見教材P47分析：因為y是x的反比例函數，所以先設，再把x＝2和y＝6代入上式求出常數k，即利用了待定系數法確定函數解析式。例1．（補充）下列等式中，哪些是反比例函數（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x－4分析：根據反比例函數的定義，關鍵看上面各式能否改寫成（k為常數，k≠0）的形式，這里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只單獨含x，（6）改寫后是，分子不是常數，只有（2）、（3）、（5）能寫成定義的形式例2．（補充）當m取什么值時，函數是反比例函數？分析：反比例函數（k≠0）的另一種表達式是（k≠0），后一種寫法中x的次數是－1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特別注意不要遺漏k≠0這一條件，也要防止出現3－m2＝1的錯誤。解得m＝－2例3．（補充）已知函數y＝y1＋y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝4；當x＝2時，y＝5求y與x的函數關系式當x＝－2時，求函數y的值分析：此題函數y是由y1和y2兩個函數組成的，要用待定系數法來解答，先根據題意分別設出y1、y2與x的函數關系式，再代入數值，通過解方程或方程組求出比例系數的值。這里要注意y1與x和y2與x的函數關系中的比例系數不一定相同，故不能都設為k，要用不同的字母表示。略解：設y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），則，代入數值求得k1＝2，k2＝2，則，當x＝－2時，y＝－5六、隨堂練習1．蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為2．若函數是反比例函數，則m的取值是3．矩形的面積為4，一條邊的長為x，另一條邊的長為y，則y與x的函數解析式為4．已知y與x成反比例，且當x＝－2時，y＝3，則y與x之間的函數關系式是，當x＝－3時，y＝5．函數中自變量x的取值范圍是七、課后練習已知函數y＝y1＋y2，y1與x＋1成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝0；當x＝4時，y＝9，求當x＝－1時y的值答案：y＝4課后反思：17．1．2反比例函數的圖象和性質（1）一、教學目標1．會用描點法畫反比例函數的圖象2．結合圖象分析并掌握反比例函數的性質3．體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法二、重點、難點1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質2．難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質三、例題的意圖分析教材第48頁的例2是讓學生經歷用描點法畫反比例函數圖象的過程，一方面能進一步熟悉作函數圖象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深學生對反比例函數圖象的認識，了解函數的變化規律，從而為探究函數的性質作準備。補充例1的目的一是復習鞏固反比例函數的定義，二是通過對反比例函數性質的簡單應用，使學生進一步理解反比例函數的圖象特征及性質。補充例2是一道典型題，是關于反比例函數圖象與矩形面積的問題，要讓學生理解并掌握反比例函數解析式（k≠0）中的幾何意義。四、課堂引入提出問題：1．一次函數y＝kx＋b（k、b是常數，k≠0）的圖象是什么？其性質有哪些？正比例函數y＝kx（k≠0）呢？2．畫函數圖象的方法是什么?其一般步驟有哪些？應注意什么？3．反比例函數的圖象是什么樣呢?五、例習題分析例2．見教材P48，用描點法畫圖，注意強調：（1）列表取值時，x≠0，因為x＝0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值（2）由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸例1．（補充）已知反比例函數的圖象在第二、四象限，求m值，并指出在每個象限內y隨x的變化情況？分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數的定義，即（k≠0）自變量x的指數是－1，二是根據反比例函數的性質：當圖象位于第二、四象限時，k＜0，則m－1＜0，不要忽視這個條件略解：∵是反比例函數∴m2－3＝－1，且m－1≠0又∵圖象在第二、四象限∴m－1＜0解得且m＜1則例2．（補充）如圖，過反比例函數（x＞0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設△AOC和△BOD的面積分別是S1、S2，比較它們的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小關系不能確定分析：從反比例函數（k≠0）的圖象上任一點P（x，y）向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積，由此可得S1＝S2＝，故選B六、隨堂練習1．已知反比例函數，分別根據下列條件求出字母k的取值范圍（1）函數圖象位于第一、三象限（2）在第二象限內，y隨x的增大而增大2．函數y＝－ax＋a與（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（）3．在平面直角坐標系內，過反比例函數（k＞0）的圖象上的一點分別作x軸、y軸的垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積是6，則函數解析式為七、課后練習1．若函數與的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是2．反比例函數，當x＝－2時，y＝；當x＜－2時；y的取值范圍是；當x＞－2時；y的取值范圍是已知反比例函數，當時，y隨x的增大而增大，求函數關系式答案：3．17．1．2反比例函數的圖象和性質（2）一、教學目標1．使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質2．能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題3．深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法二、重點、難點1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題2．難點：學會從圖象上分析、解決問題三、例題的意圖分析教材第51頁的例3一是讓學生理解點在圖象上的含義，掌握如何用待定系數法去求解析式，復習鞏固反比例函數的意義；二是通過函數解析式去分析圖象及性質，由“數”到“形”，體會數形結合思想，加深學生對反比例函數圖象和性質的理解。教材第52頁的例4是已知函數圖象求解析式中的未知系數，并由雙曲線的變化趨勢分析函數值y隨x的變化情況，此過程是由“形”到“數”，目的是為了提高學生從函數圖象中獲取信息的能力，加深對函數圖象及性質的理解。補充例1目的是引導學生在解有關函數問題時，要數形結合，另外，在分析反比例函數的增減性時，一定要注意強調在哪個象限內。補充例2是一道有關一次函數和反比例函數的綜合題，目的是提高學生的識圖能力，并能靈活運用所學知識解決一些較綜合的問題。四、課堂引入復習上節課所學的內容1．什么是反比例函數？2．反比例函數的圖象是什么？有什么性質？五、例習題分析例3．見教材P51分析：反比例函數的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常數k，而題中已知圖象經過點A（2，6），即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能求出k，這樣解析式也就確定了。例4．見教材P52例1．（補充）若點A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函數（k＜0）圖象上，則a、b、c的大小關系怎樣？分析：由k＜0可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，因為A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，則c＜0，所以b＞a＞0＞c說明：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續的看，一定要強調“在每一象限內”，否則，籠統說k＜0時y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則c最大，出現錯誤。此題還可以畫草圖，比較a、b、c的大小，利用圖象直觀易懂，不易出錯，應學會使用。例2．（補充）如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數的圖象交于A（－2，1）、B（1，n）兩點（1）求反比例函數和一次函數的解析式（2）根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍分析：因為A點在反比例函數的圖象上，可先求出反比例函數的解析式，又B點在反比例函數的圖象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B兩點坐標求出一次函數解析式y＝－x－1，第（2）問根據圖象可得x的取值范圍x＜－2或0＜x＜1，這是因為比較兩個不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個在上方，哪個在下方。六、隨堂練習1．若直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則函數的圖象在（）（A）第一、三象限（B）第二、四象限（C）第三、四象限（D）第一、二象限2．已知點（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在雙曲線上，則下列關系式正確的是（）（A）y1＞y2＞y3（B）y1＞y3＞y2（C）y2＞y1＞y3（D）y3＞y1＞y2七、課后練習1．已知反比例函數的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而減小，且k的值還滿足≥2k－1，若k為整數，求反比例函數的解析式2．已知一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是－2，求（1）一次函數的解析式；（2）△AOB的面積答案：1．或或2．（1）y＝－x＋2，（2）面積為6課后反思：17．2實際問題與反比例函數（1）一、教學目標1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力二、重點、難點1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式三、例題的意圖分析教材第57頁的例1，數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關系式，此題實際上是利用了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題四、課堂引入寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發現前面有一處冰出現了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？五、例習題分析例1．見教材第57頁分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為104，底面積是S，深度為d，滿足基本公式：圓柱的體積＝底面積×高，由題意知S是函數，d是自變量，改寫后所得的函數關系式是反比例函數的形式，（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相反例2．見教材第58頁分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量＝工作速度×工作時間，由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關系，（2）問涉及了反比例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數值v取最小值是多少？例1．（補充）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數，其圖像如圖所示（千帕是一種壓強單位）（1）寫出這個函數的解析式；（2）當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內的氣壓是多少千帕？（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方米？分析：題中已知變量P與V是反比例函數關系，并且圖象經過點A，利用待定系數法可以求出P與V的解析式，得，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕時，是安全范圍。根據反比例函數的圖象和性質，P隨V的增大而減小，可先求出氣壓P＝144千帕時所對應的氣體體積，再分析出最后結果是不小于立方米六、隨堂練習1．京沈高速公路全長658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數關系式為2．完成某項任務可獲得500元報酬，考慮由x人完成這項任務，試寫出人均報酬y（元）與人數x（人）之間的函數關系式3．一定質量的氧氣，它的密度（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數，當V＝10時，＝1.43，（1）求與V的函數關系式；（2）求當V＝2時氧氣的密度答案：＝，當V＝2時，＝7.15七、課后練習1．小林家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v（米/分），所需時間為t（分）（1）則速度v與時間t之間有怎樣的函數關系？（2）若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？（2）如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？答案：，v＝240，t＝122．學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤，現在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天（1）則y與x之間有怎樣的函數關系？（2）畫函數圖象（3）若每天節約0.1噸，則這批煤能維持多少天？課后反思：17．2實際問題與反比例函數（2）一、教學目標1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這一數學模型二、重點、難點1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題三、例題的意圖分析教材第58頁的例3和例4都需要用到物理知識，教材在例題前已給出了相關的基本公式，其中的數量關系具有反比例關系，通過對這兩個問題的分析和解決，不但能復習鞏固反比例函數的有關知識，還能培養學生應用數學的意識補充例題是一道綜合題，有一定難度，需要學生有較強的識圖、分析和歸納等方面的能力，此題既有一次函數的知識，又有反比例函數的知識，能進一步深化學生對一次函數和反比例函數知識的理解和掌握，體會數形結合思想的重要作用，同時提高學生靈活運用函數觀點去分析和解決實際問題的能力四、課堂引入1．小明家新買了幾桶墻面漆，準備重新粉刷墻壁，請問如何打開這些未開封的墻面漆桶呢？其原理是什么？2．臺燈的亮度、電風扇的轉速都可以調節，你能說出其中的道理嗎？五、例習題分析例3．見教材第58頁分析：題中已知阻力與阻力臂不變，即阻力與阻力臂的積為定值，由“杠桿定律”知變量動力與動力臂成反比關系，寫出函數關系式，得到函數動力F是自變量動力臂的反比例函數，當＝1.5時，代入解析式中求F的值；（2）問要利用反比例函數的性質，越大F越小，先求出當F＝200時，其相應的值的大小，從而得出結果。例4．見教材第59頁分析：根據物理公式PR＝U2，當電壓U一定時，輸出功率P是電阻R的反比例函數，則，（2）問中是已知自變量R的取值范圍，即110≤R≤220，求函數P的取值范圍，根據反比例函數的性質，電阻越大則功率越小，得220≤P≤440例1．（補充）為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例,藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖)，現測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據題中所提供的信息，解答下列問題：(1)藥物燃燒時，y關于x的函數關系式為,自變量x的取值范為；藥物燃燒后，y關于x的函數關系式為.(2)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經過______分鐘后，員工才能回到辦公室；(3)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效?為什么?分析：（1）藥物燃燒時，由圖象可知函數y是x的正比例函數，設，將點（8，6）代人解析式，求得，自變量0＜x≤8；藥物燃燒后，由圖象看出y是x的反比例函數，設，用待定系數法求得（2）燃燒時，藥含量逐漸增加，燃燒后，藥含量逐漸減少，因此，只能在燃燒后的某一時間進入辦公室，先將藥含量y＝1.6代入，求出x＝30，根據反比例函數的圖象與性質知藥含量y隨時間x的增大而減小，求得時間至少要30分鐘（3）藥物燃燒過程中，藥含量逐漸增加，當y＝3時，代入中，得x＝4，即當藥物燃燒4分鐘時，藥含量達到3毫克；藥物燃燒后，藥含量由最高6毫克逐漸減少，其間還能達到3毫克，所以當y＝3時，代入，得x＝16，持續時間為16－4＝12＞10，因此消毒有效六、隨堂練習1．某廠現有800噸煤，這些煤能燒的天數y與平均每天燒的噸數x之間的函數關系是（）（A）（x＞0）（B）（x≥0）（C）y＝300x（x≥0）（D）y＝300x（x＞0）2．已知甲、乙兩地相s（千米），汽車從甲地勻速行駛到達乙地，如果汽車每小時耗油量為a（升），那么從甲地到乙地汽車的總耗油量y（升）與汽車的行駛速度v（千米/時）的函數圖象大致是（）3．你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識，一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫截面積）S（mm2）的反比例函數，其圖象如圖所示：（1）寫出y與S的函數關系式；（2）求當面條粗1.6mm2時，面條的總長度是多少米？七．課后練習一場暴雨過后，一洼地存雨水20米3，如果將雨水全部排完需t分鐘，排水量為a米3/分，且排水時間為5～10分鐘（1）試寫出t與a的函數關系式，并指出a的取值范圍；（2）請畫出函數圖象（3）根據圖象回答：當排水量為3米3/分時，排水的時間需要多長？課后反思：第二十七章相似形圖形的相似教學目標通過一些相似的實例，讓生觀察相似圖形的特點，感受形狀相同的意義，理解相似圖形的概念．能通過觀察識別出相似的圖形．能根據直覺在格點圖中畫出已知圖形的相似圖形．在獲得知識的過程中培養學習的自信心．教學重點引導學生通過觀察識別相似的圖形，培養學生的觀察分析及歸納能力．教學難點理解相似圖形的概念．教學過程一、觀察課本第頁圖、圖，每組圖形中的兩圖之間有什么關系？二、歸納：每組圖形中的兩個圖形形狀相同，大小不同．具有相同形狀的圖形叫相似圖形．師可結合實例說明：⑴相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關．⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況．⑶我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．三、你還見過哪些相似的圖形？請舉出一些例子與同學們交流．四、觀察課本第頁圖中的三組圖形，它們是否相似形？為什么？五、想一想：放大鏡下的圖形與原來的圖形相似嗎？放大鏡下的角與原來圖形中的角是什么關系？可讓學生動手實驗，然后討論得出結論．六、觀察課本第頁圖中的三組圖形，它們是否相似形？為什么？讓學生通過比較圖與圖，體會相似圖形與不相似圖形的“形狀”特點．七、課本第頁“試一試”．讓生各自獨立完成作圖，再展示評析．八、鞏固：⒈課本第頁練習．⒉課本第頁習題．對于第題，學生的判斷是對相似圖形的一種直觀認識，最好讓學生充分交流彼此的看法．九、小結：你通過這節課的學習，有哪些收獲？十、作業：略．相似三角形教學目標：使學生掌握相似三角形的判定與性質教學重點：相似三角形的判定與性質教學過程：一知識要點：1、相似形、成比例線段、黃金分割相似形：形狀相同、大小不一定相同的圖形。特例：全等形。相似形的識別：對應邊成比例，對應角相等。成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。黃金分割：將一條線段分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0·618…。這種分割稱為黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。例1：（1）放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎？（2）哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎？（3）你能舉出生活中的一些相似形的例子嗎/例2：判斷下列各組長度的線段是否成比例：（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米（2）1·5厘米，2·5厘米，4·5厘米，6·5厘米（3）1·1厘米，2·2厘米，3·3厘米，4·4厘米（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米。例3：某人下身長90厘米，上身長70厘米，要使整個人看上去成黃金分割，需穿多高的高跟鞋？例4：等腰三角形都相似嗎？矩形都相似嗎？正方形都相似嗎？2、相似形三角形的判斷：a兩角對應相等b兩邊對應成比例且夾角相等c三邊對應成比例3、相似形三角形的性質：a對應角相等b對應邊成比例c對應線段之比等于相似比d周長之比等于相似比e面積之比等于相似比的平方4、相似形三角形的應用：計算那些不能直接測量的物體的高度或寬度以及等份線段BCGDFEBCGDFEA1：如圖所示，ABCD中，G是BC延長線上一點，AG交BD于點E，交DC于點F，試找出圖中所有的相似三角形2如圖在正方形網格上有6個斜三角形：a:ABC；b:BCDc:BDEd:BFGe:FGHf:EFK，試找出與三角形a相似的三角形3、在ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，點P從點A開始沿AB邊向點B以2厘米每秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4厘米每秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘PBQ與ABC相似？ANEBCKDFMGH4、某房地產公司要在一塊矩形ABCD土地上規劃建設一個矩形GHCK小區公園（如圖），為了使文物保護區AEF不被破壞，矩形公園的頂點ANEBCKDFMGH（1）當矩形小區公園的頂點G恰是EF的中點時，求公園的面積；（2）當G是EF上什么位置時，公園面積最大？同步練習：1．已知：AB=2，M是的黃金分割點，求AM的長；（2）求AM：MB2．已知：x:y:z=2:3:4,求:（2）（3）若2x-3y+z=-2求x,y,z的3．已知：，求k的值。ADADMBCFEAEDBCMFFADBECM5．如圖：已知CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶EG∶GA=1∶2∶3，求EF+GH。NNDABCEFMGHABCDEFABCDEF求BF∶FC及AE∶EF。AAXYBO7．如圖，在直角坐標系中有兩點A（4，0），B（0，2），如果點C在x軸上，（C與A不重合），當由點B，O，C組成的三角形與三角形AOB相似時，求點C的坐標？DCDCBEA位似圖形教案教學目標：1、知識目標：=1\*GB3①了解位似圖形及其有關概念；=2\*GB3②了解位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。2、能力目標：=1\*GB3①利用圖形的位似解決一些簡單的實際問題；=2\*GB3②在有關的學習和運用過程中發展學生的應用意識和動手操作能力。3、情感目標：=1\*GB3①通過學習培養學生的合作意識；=2\*GB3②通過探究提高學生學習數學的興趣。教學重點：探索并掌握位似圖形的定義和性質；教學難點：運用定義和性質進行簡單的位似圖形的證明和計算。教學方法：從學生生活經驗和已有的知識出發，采用引導、啟發、合作、探究等方法，經歷觀察、發現、動手操作、歸納、交流等數學活動，獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習；提高學生自主探究、合作交流和分析歸納能力；同時在教學過程對不同層次的學生進行分類指導，讓每個學生都得到充分的發展。教學準備：刻度尺、為每個小組準備好打印的五幅位似圖形、多媒體展示課件、教學手段：小組合作、多媒體輔助教學教學設計說明：1、為了便于學生理解位似圖形的特征，我在設計中特別注意讓學生通過動手操作、猜想、試驗等方式獲得感性認識，然后通過歸納總結上升到理性認識，將形象與抽象有機結合，形成對位似圖形的認識.2、探索知識是本節的重點，設計這一環節，通過學生的做、議、讀、想、試等環節來完成，把學習的主動權充分放給學生，每一環節及時歸納總結，使學生學有所獲，探索創新.教學過程：一、創設情境引入新知觀察大屏幕有五個圖形，每個圖形中的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是相似圖形。分別觀察著五個圖形，你發現每個圖形中的兩個四邊形各對應點的連線有什么特征?ABABCDB1A1C1D1B1C1D1ABCDA1B1C1D1ABCDABCDA1B1C1D1ABCDC1A1D1B1(1)(2)(3)(4)(5)（學生經過小組討論交流的方式總結得出：）特點：（1）兩個圖形相似：（2）每組對應點所在的直線交于一點。二、合作交流探究新知請同學們閱讀課本58頁，掌握什么叫位似圖形、位似中心、位似比？如果兩個相似圖形的每組對應點所在的直線交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比。

議一議

觀察上圖中的五個圖形，回答下列問題：

（1） 在各圖形中，位似圖形的位似中心與這兩個圖形有什么位置關系？

（2） 在各圖中，任取一對對應點，度量這兩個點到位似中心的距離。它們的比與位似比有什么關系？再換一對對應點試一試。

（每小組同學拿出準備好的位似圖形通過觀察、測量試驗和計算得出：）位似圖形對應點到位似中心的距離之比等于相似比。

由此得出：位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

三、指導應用深化理解（同學們觀察大屏幕出示的問題）ABCDEABCDE根據是位似圖形的定義。需要兩個條件：！、△ADE和△ABC相似；2、對應點所在的直線交于一點。問題2：已知△ADE和△ABC是位似圖形，我們根據什么又能得出什么結論？根據位似圖形的性質得出：1、對應點和位似中心在同一條直線上；2、它們到位似中心的距離之比等于相似比。（一生口述師板書：）解：（1）△ADE和△ABC是位似圖形.理由是：∵DE∥BC∴∠AED=∠B,∠AED=∠C.∵△ADE∽△ABC.又∵點A是△ADE和△ABC的公共點，點D和點B是對應點，點E和點C是對應點，直線BD與CE交于點A，∴△ADE和△ABC是位似圖形。（2）DE∥BC.理由是：∵△ADE和△ABC是位似圖形∴△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC.四、繼續觀察拓展提高（同學們繼續觀察屏幕展示的圖形）在圖（1）——（5）中,位似圖形的對應線段AB與A1B1是否平行?BC與B1C1,CD與C1D1,AD與A1D1是否平行?為什么?同桌觀察探究并發言：對應邊平行或在同一條直線上。（出示課件：展示一組位似圖形，動畫閃動圖形的對應邊，直觀展示位似圖形的對應邊平行或在同一條直線上）五、反饋練習落實新知挑戰自我:1、下面每組圖形中都有兩個圖形.（1（1）（2）（3）(4)(5)(6)（2）作出位似圖形的位似中心CACADBE（此環節由學生獨立完成，第二題讓一名學生到黑板上板書，以備面對全體矯正）六、歸納小結反思提高請同學們談一談本節課的有什么收獲和感想？本節課我們學習了位似圖形，知道了什么叫位似圖形，位似圖形有什么性質？我們可以利用定義來證明位似圖形，已知位似圖形我們可以根據性質得到有關結論。觀察并判斷位似圖形的方法是，一要看是否相似，二要看對應邊是否平行或在同一條直線上。七、自我評價檢測新知1、如果兩個位似圖形的每組________所在的直線都_________，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做________，這時的相似比又叫做________。2、位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于_____________；位似圖形的對應角__________，對應線段__________（填：“相等”、“平行”、“相交”、“在一條直線上”等）3、位似圖形的位似中心，有的在對應點連線上，有的在___________的延長線上。4、如果兩個位似圖形成中心對稱，那么這兩個圖形__________（填“一定”、“不”或“可能”等）5、下列每組圖形是由兩個相似圖形組成的，其中_____________中的兩個圖形是位似圖形。（由學生獨立完成，教師巡視。最后公布答案，教師并將發現的問題及時矯正有利于學生知識的鞏固和提高）八、課后延伸探索創新在如圖所示的圖案中，最外圈的8個三角形組成的圖形和次外圈的8個紅色三角形組成的圖形是位似圖形嗎？如果是，為似比是多少？課題：位似圖形位似圖形有關概念和性質：三、隨堂練習（學生板演）課題：位似圖形位似圖形有關概念和性質：三、隨堂練習（學生板演）概念；性質二、例題四、拓展思考題答案十、課后反思：1、存在問題：（1）學生在動手操作，與探究位似圖形的共同特征環節比較順利，但是歸納性質用語言表達時則較困難；（2）證明位似圖形的思路還需要在老師的提示下找到，沒能及時內化；（3）內外位似區別不清楚。2、改進意見：（1）通過合作交流不斷提高學生的語言表達能力和形象思維能力；（2）注意通過定理公式的逆向運用發展學生的逆向思維；（3）內外位似圖形如果能舉例說明并讓學生自己來鑒別會掌握得更好。27.1圖形的相似（第1課時）

教學目標

1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似．

2．能根據相似比進行計算．

3.

通過與相似多邊形有關概念的類比，得出相似三角形的定義,

領會特殊與一般的關系．

4．能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力．

5．能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力．

6.

通過與相似多邊形有關概念的類比，滲透類比的教學思想，并領會特殊與一般的關系．

重點:相似三角形的初步認識．

教學過程

1、觀察

共同特征：形狀相同，大小不同．

相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形說成是相似圖形

問題1：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形

______或________得到，

問題2：舉出現實生活中的幾個相似圖形的例子

例如，放映電影時，投在屏幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大；

實際的建筑物和它的模型是相似的；

用復印機把一個圖形放大或縮小所所得的圖形，也都與原來的圖形相似．

問題3：嘗試著畫幾個相似圖形？（多媒體出示）

2、教材“觀察”

圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？（多媒體出示）

相似

不相似

不相似

課堂練習:教材p37頁1、2。

教學后記：

27.1圖形的相似（第2課時）

教學目標：1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似．

2．能根據相似比進行計算．

3．能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力．

4．能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力．

重難點：根據定義求線段長或角的度數。

教學過程：

準備活動:

閱讀理解：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另外兩條線段的比相等，如

（即ab=cd），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

一、復習舊知

相似多邊形有關概念

二、引入新知

例題.如圖（多媒體出示），四邊形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度數和EF的長度.

解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應角相等。

∴∠1=∠C=83°，

∠A=∠E=118°

在四邊形ABCD中，

∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°

四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應邊成比例。

由此得：

，即

，

解得，x=28（cm）.

三鞏固練習

！27.1圖形的相似（第1課時）教學目標1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似．2．能根據相似比進行計算．3.通過與相似多邊形有關概念的類比，得出相似三角形的定義,領會特殊與一般的關系．4．能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力．5．能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力．6.通過與相似多邊形有關概念的類比，滲透類比的教學思想，并領會特殊與一般的關系．重點:相似三角形的初步認識．教學過程1、觀察共同特征：形狀相同，大小不同．相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形說成是相似圖形問題1：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形______或________得到，問題2：舉出現實生活中的幾個相似圖形的例子例如，放映電影時，投在屏幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大；實際的建筑物和它的模型是相似的；用復印機把一個圖形放大或縮小所所得的圖形，也都與原來的圖形相似．問題3：嘗試著畫幾個相似圖形？（多媒體出示）2、教材“觀察”圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？（多媒體出示）相似不相似不相似課堂練習:教材p37頁1、2。教學后記：27.1圖形的相似（第2課時）教學目標：1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個多邊形是否相似．2．能根據相似比進行計算．3．能根據定義判斷兩個多邊形是否相似，訓練學生的判斷能力．4．能根據相似比求長度和角度，培養學生的運用能力．重難點：根據定義求線段長或角的度數。教學過程：準備活動:閱讀理解：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另外兩條線段的比相等，如（即ab=cd），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.一、復習舊知相似多邊形有關概念二、引入新知例題.如圖（多媒體出示），四邊形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度數和EF的長度.解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應角相等。∴∠1=∠C=83°，∠A=∠E=118°在四邊形ABCD中，∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對應邊成比例。由此得：，即，解得，x=28（cm）.三鞏固練習如圖，有一塊呈三角形形狀的草坪，其中一邊的長是20m，在這個草坪的圖紙上，這條邊長5cm，其他兩邊的長都是3．5cm，求該草坪其他兩邊的實際長度.四、相似三角形的定義及記法1、因為相似三角形是相似多邊形中的一類，因此，相似三角形的定義可仿照相似多邊形的定義給出.三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形．如△ABC與△DEF相似，多媒體出示，記作△ABC∽△DEF其中對應頂點要寫在對應位置，如A與D、B與E、C與F相對應．AB∶DE等于相似比,相似比為K．2、想一想：如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是對應角？哪些邊是對應邊？對應角有什么關系？對應邊呢？由前面相似多邊形的性質可知，對應角應相等，對應邊應成比例．3、議一議：（1）兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？（2）兩個直角三角形一定相似嗎？兩個等腰直角三角形呢？為什么？（3）兩個等腰三角形一定相似嗎？兩個等邊三角形呢？為什么？五、小結：請學生談一談自己的收獲以及自己對本節課的體會;六、作業1、看書P39-402、教材P40復習鞏固1、3教學后記：27.3位似（一）一、教學目標1．了解位似圖形及其有關概念，了解位似與相似的聯系和區別，掌握位似圖形的性質．2．掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小．二、重點、難點1．重點：位似圖形的有關概念、性質與作圖．2．難點：利用位似將一個圖形放大或縮小．3．難點的突破方法（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似．（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離等于位似比（相似比）．（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應點與位似中心共線；不經過位似中心的對應線段平行．（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關（如例2），并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形（如例2中的圖2與圖3）．三、例題的意圖本節課安排了兩個例題，例1是補充的一個例題，通過辨別位似圖形，鞏固位似圖形的概念，讓學生理解位似圖形必須滿足兩個條件：（1）兩個圖形是相似圖形；（2）兩個相似圖形每對對應點所在的直線都經過同一點，二者缺一不可．例2是教材P61例題，通過例2的教學，使學生掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小．講解例2時，要注意引導學生能夠用不同的方法畫出所要求作的圖形，要讓學生通過作圖理解符合要求的圖形不惟一，這和所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關（如位似中心O可能選在四邊形ABCD外，可能選在四邊形ABCD內，可能選在四邊形ABCD的一條邊上，可能選在四邊形ABCD的一個頂點上）．并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形（如例2中的圖2與圖3），因此，位似中心的確定是作出圖形的關鍵．要及時強調注意的問題（見難點的突破方法④），及時總結作圖的步驟（見例2），并讓學生練習找所給圖形的位似中心的題目（如課堂練習2），以使學生真正掌握位似圖形的概念與作圖．四、課堂引入1．觀察：在日常生活中，我們經常見到下面所給的這樣一類相似的圖形，它們有什么特征？2．問：已知：如圖，多邊形ABCDE，把它放大為原來的2倍，即新圖與原圖的相似比為2．應該怎樣做？你能說出畫相似圖形的一種方法嗎？五、例題講解例1（補充）如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是位似圖形，請指出其位似中心．分析：位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此判斷兩個圖形是否為位似圖形，首先要看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否都經過同一點，這兩個方面缺一不可．解：圖（1）、（2）和（4）三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形，位似中心分別是圖（1）中的點A，圖（2）中的點P和圖（4）中的點O．（圖（3）中的點O不是對應點連線的交點，故圖（3）不是位似圖形，圖（5）也不是位似圖形）例2（教材P61例題）把圖1中的四邊形ABCD縮小到原來的．分析：把原圖形縮小到原來的，也就是使新圖形上各頂點到位似中心的距離與原圖形各對應頂點到位似中心的距離之比為1∶2．作法一：（1）在四邊形ABCD外任取一點O；（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；（3）分別在射線OA，OB，OC，OD上取點A′、B′、C′、D′，使得；（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖2．問：此題目還可以如何畫出圖形？作法二：（1）在四邊形ABCD外任取一點O；（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；（3）分別在射線OA，OB，OC，OD的反向延長線上取點A′、B′、C′、D′，使得；（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖3．作法三：（1）在四邊形ABCD內任取一點O；（2）過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；（3）分別在射線OA，OB，OC，OD上取點A′、B′、C′、D′，使得；（4）順次連接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖4．（當點O在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個頂點上時，作法略——可以讓學生自己完成）六、課堂練習1．教材P61．1、22．畫出所給圖中的位似中心．把右圖中的五邊形ABCDE擴大到原來的2倍．七、課后練習1．教材P65．1、2、42．已知：如圖，△ABC，畫△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比為1.5，要求（1）位似中心在△ABC的外部；（2）位似中心在△ABC的內部；（3）位似中心在△ABC的一條邊上；（4）以點C為位似中心．教學反思27.3位似（二）一、教學目標1．鞏固位似圖形及其有關概念．2．會用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規律．3．了解四種變換（平移、軸對稱、旋轉和位似）的異同，并能在復雜圖形中找出這些變換．二、重點、難點1．重點：用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換．2．難點：把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規律．3．難點的突破方法（1）相似與軸對稱、平移、旋轉一樣，也是圖形之間的一個基本變換，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用圖形坐標的變化來表示．．（2）帶領學生共同探究出位似變換中對應點的坐標的變化規律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．（3）在平面直角坐標系中，用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換的關鍵是要確定位似圖形各個頂點的坐標，而不同方法得到的圖形坐標是不同的．如：已知：△ABC三個頂點坐標分別為A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，根據前面（2）總結的變化規律，點A的對應點A′的坐標為（1×2，3×2），即A′（2，6），或點A的對應點A′′的坐標為（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．類似地，可以確定其他頂點的坐標．（4）本節課的最后要給學生總結（或讓學生自己總結）平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而圖形放大或縮小（位似變換）之后是相似的．并讓學生練習在所給的圖案中，找出平移、軸對稱、旋轉和位似這些變換．三、例題的意圖本節課安排了兩個例題，例1是教材P63的例題，它是在引導學生尋找出位似變換中對應點的坐標的變化規律后的一個用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換的題目，其目的是鞏固新知識，幫助學生加深理解用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換知識，此題目應讓學生用不同方法作出圖形．例2是教材P64的一個問題，它是“平移、軸對稱、旋轉和位似”四種變換的一個綜合題目，所給的圖案由于觀察的角度不同，答案就會不同，因此應讓學生自己來回答，并在順利完成這個題目基礎上，讓學生自己總結出這四種變換的異同．四、課堂引入1．如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）將△ABC向左平移三個單位得到△A1B1C1，寫出A1、B1、C1三點的坐標；（2）寫出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2三個頂點A2、B2、C2（3）將△ABC繞點O旋轉180°得到△A3B3C3，寫出A3、B3、C3三點的坐標．2．在前面幾冊教科書中，我們學習了在平面直角坐標系中，如何用坐標表示某些平移、軸對稱、旋轉（中心對稱）等變換，相似也是一種圖形的變換，一些特殊的相似（如位似）也可以用圖形坐標的變化來表示．3．探究：（1）如圖，在平面直角坐標系中，有兩點A(6,3)，B(6,0)．以原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮小．觀察對應點之間坐標的變化，你有什么發現？（2）如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，觀察對應頂點坐標的變化，你有什么發現？【歸納】位似變換中對應點的坐標的變化規律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．五、例題講解例1（教材P63的例題）分析：略（見教材P63的例題分析）解：略（見教材P63的例題解答）問：你還可以得到其他圖形嗎？請你自己試一試！解法二：點A的對應點A′′的坐標為（-6×，6×），即A′′（3，-3）．類似地，可以確定其他頂點的坐標．（具體解法與作圖略）例2（教材P64）在右圖所示的圖案中，你能找出平移、軸對稱、旋轉和位似這些變換嗎？分析：觀察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排魚順時針旋轉45°角，連續旋轉八次得到的旋轉圖形；它還可以看作位似中心是圖形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似圖形，……．解：答案不惟一，略．六、課堂練習教材P64．1、2△ABO的定點坐標分別為A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，試將△ABO放大為△EFO，使△EFO與△ABO的相似比為2.5∶1，求點E和點F的坐標．如圖，△AOB縮小后得到△COD，觀察變化前后的三角形頂點，坐標發生了什么變化，并求出其相似比和面積比．七、課后練習1．教材P65．3，P66．5、82．請用平移、軸對稱、旋轉和位似這四種變換設計一種圖案（選擇的變換不限）．3．如圖，將圖中的△ABC以A為位似中心，放大到1.5倍，請畫出圖形，并指出三個頂點的坐標所發生的變化．教學反思第二十八章銳角三角函數單元要點分析內容簡介本章內容分為兩節，第一節主要學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念，第二節主要研究直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的內容．第一節內容是第二節的基礎，第二節是第一節的應用，并對第一節的學習有鞏固和提高的作用．相似三角形和勾股定理等是學習本章的直接基礎．本章屬于三角學中的最基礎的部分內容，而高中階段的三角內容是三角學的主體部分，無論是從內容上看，還是從思考問題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎．教學目標1．知識與技能（1）通過實例認識直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值．（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值會求它的對應的銳角．（3）運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單的實際問題．（4）能綜合運用直角三角形的勾股定理與邊角關系解決簡單的實際問題．2．過程與方法貫徹在實踐活動中發現問題，提出問題，在探究問題的過程中找出規律，再運用這些規律于實際生活中．3．情感、態度與價值觀通過解直角三角形培養學生數形結合的思想．重點與難點1．重點（1）銳角三角函數的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數值也很重要，應該牢牢記住．（2）能夠運用三角函數解直角三角形，并解決與直角三角形有關的實際問題．2．難點（1）銳角三角函數的概念．（2）經歷探索30°，45°，60°角的三角函數值的過程，發展學生觀察、分析，解決問題的能力．教學方法在本章，學生首次接觸到以角度為自變量的三角函數，初學者不易理解．講課時應注意，只有讓學生正確理解銳角三角函數的概念，才能掌握直角三角形邊與角之間的關系，才能運用這些關系解直角三角形．故教學中應注意以下幾點：1．突出學數學、用數學的意識與過程．三角函數的應用盡量和實際問題聯系起來，減少單純解直角三角形的問題．2．在呈現方式上，突出實踐性與研究性，三角函數的意義要通過問題經出，再加以探索認識．3．對實際問題，注意聯系生活實際．4．適度增加訓練學生邏輯思維的習題，減少機械操作性習題，增加探索性問題的比重．課時安排本章共分9課時．28．1銳角三角函數4課時28．2解直角三角形4課時小結1課時28．1銳角三角函數內容簡介本節先研究正弦函數，在此基礎上給出余弦函數和正切函數的概念．通過兩個特殊的直角三角形，讓學生感受到不管直角三角形大小，只要角度不變，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數，這為引出正弦函數的概念作好鋪墊．這樣引出正弦函數的概念，能夠使學生充分感受到函數的思想，由于教科書比較詳細地討論了正弦函數的概念，因此對余弦函數和正切函數概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學生類比著正弦函數自己完成．教科書將求特殊角的三角函數值和已知特殊角的三角函數值求角這兩個相反方向的問題安排在一起，目的是體現銳角三角函數中角與函數值之間的對應關系．本節最后介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數值以及如何根據三角函數值求對應的角等內容．由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書只就常見的情況進行介紹．教學目標1．知識與技能（1）了解銳角三角函數的概念，能夠正確應用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角；（2）能夠正確地使用計算器，由已知銳角求出它的三角函數值，由已知三角函數值求出相應的銳角．2．過程與方法通過銳角三角函數的學習，進一步認識函數，體會函數的變化與對應的思想，逐步培養學生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力．3．情感、態度與價值觀引導學生探索、發現，以培養學生獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣．重點與難點1．重點：正弦、余弦；正切三個三角函數概念及其應用．2．難點：使學生知道當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實．用含有幾個字母的符號組sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．教學方法學生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實，關鍵在于教師引導學生比較、分析，得出結論．正弦、余弦的概念是全章知識的基礎，對學生今后的學習與工作都十分重要，教學中應十分重視．同時正、余弦概念隱含角度與數之間具有一一對應的函數思想，又用含幾個字母的符號組來表示，在教學中應作為難點處理．第1課時正弦函數復習引入教師講解：雜志上有過這樣的一篇報道：始建于1350年的意大利比薩斜塔落成時就已經傾斜．1972年比薩發生地震，這座高54.5m的斜塔大幅度搖擺22分之分，仍巍然屹立．可是，塔頂中心點偏離垂直中心線的距離已由落成時的2.1m增加至5.2m，而且還以每年傾斜1cm的速度繼續增加，隨時都有倒塌的危險．為此，意大利當局從1990年起對斜塔進行維修糾偏，2001年竣工，使頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm．根據上面的這段報道中，“塔頂中心點偏離垂直中心線的距離已由落成時的2.1m增加至5.2m，”這句話你是怎樣理解的，它能用來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？這個問題涉及到銳角三角函數的知識．學過本章之后，你就可以輕松地解答這個問題了!探究新知（1）問題的引入教師講解：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？教師提出問題：怎樣將上述實際問題用數學語言表達，要求學生寫在紙上，互相討論，看誰寫得最合理，然后由教師總結．教師總結：這個問題可以歸納為，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（課本圖28．1-1）．根據“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即＝可得AB=2BC=70m，也就是說，需要準備70m長的水管．教師更換問題的條件后提出新問題：在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？要求學生在解決新問題時尋找解決這兩個問題的共同點．教師引導學生得出這樣的結論：在上面求AB（所需水管的長度）的過程中，雖然問題條件改變了，但我們所用的定理是一樣的：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于．也是說，只要山坡的坡度是30°這個條件不變，那么斜邊與對邊的比值不變．教師提出第2個問題：既然直角三角形中，30°角的斜邊與對邊的比值不變，那么其他角度的對邊與斜邊的比值是否也不會變呢？我們再換一個解試一試．如課本圖28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A對邊與斜邊的比值是一個定值嗎？如果是，是多少？教師要求學生自己計算，得出結論，然后再由教師總結：在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC．因此=，即在直角三角形中，當一個銳角等于45°時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于．教師再將問題提升到更高一個層次：從上面這兩個問題的結論中可知，在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值．這就引發我們產生這樣一個疑問：當∠A取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？教師直接告訴學生，這個問題的回答是肯定的，并邊板書，邊與學生共同探究證明方法．這為問題可以轉化為以下數學語言：任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′（課本圖28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么關系．在課本圖28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值．（二）正弦函數概念的提出教師講解：在日常生活中和數學活動中上面所得出的結論是非常有用的．為了引用這個結論時敘述方便，數學家作出了如下規定：如課本圖28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA==．在課本圖28．1-4中，∠A的對邊記作a，∠B的對邊記作b，∠C的對邊記作c．例如，當∠A=30°時，我們有sinA=sin30°=；當∠A=45°時，我們有sinA=sin45°=．（三）正弦函數的簡單應用教師講解課本第79頁例題1．例1如課本圖28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．教師對題目進行分析：求sinA就是要確定∠A的對邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對邊與斜邊的比．我們已經知道了∠A對邊的值，所以解題時應先求斜邊的高．解：如課本圖28．5-1（1），在Rt△ABC中，AB==5．因此sinA==，sinB==．如課本圖28．5-1（2），在Rt△ABC中，sinA==，AC==12．因此，sinB==．隨堂練習做課本第79頁練習．課時總結在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值．在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，教后反思__________________________________________________________________________________________________________________________________________________第1課時作業設計課本練習做課本第85頁習題28．1復習鞏固第1題、第2題．（只做與正弦函數有關的部分）雙基與中考1．如圖1，已知點P的坐標是（a，b），則sinα等于（）A．B．C．（1）（2）（3）2．（2005，南京）如圖2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則sinB等于（）A．B．C．D．4．（2004．遼寧大連）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，則sinA的值是（）．A．5．如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的長是（）．A．2第1課時作業設計（答案）1．D2．A3．A4．B5．B28.1.2余弦、正切函數(第2課時)復習引入教師提問：我們是怎樣定義直角三角形中一個銳角的正弦的？為什么可以這樣定義它．學生回答后教師提出新問題：在上一節課中我們知道，如課本圖28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定了．現在我們要問：其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？探究新知（一）余弦、正切概念的引入教師引導學生自己作出結論，其證明方法與上一節課證明對邊比斜邊為定值的方法相同，都是通過兩個三角形相似來證明．學生證明過后教師進行總結：類似于正弦的情況，在課本圖28．1-6中，當銳角A的大小確定時，∠A的斜邊與鄰邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的．我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA==；把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA==．教師講解并板書：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA，tanA也是A的函數．（二）余弦正切概念的應用教師解釋課本第80頁例2題意：如課本圖28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．教師對解題方法進行分析：我們已經知道了直角三角形中一條邊的值，要求余弦，正切值，就要求斜邊與另一個直角邊的值．我們可以通過已知角的正弦值與對邊值及勾股定理來求．教師分析完后要求學生自己解題．學生解后教師總結并板書．解：sinA=，∴AB==6×=10，又∵AC==8，∴cosA==，tanB==．隨堂練習學生做課本第81頁練習1、2、3題．課時總結在直角三角形中，當銳角A的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，把∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正切，記作tanA．教后反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________第2課時作業設計課本練習做課本第85頁習題28．1復習鞏固第1題、第2題．（只做與余弦、正切函數有關的部分）雙基與中考一、選擇題．1．已知sina+cosa=m，sina·cosa=n，則m，n的關系是（）．A．m=nB．m=2n+1C．m2=2n+1D．m2=1-2n2．在直角三角形ABC中，∠A為銳角，且cosA=，那么（）．A．0°<∠A≤30°B．30°≤∠A≤45°C．45°<∠A≤60°D．60°<∠A<90°3．如圖1，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（）．A．C．sinaD．1(1)(2)(3)(4)4．如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD=，sin∠DBC=，則AB，BC，CD長分別為（）．A．4，12，13B．4，13，12C．5，12，13D．5，13，125．如果a是銳角，且cosa=，那么sin（90°-a）的值等于（）．A．6．如圖3，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，∠ABD=a，則下列結論正確的是（）．A．sina=B．cosa=C．tana=D．tana=7．如圖4，為測一河兩岸相對兩電線桿A、B間的距離，在距A點17米的C處（AC⊥AB）測得∠ACB=50°，則A、B間的距離應為（A．17sin50°米B．17cos50°米C．17tan50°米D．17cot50°米8．在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若CD=4，AB=10，則EF：AF等于（）．A．B．C．二、填空題

9．直角三角形的斜邊和一條直角邊的比為25：24，則其中最小角的正切值是________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=4，且S△ABC=2，則c=_______．11．