湖北省部分重點中學2023－2023學年度上學期高二期中考試數學試卷（文科）命題人：市49中唐和海審題人：武漢中學楊銀舟一、選擇題（5×12＝60分）1.下列命題正確的是（）A．經過三點確定一個平面B．經過一條直線和一個點確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面2.為了解1200名學生對學校教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采用系統抽樣，則分段的間隔k為（）3.已知直線⊥平面，直線m，給出下列命題：①∥②∥m;③∥m④；其中正確的命題是（）A．①②③B．②③④C．②④D．①③4.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=57,則判斷框內為（）A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?5.有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9(cm)，從中任取三根，能搭成三角形的概率為（）A．B．C．D．6.如右圖是歌手大獎賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數的莖葉圖(其中m為數字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數分別為a1，a2，則一定有()A．a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．a1、a2的大小不確定7.某人5次上班途中所花的時間（單位：min）分別為：x，y，10，11，9．已知這組數據的平均數是10，方差為2，則的值為（）A．1B．2C．3D．48.兩條異面直線a,b所成的角是60°，A為空間一定點，則過點A作一條與直線a,b均成60°的直線，這樣的直線能作幾條（）條條條條9.如右圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成角；④與垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10.如圖，在棱長為1的正方體—中，點在線段上運動，給出以下四個命題：①異面直線與所成的角為定值；②二面角的大小為定值；③三棱錐的體積為定值；其中真命題的個數為()A．B． C．D．11.下列表格所示的五個散點，原本數據完整，且利用最小二乘法求得這五個散點的線性回歸直線方程為，后因某未知原因第5組數據的值模糊不清，此位置數據記為（如下表所示），則利用回歸方程可求得實數的值為（）1961972002032041367（A）（B）（C）（D）12.已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為()A.B.C.D.二、填空題（5×4＝20分）13.已知A表示點，a，b，c表示直線，M，N表示平面，給出以下命題：①a⊥M，若M⊥N，則a∥N②a⊥M，若b∥M,c∥a,則a⊥b,c⊥b③a⊥M，bM,若b∥M，則b⊥a④ab∩=A,c為b在內的射影，若a⊥c，則a⊥b。其中命題成立的是___________14.執行如下圖所示的程序框圖，若輸入的值為8，則輸出的值為．（15題圖）（14題圖）（15題圖）（14題圖）15.如右上圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是．16.甲、乙兩艘輪船都要?？吭谕粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達．甲、乙兩船?？坎次坏臅r間分別為4小時與2小時，則有一艘船?？坎次粫r必需等待一段時間的概率為．三、解答題（10+12×5＝70分）17.（10分）某市規定，高中學生在校期間須參加不少于80小時的社區服務才合格．某校隨機抽取20位學生參加社區服務的數據，按時間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時）進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區服務時間不少于90小時的學生人數；（Ⅱ）從參加社區服務時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生的參加社區服務時間在同一時間段內的概率．18.（12分）已知：四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點，PA=a，∠PDA=45o(1)求證：AF∥平面PCE；(2)求證：平面PCE⊥平面PCD；(3)求點D到平面PCE的距離.19.（12分）某學校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績分組區間是：，，，，。（1）求圖中a的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數與數學成績相應分數段的人數之比如下表所示，求數學成績在之外的人數。分數段x：y1：12：13：44：520.已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4。（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC,PF:FC=k,求k的值.21.等邊三角形ABC的邊長為2,沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，設點A到直線PQ的距離為x，AB的長為d．（Ⅰ）x為何值時，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．22.如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F在棱AC上，且.（1）求三棱錐D－ABC的表面積；（2）求證AC⊥平面DEF；（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

湖北省部分重點中學2023－2023學年度上學期高二期中考試文科數學試題答案1~5、DADAD6~10、BDCCD11、D12、B13、②③④14、815、90°16、16、解：甲比乙早到4小時內乙需等待，甲比乙晚到2小時內甲需等待．以x和y分別表示甲、乙兩船到達泊位的時間，則有一艘船?？坎次粫r需等待一段時間的充要條件為－2≤x－y≤4，在如圖所示的平面直角坐標系內，（x，y）的所有可能結果是邊長為24的正方形，而事件A“有一艘船?？坎次粫r需等待一段時間”的可能結果 由陰影部分表示．由幾何概型公式得：P（A）＝1-＝．17、解：（Ⅰ）由題意可知，參加社區服務在時間段[90，95）的學生人數為20××5=4（人），參加社區服務在時間段[95，100]的學生人數為20××5=2（人）．所以參加社區服務時間不少于90小時的學生人數為4+2=6（人）．…………5分（Ⅱ）設所選學生的服務時間在同一時間段內為事件A．由（Ⅰ）可知，參加社區服務在時間段[90，95）的學生有4人，記為a，b，c，d；參加社區服務在時間段[95，100]的學生有2人，記為A，B．從這6人中任意選取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以所選學生的服務時間在同一時間段內的概率．…………10分18.（1）取PC的中點為G，連結FG、EG∵FG∥DCFG=DCDC∥ABAE=AB∴FG∥AE且FG＝AE∴四邊形AFGE為平行四邊形∴AF∥EG又∵AF平面PCEEG平面PCE∴AF∥平面PCE…………4分（2）∵PA⊥平面ABCDAD⊥DC∴PD⊥DC∴∠PDA為二面角P-CD-B的平面角∴∠PDA=45o，即△PAD為等腰直角三角形又∵F為PD的中點AF⊥PD①由DC⊥ADDC⊥PDAD∩PD=D得：DC⊥平面PAD而AF平面PAD∴AF⊥DC②由①②得AF⊥平面PDC而EG∥AF∴EG⊥平面PDC又EG平面PCE∴平面PCE⊥平面PDC…………8分（3）過點D作DH⊥PC于H∵平面PCE⊥平面PDC∴DH⊥平面PEC即DH的長為點D到平面PEC的距離在Rt△PAD中，PA=AD=aPD=a在Rt△PDC中，PD=a,CD=aPC=aDH=a即：點D到平面PCE的距離為a…………12分19、(1)……2分解得………………3分(2)50-60段語文成績的人數為：60-70段語文成績的人數為：4分70-80段語文成績的人數為：80-90段語文成績的人數為：90-100段語文成績的人數為：………………5分(3)依題意：50-60段數學成績的人數=50-60段語文成績的人數為=5人60-70段數學成績的的人數為=50-60段語文成績的人數的一半=70-80段數學成績的的人數為=80-90段數學成績的的人數為=90-100段數學成績的的人數為=……12分20、解法一：（I）如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系o—xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）故異面直線GE與PC所成角的余弦值為.…………6分（Ⅱ）設F（0，y,z）在平面PGC內過F點作FM⊥GC，M為垂足，則，∴……12分解法二：（Ⅰ）在平面ABCD內，過C點作CH在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴異面直線GE與PC所成角的余弦值為.…………6分（Ⅱ）在平面GBCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結MF，又因為DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=，∴………………12分21、解：（Ⅰ）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴當時，d2取得最小值．…………6分（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴當時，cosθ取得最小值．…………12分22、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．…………1分設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．∴，，．……3分三棱錐D－ABC的表面積為．…………4分（2）取AC的中點H，∵AB＝BC，∴