a{nnn1a{nnn1n數列的通公式通項公如果數列

的第n項

與項數之間的函數關系可以用一個公式來表達，叫做數列的通項公式。數列的推式（）果知列

，任一項

a

與它的前一項之間的關系可以用一個公式來表示。（）推式數列所特有的表示方法，它包含兩部分，一是遞推關系，二是初始條件，二者缺一不可數列的n項和數通公的系數列

項和，叫做數列的前n項和，用表，即

=n3

nS

與通項的系是

a

=

S1Snn

(n(求數列項式常方有(前6種用，特別是2,5,6)、式法，

用差列等數的義通2和S與a

S1Snn

求解.注：求完后一定要考慮并通、（疊）加法形如

n

f()n

∴

a=(n

n

n

n

a)21）.累（疊）法：形

a

n

fna

n

∴

aaaa=nnaaann1）.待定數法：如

a

=pa+q（p≠1，pq設

+k=pa+k）造新的等比數列）

倒法形如（兩邊倒，構新數列，n

然后用待定系數法或是等差數）7).對數變換法形如n

)ann

a（然后用待定系數法或是差數列）n8).除冪構造法形如

a

aqa1ddn

(然用待定系數法或是等差數9).

歸納—猜想—證明”法直接求解或變形都比較困難時，先求出數列的前面幾項，猜測出通項，然后用數學歸納法證明方法就是“歸納—猜想—證明”法．遞推數列問題成為高考命題的熱點題型，對于由遞推式所確定的數列通項公式問題，通?？蓪ν剖降淖冃无D化為等差數列或等比數下面將以常見的幾種遞推數列入手，談談此類數列的通項公式求..

ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1ann1n－1n33n1nn＋1n2132n－1n1n1n11nn1111.

前n項和

通公式方及型例n與n的關法例1、已知下列兩數列{}

的前項s的公式，求

{}

的通項公式。（1）S＝2n2

－3；（）

n

2

解：(1)a＝＝－3－1，當n≥2時a＝－＝(22－n)n－1)2－＝4－5，由于a也合此等式，a＝4－（）

11

，當

2

時

a

=

=

=3

經驗證

1

也滿足上式∴

a

=3

（）

0，當n2時，a1n

n

n

由于

1

不適合于此等式?！?/p>

(nn(2)(點評要分n=1和兩種況別行算然驗能否一)2.加法:

n

f()n

型

aan

n

n

a)21在數列{}，＝，a＝＋；解由a－＝

n把＝，…，n≥代入，得n1)個式子，累加即可得a－a)(a－a)…＋(－)＝2＋

＋＋2

n

－

1

，所以

n1－＝，－即a－＝

n

－2，所以＝2n

－＋a＝2

n當n＝1時a＝也符合，所＝

－N*．3.乘法

a

n

a(n)n

型，

aa=naan已數列

中滿足a=1，

a

2

，求的通項公式解：∵

a

2

∴

2

.∴

aaaaa

a

2

(

∴

(

.

n1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nnan1n1n＋1n1nnnnn1nn1n1annnnnnnn1n3nna4.待系法an=pa+q（≠1，pq≠0），通過分解常數，可轉化為特殊數{+k}的式求解。解法：設

+k=p（+k與原式比較系數可得pk－，k=

qp

，從而得等比數{a+k}。在數列{}，＝，a＝a＋1.由a＝a＋1得a＋1＝a＋1)，令b＝＋，所以{}以2為公比的等比數列．所以b＝b

n

－1

＝(a＋n

－

1

＝2n

＋

1所a＝b－＝n

＋1

－1(n∈N*．5.

倒變換、形如

a

a

的分式系的遞推公，分子有一項（邊倒再離數成

pa

求）后用待定系數法或是等差數列例5.已數列

{}n

滿足

n

n,an

，求數列

{}n

的通項公式。解：由

1n,得,aannnn

1是以首項為，差為的等差數列(a1n考六、構法.形

qa

a1ddd

然后用待定系數法或是等差數列、知數列

{}n

滿足

a

(n

求a．解將

a

a

兩邊同除，

aannn

，變形為

a2an3

．設

ab

b(，則．以3

，數列

a{是以b33

為首項，為差的等比數列．)

n

abn．因，以nn

n

=

n()

n

得=

3

．.

.求數列通公式一、數列通項公式的求法1、察觀數中項其號的系分各中變部與變部，探各中化分序間的系從歸出成律出項式例由列前項通公（），，，，…（），，，，3）

12,23

34,,452、義：當知列等或比列，直利等或比列通項式只求首及差公。這方適于知列型題．例（）知

差列，且

a。25

a.；（）知數列

a

}為比數列，

6,a5

求數列

a

}通項公式；（）知等比列

a13,aa1312

，求數列

式（4數列

{}n

中，

a1

n

n

，求

{}n

的通項公式（）知數列

{}n

滿足

a

，

，求

{}n

的通項公式（6）已數

a,當n2S1

n

Sn

n

則

n

.

n.nn

3、式：已數的n項和式求項式基方是

(n1(nn注：先和n≥兩種情分進運，后證否一。例（）知列

{}

的前n項n，

{}

的通項公式。（2）已數

n

則

n

（）知數列

前n項和

s

nn

，求

{}

的通項公式累加法：利用

aan11n

n

求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如

n

f(n)n

的f()遞推數列通項公式的基本方法（可求前n項和）.反:用累加法求通項公的關鍵是將遞推公式變形為

n

)n

.例）列

{}n

中，

aa

a

，求

{}n

的通項公式.

nnnnn.nnnnn（）數列

a1

1，a22

求數列

？5、累法利用恒等式

an1

aa2a1n

求通項公式的方法稱為累乘法累乘法是求型

n

)a

n

的遞推數列通項公式的基本方(數

)

可求前

項積.例（）知列

{}首項a，且ann

(n2)n

，求數列

{}n

的通項公式（）知數列

{}首項a1,nn1n

，求數列

{}n

的通項6湊配（叫造數）

:將推公式

n+1

（,為數，q0，d0通過na

n

)()n

與原遞推公式恒等變成

an

d(qq

的方法叫湊法構新.例（1）數列

{}，a2,n1

n

a，求{}n

的通項公式（）知數列

aa1n

n

n2),求、倒數換將遞推數列

an

11(d0),倒數變成aacacn

的形式的方法叫倒數變換..

nnnn1nn求列.nnnn1nn求列例（）數

a

1,22an

,求數列

式求前項和的方(1)公法①等差數列前項和＝____________＝________________，推導方法；②等比數列前項和＝③常見數列的前n項：

，q＝1，＝，≠

推導方法：乘公比，錯位相減法．a＋＋＋…＋n＝________________；

．2＋＋6＋…＋2＝_________________c．1＋＋5＋…＋－＝_____________．

2

(n6e

33

(n]2(2)分求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可以分為幾個等差或等比數列或者常見的數列，即可以分別求和，然后再合并；(3)裂相消)法：求和．

有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再常見的裂項公式有：①_x0001_

1＝－；②＝＋

－2＋1

；③

＋n

＝＋1－.

1()n(4)錯相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和．這種方法主要用于求數列{}前n項和，其中

和；(5)倒相加：

例如，等差數列前n項公式的推導考二分組求和111???,(),???22n.

的前n項。

n.n1

1112???n)4(123???n)(

1???)22

1(n1考三.裂相法

：3.

求數列

11

12

,

1n

,

的前n項和.解：設

an

1n

nn

（裂項）則

Sn

11

12

1n

（裂項求和）＝

(21)3

2)n)

＝

n考四錯位相減求列

2462,,222n

前n項和2n1解：由題可知，}的項是等差數{的項等比數{}的項之積2n2設

246222232n

…………………①12

246n）2234n

………②設制錯公比）

-②得

22n

（錯位相考五倒相法

1∴42n2n2：5.

求

sin

sin

sin

3

的值解：設

Ssin

………….①將①式右邊反序得S2222

………②反序）又因為

sin2

①②

（反序相加）.

nnnnnnnnn597nn13nnnnnnnnn597nn132nnnnn2S(sin

2

cos

2

2

2

2

2

2

89

cos

2

89

＝∴S＝數列求和習、已知{a}首項為19公差為－的等差數列，S為{a}前n項．(1)求通項及S；(2)設{－}首為，公差為3的等差數列，求通項公式及前n項、已知等差數列{}，a＋－a＝10記S＝＋，S的為()C.15654.在列}中，＝4－，＋…＝＋bn，∈N+，其中a，b為常，則＝________.二錯相法這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數{a·項和，其中a}、b}分別是等差數列和等比數.

b}的前n2．設數列

{}

的前n項和為

n

，

{}

為等比數列，且

ab(ab121（Ⅰ）求數列

{}{}n

的通項公式；（Ⅱ設

n

nn

，求數列

{}的前n項.n例2．知數列

{}首項1

22，3an

，1,2,3,…（Ⅰ）證明：數列

1{an

是等比數列；（）數列

n{}an

的前

項和

．.

3：求數列nn.3：求數列nn2．設數列

{}

的前n項和為

Snn

2

，

{}

為等比數列，且

a,()b211（Ⅰ）求數列

{}{}n

的通項公式；（Ⅱ設

n

nn

，求數列

{}的前n項.n三分法有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即.2、已知數列

{}

的通項公式為

n

n

，則它的前n項和

111???,(),???22n

的前n項和。四裂相法和[例1]在{}，

a

1nn

，又

b

2a

，求數的n項和練習、數列

{}

的前n項的和為

，點

(

)(N*)

均在函數

的圖像上（）數列

{}

的通項公式；（）

b

3aa

,T

是數列

{}

的前n項和，求

T

3、數列

{}

的通項公式為

a

1nn

(N*)

，則它的前10項和=4、

1113(2n1)(2n.

nn136n1.nn136n15．已知數列

{}

是等差數列，其前n項和為S,a

12

6.（）數列

{}

的通項公式；（）和：

11S2

.等等應例在等差數列

37

，則

.練習1.設}等差數列，公差d=，為前n項.若nA.18B.20C.22D.24

，=（）10112.已知各項均為正數的等比數列{

a

}，

13

=5，

aa78

=10，

aa4

=（）(A)

5

(B)7(C)6(D)

4等數列

{}n

的前n項和為

，且

S

=6，

1

=4，則差＝________等差數列{}前n項為，若a＝2，S＝，a5.數{}是差數列，若a＋1，a＋3，a＋5構成比為的比數列，則q正等比數列

{},n

11181,則aaa244635

=

。等數列

項為,知Sa,,則32151(A)

111(C)33

(D)

198.已知等差數列

{}n

的公差為3，若

a13

4

成等比數列，則

2

等于（）AB．3．-3D設差數列

和為,Sn

m

Sm

,則m(A.3B.4C.5D.610.已知數列

列，且

1

，

a2

，那么則

4

等于（）（A）

（B）

（C）

（D）

11.知數列

列

S

是它的前

n

項和若

21

，

，則

S4

()A．．C．20．2412.在等比數列

n

，

a4

41

，則公比q為..

nn.nn13.若等列的前6項和23,為57,則列的前

n

項和

S=n

__________.14等比數列

{an

中

a1

512

,公比q

12

,

n

a1

a

2

L

an(即

n

表示數列

{的n項積),n

n

取最大值時n的值

（）A．8．9．9或10D數列大訓練、知差列

a

滿足：

a3

7

，

a5

a

7

26

，

a

的前n和為

S

n

．（Ⅰ）

n

及

S

n

=

a

1

1

求

b

的前n

T

n

．2．函

對任意

都有

1

12

1)2

和

1n1f()nn

的

N*);列

a滿：n

n

12n1)}nnn

是等差數列嗎？請給予證明．3．已列

an

滿足

a

a3

a,

a

,

1是首項為1公比為的等比數．3表達式；果n

bn

,求b}n

的前n項．.

a.a4、數列和為n,1anSn（Ⅱ）等差數列項為T，3，又

（Ⅰ）求n的項公式；aT123成比數列，求n

.5、已知數列

{}n

是等差數列，且

a，是列{}的前n項．3nn(Ⅰ)求數列

{}n

的通項公式及n項；n(若數

足nn

SSn

n

，且T是數列前n項，求b與T．nnn6．設

{}

是正數組成的數列，其前n項為

,n

并且對于所有的自然數

,a

與的差項等于

與2的等比中項．

(1)求數列

{}

的通項公式；(2)令

n

(n

)(n*),

求證：

b.1237、知數列

列，

a6,a；2n

項和T，nn

n

．(Ⅰ)求列

n

式(Ⅱ)求：數列

n

列(Ⅲ)記

cannn

，求

n

項

n.

.8.已知數列

和S

滿足S，中*．nn（I求數列

公式；（II）設abnn

3

，求數列項和為

．9.已知數列

{}n

的首項為，n項S，且數列公差為的差數列．（1求數列

{}n

的通項公式；（2）若

a

，求數列

n

的前項

Tn

．10、知數列

{}n

滿足

a1

12

nn

（1）求

{a}

的通項公式）證明：

a12n

n

.11.已知數列

{}n

的前

項和是

n

，且

n

12

anN*)n

．（1）求數列

{}n

的通項公式；（2）設

blog(1)(nN*)

，求適合方程

11125bb511223n

的正整數n的值．.

nnn4nn.nnn4nn數列大訓練(答案)1解設等差數列

d，為

3

，

5

，所以有

d1a1

，解得a，所以1)=2n+1；=1nn

n(n-1)=2（Ⅱ）由（）知

2n+1n

，所以b=

an

11111==-)24n(n+1)4

，所=n

11111++L-)=423nn+14n+14(n+1)

，即數列

和=n

n4(n+1)2．因

11f()f)f()f()22

1,故f()2令

x

111,得f()f)即()()nnnnn(2)：

2f(0)()f()f(

nn1)f而ff()f)fnnn兩式相加得

1f(0)f(1)]f()f(n

nn)](0)]n所以

an

n4

(nN*),

又

1a,n

故數列

{}

是等差數列．3．

當n時ann

1)n3

故aaaan2n

n

11))2)(1)333即

an

3)(N*).23n(2)因

b(2an

n),2n故

n12

32

3n2333Tn

13333

…①

1T3333

…②.

n兩式相減得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnn兩式相減得：，又∴故aa，又(51)(59)nnnnnnnnnnna①一②得

2111n112n2()(1),333343n33n故

Tn

n

又

312故S(2)24、Ⅰ由

Snn

可得

an2)n

，a,a(n2)nnn221n是首項為，公比為3的等數列∴（Ⅱ）設，由3得可得b1，得b

a

故可設

,baa13

，由題意可得，解得

d12∵等差數列

的項為正，∴

d

∴

∴

n

(

2n5、(Ⅰ)設數列

{}的公差為dn

，由題意可知：

adad

,解:

d2

…3分∴

adnnn

…………………5(1S2

Q

(nn

n311n)))).2n6．由意可知：

an2(*),理得(2)28

2

,所以

S

n

1(2)故[(a2)](a2aa88整理得：

(an

ann

n

由題意知

0,

而

1

故

4,即數列

{}

為等差數列，其中

2,4.1

故

a2.n(2)令

cn

則

cn

1a(n2

[(2n2n2n2n故

b121

n故

11)))335n22b12.

11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112.11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn112、解(Ⅰ)設

d

，則：

a2

，

5

，∵

2

，

a5

，∴

a1ad181

，∴

d1

．……分∴

a4n

．…………分（Ⅱ）當

n

時，

11

，由T1

，b

．……5分當

n

11時TTb∴T=()即b(22

…分∴2=b．∴b是為項，為公比等比數列．……………9分31（Ⅲ）由（）可知：))．∴n)4))33

n

．∴1S))2)n)33

n

．11∴S)2)3)n(8)33

n

．21∴SSS))))33

n43

11