第三章熱平衡態半導體中載流子的統計分布計算本征半導體和雜質半導體的熱平衡載流子濃度及費米能級的位置，討論載流子濃度、費米能級與雜質濃度、溫度的關系導帶價帶T載流子分布規律載流子影響因素主要內容§3.1熱平衡狀態§3.2狀態密度§3.3熱平衡態時電子在量子態上的分布幾率§3.4熱平衡時非簡并半導體的載流子濃度§3.5本征半導體的費米能級和載流子濃度§3.6非簡并雜質半導體的載流子濃度§3.7簡并半導體§3.1熱平衡狀態在一定的溫度下，存在：載流子產生過程 ——本征激發 ——雜質激發載流子復合過程 ——電子從導帶回到價帶或雜質能級上一、熱平衡狀態EcEv產生復合ED載流子濃度保持穩定→熱平衡狀態載流子濃度決定于：●允許電子存在的量子態按能量如何分布的？——狀態密度g(E)●電子是按什么規律分布在這些允許電子存在的量子態中？f(E)二、熱平衡時載流子的濃度導帶價帶導帶中單位能量間隔含有的狀態數為gc(E)

——導帶的狀態密度假設：能量為E的每個狀態被電子占有的幾率為f(E)在能量dE內的狀態具有的電子數為：f(E)gc(E)dE那么：整個導帶的電子數N為：式中Ec＇為導帶頂的能量若晶體的體積為V，那么電子的濃度為：空穴占據能量為E能級的幾率為：1－f(E)空穴的濃度p為：式中Ev＇為價帶底的能量gv(E)為價帶中單位能量間隔含有的狀態數——價帶的狀態密度§3.2狀態密度狀態密度狀態密度是能帶中能量E附近單位能量間隔內的量子態數目能帶中能量E+dE之間有dZ個量子態，則狀態密度為：狀態密度的計算k空間的狀態密度——單位k空間體積內的量子態數單位能量間隔dE對應的k空間體積單位能量間隔dE對應的量子態數dZ，計算狀態密度g(E)xx+L一、理想晶體的k空間的狀態密度1.一維晶體設它由N個原子組成，晶格常數為a，晶體的長為L，起點在x處aL=a×N在x和x+L處，電子的波函數分別為φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)單位k空間允許的狀態數為：單位k空間體積內所含的允許狀態數等于晶體長度L-2/L-1/L01/L2/Lkkkkkkx，ky，kz在空間取值是均勻分布的，k空間每個允許的k值所占體積為，那么允許k值的密度為1/(1/V)=V。由于每個k值可容納自旋方向相反的兩個電子，所以考慮自旋k空間電子的量子態密度是2V。2.三維晶體設晶體的邊長為L，L=N×a，體積為V=L3kx，ky，kz在空間取值是均勻分布的，k空間每個允許的k值所占體積為，那么允許k值的密度為1/(1/V)=V。由于每個k值可容納自旋方向相反的兩個電子，所以考慮自旋k空間電子的量子態密度是2V。k空間中的狀態分布kx????????????????????????????????????????????????????????kzky小立方的體積為：一個允許電子存在的狀態在k空間所占的體積1.極值點k0=0，E(k)為球形等能面(1)導帶底球所占的k空間的體積為：球形等能面的半徑r球內所包含的量子態數Z(E)：Z(E)=

2V×二、半導體導帶底和價帶頂的狀態密度能量由E增加到E+dE，k空間體積增加：量子態變化dZ(E)：導帶底附近單位能量間隔的量子態數—量子態（狀態）密度為：(2)價帶頂2.實際半導體導帶底附近的狀態密度為：式中S為導帶極小值的個數Si：S=6，Ge：S=4(1)導帶底(極值點k0≠0)令：稱mdn導帶電子狀態密度有效質量(2)價帶頂(極值點k0＝0)同理，對近似球形等能面的價帶頂附近，起作用的是極值相互重合的重空穴(mp)h和輕空穴(mp)l兩個能帶，故價帶頂附近狀態密度gv(E)為兩個能帶狀態密度之和令：稱mdp為價帶空穴狀態密度有效質量狀態密度與能量E有拋物線關系EEc1Ev2gc(E)gv(E)還與有效質量有關，有效質量大的狀態密度大.§3.3熱平衡態時電子在量子態上的分布幾率一、費米分布函數和費米能級式中EF具有能量量綱，稱為費米能級1、費米分布函數熱平衡條件下半導體中電子按能量大小服從一定的統計分布規律。電子遵循費米-狄拉克（Fermi-Dirac）統計分布規律。能量為E的一個獨立的電子態被一個電子占據的幾率為費米能級定義為：1938年諾貝爾物理學獎1933年諾貝爾物理學獎FermiDirac2.f(E)的特點f(E)與溫度T有關T=0KE＞EF：f(E)=0E＜EF：f(E)=1 半導體EF位于禁帶中T=0K1/2T2>T1f(E)T1T2EfE10費米能級標志電子占據量子態的情況T＞0KE＞EF：f(E)＜1/2E＜EF：f(E)＞1/2E=EF：f(E)=1/2T↑ E＞EF：f(E)↑ E＜EF：f(E)↓EF↑E＞EF：f(E)↑與摻雜程度有關 E＜EF：f(E)↓EF的意義:EF的位置比較直觀地反映了電子占據電子態的情況。即標志了電子填充能級的水平。EF越高，說明有較多的能量較高的電子態上有電子占據。二、玻爾茲曼分布1.電子的玻爾茲曼分布當E－EF>>kT時——電子的玻爾茲曼分布Boltzmann例如：E－EF=5kT時，1/2f(E)EfE10fBE(E)fFD(E)1/2f(E)EfE10fBE(E)fFD(E)價帶導帶ECEVEg電子的統計分布半導體中常見的是費米能級EF位于禁帶之中，并且滿足Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的條件。因此對導帶或價帶中所有量子態來說，電子或空穴都可以用玻耳茲曼統計分布描述。由于分布幾率隨能量呈指數衰減，因此導帶絕大部分電子分布在導帶底附近，價帶絕大部分空穴分布在價帶頂附近，即起作用的載流子都在能帶極值附近。通常將服從玻耳茲曼統計規律的半導體稱為非簡并半導體；（滿足E-EF＞＞kT或EF

-E＞＞kT；）而將服從費米統計分布規律的半導體稱為簡并半導體。本征Si:(EF)本征≈Ei(禁帶中心能級)禁帶寬度Eg=1.12eV

Ec－EF=Ec－Ei=0.56eV在室溫時，kT=0.026eV0.56/0.026=21.6＞＞5沒有被電子占有的幾率為：2.空穴的分布函數——空穴的費米分布空穴占據能量E的幾率:當EF－E＞＞kT時，E↑，空穴占有幾率增加；EF↑，空穴占有幾率下降，即電子填充水平增高。——空穴的玻爾茲曼分布1/2f(E)EfE101-fB(E)1-fF(E)價帶導帶ECEVEg空穴的統計分布§3.4熱平衡時非簡并半導體的載流子濃度no和po一、導帶電子濃度no和價帶空穴濃度po1.電子濃度no在能量E→E+dE間隔內的電子數dN為：dN=fB(E)gc(E)dEEcEc’EE+dE整個導帶的電子數N為：引入：其中∴電子濃度no：利用積分公式：令：——導帶有效狀態密度∴電子占據導帶底Ec的幾率2.空穴濃度po價帶中的空穴濃度為：其中——價帶的有效狀態密度平衡態非簡并半導體導帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0與溫度和費米能級EF的位置有關。其中溫度的影響不僅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影響更大的是指數項；EF位置與所含雜質的種類與多少有關，也與溫度有關。g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNv載流子的統計分布二、影響no和po的因素Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019

Ge 1.04×1019

6.1×1018

GaAs 4.7×10177×1018

室溫時：1.mdn和mdp的影響—材料的影響2.溫度的影響(1)Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑(2)占據EC、EV的幾率與T有關T↑，幾率↑T↑，no、po↑3.EF位置的影響——摻雜EF→EC，EC-EF↓，no↑—EF越高，電子的填充水平越高，對應n0較高；EF→EV，EF-EV↓，po↑—EF越低，電子的填充水平越低，對應p0較高。EF與摻雜有關，決定于摻雜的類型和數量。EFEA不同摻雜情況下的費米能級（a）強p型（b）弱p型（c）本征情況（d）弱n型（e）強n型EvEiEcEFEAEvEiEcEvEiEcEvEiEcEDEFEvEiEcEDEF三、載流子濃度積總結：平衡態非簡并半導體n0p0積與EF無關；對確定半導體，mn*、mp*和Eg確定，n0p0積只與溫度有關，與是否摻雜及雜質多少無關；一定溫度下，材料不同則mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0積也不相同。溫度一定時，對確定的非簡并半導體n0p0積恒定；平衡態非簡并半導體不論摻雜與否，上式都是適用的。§3.5本征半導體的費米能級和載流子濃度本征半導體：不含有任何雜質和缺陷。本征激發：導帶電子唯一來源于成對地產生電子－空穴對，因此導帶電子濃度就等于價帶空穴濃度。本征半導體的電中性條件是

qp0-qn0=0即n0=p0=ni___--本征載流子濃度在室溫（RT=300K）下：

ni

（Ge）≌2.4×1013cm-3

ni

（Si）

≌1.5×1010cm-3

ni

（GaAs）

≌1.6×106cm-3一、本征半導體的費米能級位置Ei為禁帶的中心能級，將NC、NV代入：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo室溫時，kT=0.026eVEF－Ei=-0.008eV(Eg)Ge=0.67ev∴EF≈Ei對Si、GaAs一樣，EF≈Ei對某些窄禁帶半導體不然，如InSb，Eg=0.17eV，mdp/mdn≈32，EF=Ei+0.068eV≠Ei對于多數本征半導體，可以認為費米能級不隨溫度變化Ei又叫本征費米能級二、本征載流子濃度及影響因素1.本征載流子濃度niEg=1.12ev0.67ev1.428ev、、

300Kni=硅、鍺、砷化鎵1、溫度一定時，Eg大的材料，ni小；

2、對同種材料，

ni隨溫度T按指數關系上升。

EF=Ei時：故同樣對非簡并半導體(含雜質半導體)2.影響ni的因素(1)mdn、mdp、Eg——材料(2)T的影響T↑，lnT↑，1/T↓，ni↑高溫時，在lnni～1/T坐標下，近似為一直線。本征載流子濃度和樣品溫度的關系3.濃度積nopo與本征載流子濃度ni熱平衡判據本征半導體：

no，pono=po=niN型：no＞poP型：po＞no舉例(1)在常溫下，已知施主濃度ND，并且全部電離，求導帶電子濃度no和價帶空穴濃度po∵施主全部電離∴no=NDpo=ni2/no=ni2/ND（2）在常溫下，已知受主濃度NA，并且全部電離，求導帶電子濃度no和價帶空穴濃度po

∵受主全部電離∴po=NAno=ni2/po=ni2/NA三、本征半導體在應用上的限制●純度達不到要使得本征激發是載流子的主要來源雜質原子/總原子＜＜本征載流子/總原子Si：原子密度1023/cm3，室溫時，ni=1010/cm3本征載流子/總原子=1010/1023=10-13＞雜質原子/總原子Si的純度必須高于99.9999999999999%●本征載流子濃度隨溫度變化很大，濃度及電導率不能控制在室溫附近，Si：T↑8K，ni↑一倍Ge：T↑12K，ni↑一倍§3.6非簡并雜質半導體的載流子濃度一、雜質能級上的電子和空穴濃度雜質半導體中，施主雜質和受主雜質要么處于未離化的中性態，要么電離成為離化態。以施主雜質為例，電子占據施主能級時是中性態，離化后成為正電中心。因為費米分布函數中一個能級可以容納自旋方向相反的兩個電子，而施主雜質能級上要么被一個任意自旋方向的電子占據(中性態)，要么沒有被電子占據(離化態)，這種情況下電子占據施主能級的幾率為若施主濃度為ND

施主能級上的電子濃度nD為：—未電離的施主濃度電離的施主濃度nD+為：●ED－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主雜質幾乎全部電離●EF=ED●EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+→0，施主雜質幾乎沒有電離施主雜質只有1/3電離沒有電離的受主濃度pA為：電離的受主濃度pA-為：若受主濃度為NA同樣的，空穴占據受主能級EA的幾率是●EF－EA＞＞kT●EA－EF＞＞kTpA→0，pA-→NA，受主雜質幾乎全部電離●EF=EApA→NA，pA-→0，受主雜質幾乎沒有電離受主雜質只有1/3電離受主：EF高時，受主電離多；EF低時，受主電離少施主：EF高時，施主電離少；EF低時，施主電離多。EF→雜質的電離→導帶電子或價帶空穴內在聯系二、雜質半導體載流子濃度和費米能級本征半導體：+雜質半導體：n0p0EF電中性條件？雜質半導體帶電粒子有：電子、空穴、電離的施主nD+和電離的受主pA-電中性條件：no+pA-=po+nD+分析不同溫度范圍，確定費米能級EF導帶價帶pA-p0n0nD+一般求解此式是有困難的T雜質離化區本征激發區過渡區低溫弱電離區中間電離區強電離區載流子由雜質電離提供少量雜質電離雜質全部電離載流子由雜質電離和本征激發提供載流子主要由本征激發提供1.低溫弱電離區溫度很低，kT＜△ED＜＜Eg，本征激發忽略本征激發很小，po=0可忽略電中性條件no=nD+以只含有ND一種施主雜質為例A.n型半導體載流子濃度和費米能級no+pA-=po+nD+可簡化為：將n0、nD+

代入，得：將n0、nD+

代入，得：溫度很低時，nD+<<ND,∴∴取對數并化簡得：討論：EF隨溫度T的變化EcEFED●n0～T的關系對no的表達式取對數：lnno≈常數－△ED/(2kT)隨溫度升高，n0指數上升1/Tlnni-Eg/(2k)-△ED/(2k)中間電離區溫度繼續升高，當2NC>ND后，EF下降到(EC+ED)/2以下，當溫度升高到使得EF=ED時，2.強電離區（飽和電離區）—雜質全部電離，本征激發仍很小電中性條件為：解得費米能級EF代入n0：一般，NC>ND∴EF<EC

∵

ni＜＜ND∴EF＞Ei

T↑，NC、ni↑，EF↓ND↑，EF↑又解得費米能級EF決定雜質全電離(nD+≧90%ND）的因素1、雜質電離能；

2、雜質濃度。

在室溫（RT）時，當雜質濃度≧10ni時，

nD+≌ND3.過渡區電中性條件：—雜質全部電離，本征激發不能忽略當半導體處于飽和區（雜質全部電離）和完全本征激發之間時稱為過渡區，這是導帶中的電子一部分來源于全部電離的雜質，另一部分則由本征激發提供，價帶中產生了一定量的空穴。消去p0，得聯立解得當ND＞＞ni時，當ND＜＜ni時，靠近本征區一邊靠近飽和區一邊代入將所以4.本征激發區

雜質全電離本征載流子濃度大電中性條件ND0niTn0弱電離區強電離區過渡區本征區N型半導體載流子濃度隨溫度的變化情況ECEDEiTEF弱電離區強電離區過渡區本征區N型半導體費米能級隨溫度的變化情況B.P型半導體的載流子濃度和費米能級

(1)低溫弱電離區

(4)本征激發區

T↑，EF↑

(3)過渡區

po=NA，no=ni2/NA

(2)飽和電離區

(1)

工作溫區的上限決定摻雜濃度的下限（ND)min

——

雜質激發載流子遠高于本征激發載流子

條件：ND≥10ni●根據Tmax，由lnni~1/T曲線查出Tmax對應的ni；●根據ni的公式計算出Tmax所對應的ni；三、工作溫區——飽和電離區n0=ND,載流子濃度等于雜質濃度的溫度范圍例：T=500K時，Sini=5×1014/cm3

最小摻雜濃度：(ND)min=5×1015/cm3

全電離時，要求ED＞＞EF

工作溫區的下限決定摻雜濃度的上限(ND)max，

——ND全電離

條件：nD+/ND>=90%或

D-=nD/ND<10%要滿足全電離條件，D-<=0.1，代入，得到將強電離區上限:室溫時：NC=2.8×1019/cm3，△ED=0.044ev(ND)max=3×1017/cm3(ND)min=10ni(500K)下限:查表得：T=500K時，ni=5×1014/cm3

(ND)min=5×1015/cm3

例：計算工作溫度在室溫到500K的摻P的Si半導體的施主濃度范圍。工作溫區=強電離區Tmin=300K，Tmax=500K§3.7簡并半導體

半導體處于飽和區，N型半導體P型半導體一般，ND<NC,,NA<NV,EF位于EC之下、EV之上，處于禁帶中。半導體中玻耳茲曼分布函數并不總是適用，n型半導體中如果施主濃度ND很高，EF就會與導帶底Ec重合甚至進入導帶，此時E-EF>>k0T不再成立，必須用費米分布函數計算導帶電子濃度，這種情況稱為載流子的簡并化，發生載流子簡并化的半導體稱為簡并半導體。一、簡并半導體的載流子濃度

費米分布ξ-4-3-2-1-1/2F1/2(ξ)0.0160.0430.1150.290.45ξ01/2123F1/2(ξ)0.60.991.3962.5023.977

1.EF接近或進入導帶中

其中：——費米積分2.EF接近或進入價帶中

二、簡并化條件非簡并：簡并：可見：簡并與非簡并半導體兩者n0/Nc的差別與Ec-EF的值有關，因此用Ec-EF的大小作為判斷簡并與否的標準。不同分布函數得到的n0/Nc與(EF-Ec)/(k0T)關系N型半導體的簡并化條件：EC－EF≤0P型半導體的簡并化條件：EF－EV≤

0簡并化條件例：究竟什么樣的摻雜濃度會發生簡并呢？如果Si中施主濃度為ND，施主雜質電離能為ΔED，根據電中性條件n0=nD+，代入nD+和簡并時的n0表達式，得到所以簡并時Ec－EF=0，ξ=0，根據圖3.4得到F1/2(0)≈0.6，所以上式方括號內的值大于3，所以簡并時ND>Nc，摻雜很高（ND~NC至少處于同一數量級）。發生簡并的ND還與ΔED有關，ΔED較大則發生簡并所需要的ND也大；另外簡并化只在一定的溫度區間內才發生。簡并時雜質未充分電離As在Ge和Si中的ΔED分別為0.0127eV和0.049eV，簡并時Ec-EF=0，經計算得到室溫下的離化率分別只有23.5%和7.1%，因此簡并時雜質沒有充分電離。盡管雜質電離不充分，但由于摻雜濃度很高，多子濃度還是可以很高的。因為簡并半導體中的雜質濃度很高，雜質原子之間相距較近，相互作用不可忽略，雜質原子上的電子可能產生共有化運動，從而使雜質能級擴展為能帶。雜質能帶的出現將使雜質電離能減小，當雜質能帶與半導體能帶相連時，會形成新的簡并能帶，同時使狀態密度產生變化。四、簡并半導體中的雜質能帶簡并：△ED→0，Eg→Eg＇

雜質能級——雜質能帶禁帶變窄效應導帶Eg施主能級價帶施主能帶本征導帶簡并導帶能帶邊沿尾部EgE′g價帶主要任務：計算本征半導體和雜質半導體的熱平衡載流子濃度及費米能級的位置，討論載流子濃度、費米能級與雜質濃度、溫度的關系導帶價帶T主要內容小結●載流子統計分布：

電子占據量子態的幾率：費米分布函數→簡并半導體玻爾茲曼函數→非簡并半導體能量狀態密度：導帶：gC(E)∝E1/2價帶：gV(E)∝-E1/2g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNv●載流子濃度：導帶電子濃度價帶