第十二章扭轉12-1概述軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。汽車傳動軸汽車方向盤絲錐攻絲變形特征：桿件的各橫截面環繞軸線發生相對的轉動。受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內，作用著一對力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭轉角：任意兩橫截面間相對轉過的角度。ABOMMOBA

12-2扭轉時的內力M—作用在軸上的外力偶矩，單位為牛頓·米（N·ｍ）

P—為軸所傳遞的功率，單位為千瓦（kW）

n—軸的轉速，單位為轉/分（r/min）當傳遞的功率P

的單位為PS（馬力，1PS=735.5W）時，上式變為：一、外力偶距的計算3扭矩的符號規定：

“MT”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為正，反之為負。二、扭矩及扭矩圖1扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“Mn”。

2截面法求扭矩MMMTx右手螺旋法則：用右手四指表示扭矩的轉向，若拇指的指向離開截面時，規定扭矩為正，如圖a所示；若拇指指向截面時，則扭矩為負，如圖b所示。（a）（b）三、扭矩圖假截留半；內力代換；內外平衡。截面法求扭矩的一般步驟當軸上同時有幾個外力偶矩作用時，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必須用截面法分段求出。扭矩圖：為了直觀地表示沿軸線各橫截面上扭矩的變化規律，取平行于軸線的橫坐標表示橫截面的位置，用縱坐標表示扭矩的代數值，畫出各截面扭矩的變化圖。例12-1

求如圖所示傳動軸1-1截面和2-2截面的扭矩，并畫扭矩圖。解：用截面法求扭矩1）取1-1截面左側2）取2-2截面右側

3）作出扭矩圖如圖。

1.2kNm1.8kNm=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122扭矩圖的簡捷畫法在外力偶矩作用處的截面上，扭矩發生突變，突變量等于外力偶矩的數值。利用這一突變特性，可較快地畫出扭矩圖。當軸上有多個外力偶矩作用時，愈顯示出這種方法的快捷簡便。例4-9如圖4-44所示為一傳動軸，軸的轉速

n=500r/min，主動輪B輸入功PB=60kW，從動輪A、C、D輸出功率分別為PA=28kW，

PC=20kW，PD=12kW。試繪制軸的轉矩圖，并指出最大扭矩Tmax的值。BACD圖4-44解：（1）計算外力偶矩（2）計算各截面扭矩AB段：

T1=-MA=-534.8

N·m

BC段：

T2=MB-MA

=1146N·m-534.8N·m=611.2N·m

CD段：

T3=MD=229.2N·m（3）畫扭矩圖最大扭矩在BC段內的各橫截面上

Tmax=611.2N·m

。

§12-3

薄壁圓筒的扭轉1、各圓周線繞軸有相對轉動，但形狀、大小及兩圓周線間的距離不變。2、各縱向線仍為直線，但都傾斜了同一角度γ，原來的小矩形變成平行四邊形。橫截面上沒有正應力。橫截面上必有τ存在，其方向垂直于圓筒半徑。

相鄰兩圓周線間每個小矩形的直角改變量都相等，根據均勻連續假設，圓周各點處切應力的方向與圓周相切，且數值相等。:切應變直角的改變量一、變形的幾何關系

觀測結果：1）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距保持不變，僅繞軸線作相對轉動。2）縱向線均傾斜了一個角度。第三節圓軸扭轉時的應力試驗觀測：取一易變形的圓形截面直桿，在此圓軸的表面各畫幾條相平行的圓周線和縱向線；在軸的兩端施加一對力偶矩M使其產生扭轉變形。d/dx=/R，所以在同一橫截面上d/dx是一個常數，因此各點的切應變與該點到圓心的距離成正比。平面截面假設：圓軸扭轉變形后，橫截面仍保持為平面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉動。圓軸扭轉時橫截面上的應力關系BAKA'B'L二、應力應變關系剪切胡克定律各點的切應力三、靜力學關系RdAdA取dA為距截面中心處的微面積，則dA為作用在微面積上的力dA對截面中心之距，整個橫截面上這些力矩的合成結果應等于扭矩T：橫截面積極慣性矩則得：物理關系式比較等直圓軸扭轉時橫截面上任一點處切應力的計算公式切應力最大值：令稱為抗扭截面系數實心圓截面令內外徑比為=d/D，則有：O圓柱的極慣性矩空心圓截面二、圓軸扭轉時的變形

圓軸扭轉變形用一個橫截面相對另一個橫截面轉過的角度來度量，稱為“扭轉角”單位rad。

式中，稱為圓軸的抗扭剛度。越大，則越小，抗扭剛度反映了截面抵抗扭轉變形的能力。G為材料的切變模量。

扭轉角與軸的長度有關，為消除長度的影響，工程中常用單位長度扭轉角來度量扭轉變形的程度，即（rad/m）

把弧度換算為度，即用1rad=180°/π代入運算得（°/m）

一、強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應力。)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：§12–5

圓軸扭轉時的強度與剛度計算例12-3

機床二級齒輪減速箱中的中間軸如圖

4-50a所示。軸徑D=50mm，輪C輸入功率PC=40kW，輪A、輪B輸出功率分別為PA=23kW，PB=17kW，軸的轉速n=200r/min，許用切應力

[]=50MPa，試校核該軸的強度。

圖4-50解：（1）計算外力偶矩（2）計算扭矩。

T1=MA=1098.25Nm

T2=-MB=-811.75Nm最大轉矩Tmax=T1=1098.25Nm，發生在AC段，如圖4-50b所示。因是等截面軸，該段是危險截面。（3）校核強度該軸強度足夠。二、圓軸扭轉時的剛度計算圓軸扭轉時的剛度條件為（rad/m）或（°/m）例12-4

如圖所示。AC、BC段的扭矩

T1=1098.25Nm，

T2=-811.75

Nm，材料的切變模量

G=80GPa，許用切應力

[]=50MPa，單位長度許用扭轉角

=1°/m，試求實心圓軸的直徑d。

(2)

計算圓軸的直徑d

根據扭轉強度條件

解：（1）圓軸的最大扭矩為

Tmax=T1=1098.25Nm根據扭轉剛度條件為了同時滿足圓軸扭轉強度條件和剛度條件，圓軸的直徑圓整為d=55mm。例6-4等截面傳動軸如圖6-10a所示。已知該軸轉速n=300r/min，主動輪輸入功率PC=30kW，從動輪輸出功率PA=5kW，PB=10kW，PD=15kW。材料的切變模量G=80GPa，許用切應力[τ]=40MPa，單位長度許可轉角[θ]=1o/m。試按強度及剛度準則設計軸的直徑。MAMCMDMB圖6-10傳動軸示意圖與扭矩圖a）傳動軸示意圖

b)傳動軸的扭矩圖

MT(N·m)159N·m478N·m478N·mO解(1)計算外力偶矩。由式（6-1）得N·m=159N·m

N·m=318N·m

N·m=955N·m

N·m=478N·m

(2)畫扭矩圖。根據外力偶矩計算出各段的扭矩，畫扭矩圖如圖6-10b所示，由扭矩圖可知，MTmax=478N·m，發生在BC和CD段。

(3)按強度準則設計軸的直徑(用d1表示)。由式（6-11）得

≤[τ]

d1≥

mm=39.3mm

得6．5圓軸扭轉強度與剛度計算

(4)按剛度準則設計軸的直徑(用d2表示)。由式（6-12）得≤[θ]d2≥

mm=43.2mm

得綜合上述兩種情況，圓軸必須同時滿足強度和剛度準則，則取d=44mm。

例7-5圖示傳動軸，n=300r/min，輸入力矩MC=955N·m，輸出MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa

[]=40MPa，[]=1/m，試按強度和剛度準則設計軸的直徑。

解：1.求各段軸上的扭矩2.畫軸的扭矩圖

MAMBMCMDABCDxT-477.5kN·m477.5kN·m-159.2kN·m3.