西北工業大學2015.3第2章隨機信號與噪聲分析通信原理2023/2/42第2章隨機信號與噪聲分析－－本章是本課程的重要數學基礎。隨機過程研究內容：

2.1引言

2.2隨機過程的基本概念

2.3平穩隨機過程

2.4高斯隨機過程

2.5平穩隨機過程通過線性系統

2.6窄帶隨機過程

2.7正弦波加窄帶隨機過程

2.8高斯白噪聲和帶限白噪聲2023/2/432.1

引言通信----是在噪聲背景下信號通過通信系統的過程，分析與研究通信系統，總是離不開對信號和噪聲的分析。●隨機信號：通信系統中用于表述信息的信號不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機性。●隨機噪聲：通信中存在的各種干擾和噪聲，其波形更是隨機的、不可預測的。●隨機過程：盡管隨機信號和隨機噪聲是不可預測的、隨機的，但它們具有一定的統計規律。從統計學的觀點看，均可表示為隨機過程。隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數描述。統計學中的有關隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪聲分析中來。2023/2/442.2隨機過程的基本概念

2.2.1隨機過程的概念

考察：

假設有n臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測試其輸出。（n--足夠大的正整數）

得到一系列噪聲波形—記錄x1(t)、x2(t)、x3(t)、...、xn(t)。

結果：理想時，波形似乎應該一致，但實際不然。找不到兩個完全相同的波形！2023/2/45討論：●每一個記錄xi(t)都是一個隨機起伏的時間函數－－隨機函數。●全部隨機函數的集合－－隨機過程：

X(t)={x1(t),x2(t),…,xn(t)}●每一條曲線xi(t)都是隨機過程的一個實現/樣本－－為確定的時間函數。●在某一特定時刻t1觀察各臺接收機的輸出噪聲值xi(t1)

，發現他們的值是不同的－－是一個隨機量（隨機變量）。角度1：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。2023/2/46討論：●在任一給定時刻t1，每一樣本函數xi(t)都有一個確定的數值xi

(t1)。但在同一時刻，不同樣本的取值{xi(t1)，i=1，…，n}卻是一個隨機變量。●即，隨機過程在任意時刻t1的值X(t1)是一個隨機變量。●因此，又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。角度1：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。2023/2/47概括：

隨機過程X(t)的含義／屬性有三點：（1）X(t)是t

的函數。（2）X(t)在任一時刻t1上的取值X(t1)不是確定的，是一個隨機變量。（3）X(t)的任一實現xi(t)是一個確定函數，隨機性體現在某一樣本出現的隨機上。概率論：隨機變量分析－－分布函數、概率密度和數字特征研究內容－－隨機過程統計描述：

1.隨機過程的分布函數

2.隨機過程的數字特征2023/2/481.隨機過程的分布函數設X(t)表示一個隨機過程，它在任意時刻t1的值X(t1)是一個隨機變量，根據概率論的知識，隨機過程X(t)的----（1）隨機過程X(t)的一維描述----反映隨機過程在任一時刻取值的統計特性。

●一維分布函數

表示隨機變量X(t1)小于或等于某一數值x1的概率。

●一維概率密度函數若上式中的偏導存在的話。2023/2/49（2）隨機過程X(t)的二維描述---反映隨機過程在不同時刻取值之間的關聯程度。

●二維分布函數任意給定時刻t1

、t2，和同時成立的概率：●二維概率密度函數若上式中的偏導存在的話。2023/2/410（3）隨機過程X(t)的多維描述●n維分布函數●n維概率密度函數2023/2/411目的/意義：

●可以把隨機過程X(t)當作一個多元的隨機變量來看待，而用這個多元隨機變量[X(t1)，X(t2)，...，X(tn)]的分布函數或概率密度來描述隨機過程的統計特性。●顯然，n越大，對隨機過程的描述越充分。統計獨立:

對于任何n個隨機變量X(t1)，X(t2)，...，X(tn)，如果下式成立

fn(x1,x2,...,xn；t1,t2,...,tn)=f1(x1,t1)f1(x2,t2)...f1(xn,tn)則稱這些變量是統計獨立的，否則就是不獨立的或相關的。

意義？2023/2/4122.隨機過程的數字特征引言●問題：隨機過程的分布函數（或概率密度）族能夠完善地刻畫隨機過程的統計特性。但實際中：難；不必。●措施：用隨機過程的數字特征來描繪隨機過程的統計特性，更簡單方便。●方法：求隨機過程數字特征的方法有“統計平均”和“時間平均”兩種。統計平均：對隨機過程

X(t)某一特定時刻不同實現的可能取值X(ti)－－隨機變量

，用統計方法得出的種種平均值叫統計平均。時間平均：對隨機過程X(t)的某一特定實現xi(t)

，用數學分析方法對時間求平均得出的種種平均值叫時間平均。2023/2/413－－隨機過程在任意給定時刻t的數學期望。（1）隨機過程的數學期望（均值）隨機過程X(t)在任意給定時刻t1的取值X(t1)是一個隨機變量，其數學期望為

式中f1

(x1,t1)－X(t1)的概率密度函數。由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣2023/2/414a(t)X(t)的均值是時間的確定函數，常記作a(t)，它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心，故又常被稱為統計平均或均值。

2023/2/415（2）方差均方值均值平方方差常記為2(t)。這里也把任意時刻t1直接寫成了t

。因為 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t相對于均值a(t)的偏離程度。2023/2/416（3）相關函數與協方差－－隨機過程不同時刻取值之間的相互關系假定：X(t1)和X(t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量。（A）自相關函數－－同一隨機過程的相關程度f2(x1,x2;t1,t2)－X(t)的二維概率密度函數。可以看出，R(t1,t2)是兩個變量t1和t2的確定函數。（B）協方差函數=R(t,τ)2023/2/417相關函數和協方差函數之間的關系：●特別：若a(t)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)（C）互相關函數－－兩個不同隨機過程X(t)、Y(t)的相關程度--統計獨立時--相互正交●相應地：R(t1,t2)稱為自相關函數。●特別：2023/2/418●顯然：若aX(t)或aY(t)=0，則BXY(t1,t2)=RXY

(t1,t2)（D）互協方差函數則稱X(t)和Y(t)互不相關。●特別：若●統計獨立的兩個隨機過程是不相關的。問：統計獨立、互不相關、正交的關系。2023/2/419

2.3平穩隨機過程

2.3.1平穩隨機過程的概念

1.定義

若一個隨機過程X(t)，它的任意n維分布或概率密度函數與時間起點無關，即對于任意的正整數n和所有實數，有則稱X(t)是平穩隨機過程。2023/2/4202.性質－－該定義表明：平穩隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變。特別是：●一維分布函數與時間t無關：3.數字特征●而二維分布函數只與時間間隔

=t2–t1有關：可見：（1）其均值與t無關，為常數a；

（2）自相關函數只與時間間隔有關，為R(τ)。2023/2/421嚴平穩隨機過程的數字特征：（1）其均值與t無關，為常數a；

（2）自相關函數只與時間間隔有關。

4.廣義平穩隨機過程把同時滿足（1）和（2）的隨機過程定義為廣義平穩隨機過程。意義：●具有各態歷經性平穩隨機過程－－十分有趣，非常有用。●通信系統中所遇到的信號與噪聲，大多數可視為平穩、具有各態歷經性的隨機過程。2023/2/4222.3.2平穩隨機過程的各態歷經性●問題的提出隨機過程的數字特征（均值、相關函數）是對隨機過程的所有樣本函數的統計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本。

問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數x(t)來決定平穩過程的數字特征呢?●回答是肯定的：平穩過程在滿足一定的條件下具有一種十分有用的特性----“各態歷經性”（或稱“遍歷性”）。具有各態歷經性的過程，其數字特征（均為統計平均）完全可由隨機過程中的任一實現的時間平均值來代替。●條件？2023/2/423●各態歷經性條件設：xi(t)是平穩過程X(t)的任意一次實現（樣本），則其時間均值和時間相關函數分別定義為：如果平穩過程使下式成立則稱該平穩過程具有各態歷經性。2023/2/424●“各態歷經”的含義隨機過程中的任何一次實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態，其任一樣本都蘊含著平穩隨機過程的全部統計信息。

●各態歷經隨機過程的特點－－好處在求解各種統計平均（均值或自相關函數等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現的“時間平均”值代替過程的“統計平均”值即可，從而使測量和計算問題大為簡化。●注：具有各態歷經的隨機過程一定是平穩過程，反之不一定成立。在通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態歷經條件。2023/2/425

例2-1、2-2

設一個隨機相位的正弦波為其中，A和c均為常數；是在(0,2π)內均勻分布的隨機變量。試討論X(t)是否具有各態歷經性。【解】（1）先求X(t)的統計平均值。均值：－－與t無關2023/2/426

－－僅只與時間間隔有關。所以：X(t)是廣義平穩過程。自相關函數：令t2–t1=，得到2023/2/427結論：隨機相位正弦波是各態歷經的。（2）求X(t)的時間平均值綜上，有2023/2/4282.3.3平穩過程的自相關函數－－特別重要，因為：●平穩隨機過程的統計特性，如數字特征等，可通過相關函數來描述。●相關函數揭示了隨機過程的頻譜特性。（1）平穩過程自相關函數的定義：（2）平穩過程自相關函數的性質特別：均值為0時，有：平均功率R(0)=2—的偶函數—R()的上界，R()在

=0有最大值。—X(t)的平均功率—X(t)的直流功率—X(t)的交流功率1）2）3）4）5）2023/2/4292）---R(τ)

的上界。證：由于

從而

所以，得對性質2）、4）、5）證明如下。2023/2/4304）

----X(t)的直流功率。證：注：這里利用了當τ→∞時X(t)與X(t+τ)變得沒有依賴關系，即統計獨立，且認為X(t)不含有周期分量。5）

----方差為X(t)的交流功率。證：由證畢。2023/2/4312.3.4平穩隨機過程的功率譜密度PX(ω)

－－相關函數R(τ)的又一重要性質。

設：X(t)平穩，R(τ)絕對可積則在平穩隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具，它是聯系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。意義：平穩隨機過程的自相關函數與其功率譜密度之間互為傅里葉關系。簡記為：維納-辛欽關系2023/2/432證明：由信號與系統課程知道，對于任意確定功率信號x(t)，其功率譜密度為式中，是x(t)的短截函數xT(t)的頻譜函數。對于功率型平穩隨機過程而言，它的任一實現的功率譜密度也可以由上式確定。但一般而言，不同實現具有不同的譜密度。因此，某一實現的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是對所有實現的功率譜的統計平均，即2023/2/433我們還知道，非周期的功率型確知信號的自相關函數與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關系對平穩隨機過程同樣成立，也就是說，平穩隨機過程的功率譜密度PX(ω)與其自相關函數R(τ)也是一對傅里葉變換，即2023/2/434討論：（1）對功率譜密度進行積分，可得平穩過程的平均功率：－－從頻域的角度給出了過程平均功率的計算方法。（2）各態歷經過程的任一實現的功率譜密度等于過程的功率譜密度：即，任一實現的譜特性都能很好地表現整個過程的譜特性。【證】對各態歷經過程，有兩邊同取傅里葉變換，得此即2023/2/435【解】由例2-1已經得知隨相信號是一個平穩過程，且其相關函數為例2-3

試求隨相正弦波X(t)=Acos(ct+)的自相關函數、功率譜密度和和平均功率。又由得

功率譜密度

平均功率

2023/2/4362.4高斯隨機過程

－－通信中最重要也是最常見的過程。

2.4.1高斯過程的定義

若隨機過程X(t)的任意n維分布（n=1,2,…）均服從正態分布，則稱它為正態過程或高斯過程。

n維正態概率密度函數表示式見

式（2.4.1）～（2.4.3）

特點：高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數字特征就可以了。2023/2/437（2.4-1）

n維正態概率密度函數為（2.4-2）（2.4-3）式中，歸一化協方差矩陣的行列式歸一化協方差函數----均值、方差為行列式中元素bjk的代數余因子。

2023/2/438特別情況下，當n=1時，式（2.4-1）簡單為此即為高斯過程X(t)在時刻t1取值所得隨機變量X(t1)的一維概率密度函數，顯見其為正態的。式中，a1為X(t1)的均值，為X(t1)的方差。（2.4-4）一維時：2023/2/4392.4.2高斯過程的重要性質－－由定義可分析出（1）高斯過程若廣義平穩，則必狹義平穩。（2）高斯過程中的隨機變量X(t1)、X(t2)、X(t3)、…之間若不相關，則它們也必是統計獨立的。意義：這種情況下，隨機過程極其復雜的n維正態概率密度函數表示轉化為n個簡單的一維分布的乘積。（3）若干個高斯過程之和仍是高斯過程。－－從信號角度。（4）高斯過程經線性變換后，仍是高斯過程。－－從系統角度。（2.4.5）（2.4-1）2023/2/440

則稱x為服從正態分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量。

a－均值，2－方差。3.3.3高斯隨機變量高斯過程在任一時刻上的取值為高斯隨機變量。在分析系統抗噪聲性能時要反復用到。1.定義/概率密度函數若隨機變量x的概率密度函數可表示成●曲線：2023/2/441●性質：1）對稱于直線x=a;

2）在內單調上升，在內單調下降，且在a點處達到極大值;3）

4）a表示分布中心，表示集中的程度。一定時，……。2023/2/4422.正態分布函數（1）一般表示式這個積分不易計算，常引入誤差函數或Q函數（可查表）來表述。2023/2/443（3）用誤差函數表示

正態分布函數常表示成與誤差函數相聯系的形式。

1）誤差函數定義誤差函數：互補誤差函數：附錄B2023/2/4442）誤差函數的性質●誤差函數是遞增函數，它具有如下性質：●互補誤差函數是遞減函數，它具有如下性質：2023/2/4453）用誤差函數表示正態分布函數或：2023/2/446（2）用Q函數表示正態分布函數

Q函數定義：Q函數和erfc函數的關系：

Q函數和分布函數F(x)的關系：Q函數值也可以從查表得到。2023/2/447

2.5平穩隨機過程通過線性系統

2.5.1輸出過程的表達式

線性系統復習：

設：線性系統的沖擊響應和網絡函數分別為：h(t)、H(ω)。周知：線性系統響應y(t)等于輸入信號x(t)與沖擊響應h(t)的卷積，即：確知信號通過線性系統：2023/2/448

理解：

●上式對于確知信號是沒有問題的。

●當輸入是隨機過程X

(t)的任意一個實現時，也應成立。即，如果把x(t)看作是輸入隨機過程X(t)的某一個樣本，則y(t)將是輸出隨機過程Y(t)的一個相應的樣本。

●這一關系可以拓寬到包含所有樣本的隨機過程。即當輸入是隨機過程X(t)時，便有輸出隨機過程Y(t)。且有：

隨機信號通過線性系統：2023/2/4492.5.2輸出隨機過程

Y(t)的統計特性任務：假設X(t)為平穩隨機過程，且已知其統計特性，求Y(t)的統計特性。注：考察一個實現就夠了。假設：X(t)

－是平穩的輸入隨機過程，且 均值－aX

， 自相關函數－RX()

， 功率譜密度－PX()

；求輸出過程Y(t)的統計特性：均值、自相關函數、功率譜以及概率分布。2023/2/4501.Y(t)的均值結論：●線性系統輸出過程的均值，是輸入過程均值與系統直流增益的乘積。●輸出過程的均值與時間無關。－－與t無關。對兩邊取統計平均，有2023/2/4512.

Y(t)的相關函數根據自相關函數的定義－－僅與τ有關。綜上:

Y(t)平穩。2023/2/452由進行傅里葉變換，得3.Y(t)的功率譜密度令=-+

，代入上式，得到即結論：----2023/2/453由于已假設X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和－－輸出過程也為高斯過程。注：與輸入高斯過程相比，輸出過程的數字特征已經改變。4.Y(t)的概率分布函數結論：證：從積分原理看可以表示為：2023/2/4542.6窄帶隨機過程→窄帶過程

2.6.1窄帶隨機過程的概念

1.什么叫窄帶隨機過程？

頻譜：所占頻帶較窄，滿足Δf<<fc的隨機過程叫～。

時域：用示波器觀察，看到某個實現的波形－－幅度和相位隨機緩慢變化的近似正弦。2023/2/455問：窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?可以看出：●X(t)的統計特性由ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的統計特性確定。●若X(t)的統計特性已知，則ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的統計特性也隨之確定。2.表達式－－兩種！2023/2/4562.6.2

已知X(t)的統計特性，求ac(t)、as(t)的統計特性僅給出結論，詳細證明見教材。結論：若：X(t)是均值為0、方差為σ2、窄帶、平穩、高斯隨機過程。則：（1）ac(t)、as(t)同樣是平穩高斯隨機過程；（2）ac(t)、as(t)的均值與X(t)的相同，皆為0，即

（3）ac(t)、as(t)的方差與X(t)的相同，皆為σ2

，即（4）在同一時刻（即τ=0）上得到的ac(t)及as(t)互不相關，或說統計獨立。2023/2/4572.6.3

已知X(t)的統計特性，求ρ(t)、(t)的統計特性

僅給出結論，詳細證明見教材。結論：若：X(t)是均值為0、方差為σ2、窄帶、平穩、高斯隨機過程。則：（1）其包絡ρ(t)的一維概率密度呈瑞利分布；（2）其相位(t)的一維概率密度呈均勻分布；（3）ρ(t)與(t)統計獨立。2023/2/4582.7正弦波加窄帶高斯噪聲2.7.1合成波的表達式信號經過信道傳輸時，總會受到噪聲的干擾，通常在接收機前端設置一個BPF，用以濾除信號頻帶以外的噪聲。BPF的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形，最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波：其中：代表各種可能的已調載波信號，A、ωc、θ皆可視為確知量；是均值為0，方差為的窄帶高斯噪聲，其為窄帶高斯過程。

2023/2/459展開上式，有：其中：2023/2/4602.7.2

統計特性（1）同相分量和正交分量的統計特性結論若：n(t)均值為0、方差為σ2、窄帶平穩高斯隨機過程;θ給定。則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是窄帶平穩高斯隨機過程；（2）且－－方差相同，同于n(t)

；（3）但：E[zc(t)]=

E[zs(t)]=（4）在同一時刻（即τ=0）上得到的zc及zs互相關函數為0，即zc與zs互不相關，或說統計獨立。2023/2/461（2）合成包絡z(t)和相位(t)的統計特性可以證明：

1）隨機包絡服從廣義瑞利分布（也稱萊斯（Rice）分布）2）隨機相位分布與信道中的信噪比有關，不再是均勻分布了。圖2-7

正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡和相位分布

2023/2/462討論：正弦波加窄帶高斯噪聲的統計特性與信噪比γ有關。

●包絡：小信噪比時，接近于瑞利分布；大信噪比時，接近于高斯分布。●相位：小信噪比時，接近于均勻分布，它反映這時窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時，主要集中在有用信號相位附近。2023/2/4632.8高斯白噪聲和帶限白噪聲2.8.1白噪聲

在通信系統的抗噪聲性能分析時，常把通信信道中的噪聲源視為高斯白噪聲。

1.定義：凡功率譜密度在整個頻域內都是均勻分布的噪聲，稱