標準實用1.1 集合 集合的含義與表示集合與元素集合是由元素組成的集合通常用大寫字母A、B、C，?表示，元素常用小寫字母a、b、c，?表示。集合中元素的屬性1）確定性：一個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，絕無模棱兩可的情況。2）互異性：集合中的元素是互不相同的個體，相同的元素只能出現一次。3）無序性：集合中的元素在描述時沒有固定的先后順序。元素與集合的關系1）元素a是集合A中的元素，記做a∈A，讀作“a屬于集合A”；（2）元素a不是集合 A中的元素，記做 a?A，讀作“a不屬于集合 A”。集合相等如果構成兩個集合的元素一樣，就稱這兩個集合相等，與元素的排列順序無關。集合的分類有限集：集合中元素的個數是可數的，只含有一個元素的集合叫單元素集合；無限集：集合中元素的個數是不可數的；空集：不含有任何元素的集合，記做?.三集合的表示方法常用數集1）自然數集：又稱為非負整數集，記做N；（2）正整數集：自然數集排除 0的集合，記做 N+或N※；3）整數集：全體整數的集合，記做Z4）有理數集：全體有理數的集合，記做Q5）實數集：全體實數的集合，記做R集合的表示方法（1）自然語言法：用文字敘述的形式描述集合。如大于等于 2且小于等于 8的偶數構成的集合。（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ｛｝”括起來表示集合的方法，一般適用于元文檔大全標準實用素個數不多的有限集，簡單、明了，能夠一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事項：①元素間用逗號隔開；②元素不能重復；③元素之間不用考慮先后順序；④元素較多且有規律的集合的表示：｛0,1,2,3 ，?，100｝表示不大于 100的自然數構成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛ x∈I |p(x) ｝.注意事項：①寫清楚該集合中元素的代號；②說明該集合中元素的性質；③不能出現未被說明的字母；④多層描述時，應當準確使用“且”、“或”；⑤所有描述的容都要寫在集合符號；⑥語句力求簡明、準確。4）圖示法：主要包括Venn圖（韋恩圖）、數軸上的區間等。韋恩圖法：畫一條封閉的曲線，用它的部來表示一個集合的方法，常用于直觀表示集合間的關系。列舉法和描述法之間的相互轉換1）列舉法轉換為描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法來表示。2）描述法轉換為列舉法：一般為方程的解集、特殊不等式的解集等。【隨堂練一練】一選擇題1.下列每組對象可構成一個集合的是（）（A）中國漂亮的工藝品（B）與1非常接近的數（C）高一數學第一的所有難題（D）不等式2x+3＞1的解2.下列說確的是（）（A）｛1,2｝，｛2,1｝是兩個不同的集合（B）0與｛0｝表示同一個集合（C）{x∈Q|b∈??}是有限集（D）{x|x∈Q且x2+x+2=0}是空集x3.已知a=√3，A={x|x≥√2}，則（）（A）a?A（B）a∈A（C）{a}=A（D）a?{a}4.已知集合S中含有三個元素且為△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是（）（A）銳角三角形（B）直角三角形（C）鈍角三角形（D）等腰三角形5.下列各組集合中，表示同一集合的是（）（A）M={(3,2)},N={(2,3)}（B）M={2,3},N={3,2}（C）M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}（D）M={(3,2)},N={(2,4)}6.用列舉法表示集合{x|x2-3x+2=0}為（）文檔大全標準實用（A）{(1,2)}（B）{(2,1)}（C）{1,2}（D）{x2-3x+2=0}7.由大于-3且小于11的偶數組成的集合是（）（A）{x|-3<??<11，x∈??}（B）{x|-3<??<11}（C）{x|-3<??<11，x=2k，k∈??}（D）{x|-3<??<11，x=2k，k∈??}8.設a，b都是非零實數，c＞0，y=abc|a|+|b|+|c|可能取的值組成的集合為（）（A）{3}（B）{3,2,1}（C）{3,1，-1}（D）{3，-1}二填空題9.233個元素。由實數x，-x，√x，-√x所組成的集合里最多有10.用列舉法表示集合A={x|x∈??，8∈??}=6-x11.集合{1,a,b}與{-1,-b,1}是同一集合，則a=b=用符號“∈”“?”填空：（1）0??,√2Z3√2{x|x>4}+（2）5{x|x=n2+1，x∈??+}（-1,1）{y|y=x2}（-1,1）{(x,y)|y=x2}三解答題13.已知M={2,a,b},N={2a,a,b2},且M=N，試求a和b的值.14.已知集合M={-2，3x2+3x-4，x2+x-4}，若2∈M，求x.15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.若A是單元素集合，求a的值及集合A. 集合間的基本關系一子集子集定義的三種語言①文字語言：對于兩個集合 A和B，如果集合 A中的任何一個元素都是集合 B的元素，則稱集合 A是集合B的子集，記作A?B（或A?B），讀作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。②符號語言：對于任意a∈A，都有a∈B，則稱集合A是集合B的子集。③圖形語言：Venn圖若集合A是集合B的子集，可用右圖來表示兩個 B A集合之間的關系。★任何一個集合是它本身的子集。文檔大全標準實用集合相等如果集合 A中的任何一個元素都是集合 B中的元素，同時集合 B中的任何一個元素都是集合 A中的元素，則稱集合 A等于集合 B，記作A=B。（A?B且B?A?A=B）真子集如果集合 A是集合B的子集，并且 B中至少有一個元素不屬于 A，則稱集合 A為集合B的真子集，記作B或BA（若A?B，且A≠B，則集合A是集合B的真子集）子集的性質A?A，即任何一個集合都是它本身的子集②如果A?B，B?A，那么A=B③如果A?B，B?C，那么A?C④如果A B，B C，那么A C二空集不含任何元素的集合叫做空集，記作?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.{0} 、0、?與{?}之間的關系0 ≠{0}≠?≠{?} 0 ∈{0} ??{0} ?∈{?} ??{?}三有限集合的子集的個數1.n個元素的集合有2n個子集2.n個元素的集合有2n-1個真子集3.n個元素的集合有2n-1個非空子集4.n個元素的集合有2n-2個非空真子集【隨堂練一練】一選擇題1. 下列命題中，正確的有 （ ）①空集是任何集合的真子集②若A B，B C，則A C③任何一個集合均有兩個或兩個以上的真子集④如果凡不屬于 B的元素也不屬于 A，則A?B文檔大全標準實用（A）①②（B）②③（C）②④（D）③④2.集合M={1,2,3}的真子集的個數是（）（A）6（B）7（C）8（D）93.已知{1,2}?M{1,2,3,4}，則符合條件的集合M的個數是（）（A）3（B）4（C）6（D）84.已知M={y∈??|??=|??|}，N={x∈??|x=N2}，則下列關系中正確的是（）（A）NM（B）M=N（C）M≠N（D）MN5.下列六個關系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?={?}；④{0}=?；⑤?{0}；⑥0∈{0}，其中正確的個數是 （ ）（A）1 （B）3 （C）4 （D）6二填空題已知集合{2x,x2-x}有且只有4個子集，則實數x的取值圍為7.設A={x|1<??<2}，B={x|x-a<0}，若AB，則a的取值圍為8.若集合A={x2+ax+3=0}為空集，則實數a的取值圍為三解答題A9.設集合A={1,2,3},B={x|x?A},求集合B.10.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+m-1=0}，若B?A，數m的取值圍.11.設集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B，數a、b的值. 集合的基本運算一并集1. 并集定義的三種語言①文字語言：由所有屬于集合 A或屬于集合 B的元素組成的集合叫做 A和B的并集，記作 A∪B.②符號語言：A∪B={x|x∈A，或x∈B}③圖形語言：Venn圖B A B A B A文檔大全標準實用“或”的含義：有三種情況：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B并集不是兩個集合所有元素的簡單拼湊，必須要滿足集合元素的互異性，相同元素只能出現一次。并集的運算性質：①A?(A?B)； ②B?(A?B)； ③A?A =A； ④A?? =A；⑤A∪B=B∪A； ⑥(A∪B)?B? A?B ⑦(A∪B)?A? B?A二交集1.交集定義的三種語言①文字語言：由屬于集合 A且屬于集合 B的所有元素組成的集合叫做 A和B的交集，記作A∩B.②符號語言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.③圖形語言：Venn圖B AAB2.“所有”的含義：A∩B中的任一元素都是A和B的公共元素，A和B的公共元素都屬于A∩B.3.當A和B沒有公共元素時，不能說A和B沒有交集，而是A∩B=?4.交集的運算性質：①(A∩B)?A；②(A∩B)?B；③A∩A=A；④A∩?=?；⑤A?B=B?A；⑥A?B=B?A?B；⑦A?B=A?B?A三補集1.全集：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，就稱這個集合為全集，一般用字母U表示。全集是相對的，因研究問題而異。補集定義的三種語言：①文字語言：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集。②符號語言:?uA={x|x∈U，且x?A}U③圖形語言：Venn圖3.AA補集是相對于全集存在的，研究一個集合的補集之前?u一定要明確其所對應的全集。4.若x∈U，則x∈A和x∈?uA二者必居其一。文檔大全標準實用補集運算性質：①A∪(?uA)=U；②A∩?uA=?；③??uA(A∪B)A∩?uB；⑤?(A∩B)A∪?uBU=A；④?=?uU=?uU【隨堂練一練】一選擇題1.已知集合A={x|(x-1)?(x+2)=0}，集合B={x|(x+2)?(x-3)=0}，則集合A∪B是（）（A）{-1,2,3}（B）{-1,-2,3}（C）{1,-2,3}（D）{1,-2,-3}2.設集合M={|})m∈??-3<??<2,N={n∈??|-1≤n≤3}，則M∩N=(（A）{0,1}（B）{-1,0,1}（C）{0,1,2}（D）{-1,0,1,2}3.若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x}，則滿足條件的實數x有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個4.已知集合M={y|y=x2+1，x∈??}，N={y|y=x+1，x∈??}，則M∩N等于（）（A）(0,1),(1,2)（B）{(0,1),(1,2)}（C）{y|y=1或y=2}（D）{y|y≥1}5.已知全集U={2,5,8}，且?UA={2},則集合A的真子集的個數為（）（A）3（B）4（C）5（D）66.已知全集U={2,3,5}，集合A={2，|a-5|}，若?UA={3}，則a的值為（）（A）0（B）10（C）0