2023學年高一年級數學導學案（42023學年高一年級數學導學案（49）班級姓名學號編寫：侯國會審閱：平面向量基本定理2．在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量．3．會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題．學習重點：會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題學習難點：會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題一．知識導學1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個向量，那么對于這一平面內的向量a，實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示這一平面內向量的一組基底．2．兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個向量a和b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．①范圍：向量a與b的夾角的范圍是．②當θ＝0°時，a與b．③當θ＝180°時，a與b．(2)垂直：如果a與b的夾角是90°，則稱a與b垂直，記作______.二．探究與發現【探究點一】平面向量基本定理的提出(1)平面內的任何向量都能用這個平面內兩個不共線的向量來表示．如圖所示，e1，e2是兩個不共線的向量，試用e1，e2表示向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(GH,\s\up16(→))，eq\o(HG,\s\up16(→))，a.通過觀察，可得：eq\o(AB,\s\up16(→))＝_________，eq\o(CD,\s\up16(→))＝_________，eq\o(EF,\s\up16(→))＝_________，eq\o(GH,\s\up16(→))＝_____________，eq\o(HG,\s\up16(→))＝___________，a＝______.(2)平面向量基本定理的內容是什么？什么叫基底？【探究點二】平面向量基本定理的證明(1)證明定理中λ1，λ2的存在性．如圖，e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，請通過作圖探究a與e1、e2之間的關系(2)證明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在實數λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，證明λ1，λ2是唯一確定的．(提示：利用反證法)【探究點三】向量的夾角(1)已知a、b是兩個非零向量，過點O作出它們的夾角θ.(2)兩個非零向量夾角的范圍是怎樣規定的？確定兩個向量夾角時，要注意什么事項？(3)在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角：a．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝；b．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；c．〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；d．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))〉＝.【典型例題】例1已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.跟蹤訓練1如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知eq\o(AM,\s\up16(→))＝c，eq\o(AN,\s\up16(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→)).例2如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，試用a、b表示eq\o(DC,\s\up16(→))、eq\o(BC,\s\up16(→))、eq\o(MN,\s\up16(→)).跟蹤訓練2如圖，已知△ABC中，D為BC的中點，E，F為BC的三等分點，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a、b表示eq\o(AD,\s\up16(→))、eq\o(AE,\s\up16(→))、eq\o(AF,\s\up16(→)).例3在△OAB中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))，AD與BC交于點M，設eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以a，b為基底表示eq\o(OM,\s\up16(→)).跟蹤訓練3如圖所示，已知△AOB中，點C是以A為中心的點B的對稱點，eq\o(OD,\s\up16(→))＝2eq\o(DB,\s\up16(→))，DC和OA交于點E，設eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up16(→))、eq\o(DC,\s\up16(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))，求實數λ的值．三、鞏固訓練1．等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(BC,\s\up16(→))的夾角是 ()A．30° B．45°C．60° D．120°2．設e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內所有向量的一組基底的序號是________．(寫出所有滿足條件的序號)3．如圖，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(BD,\s\up16(→))＝3eq\o(DC,\s\up16(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up16(→))，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝________.4．已知G為△ABC的重心，設eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b.試用a、b表示向量eq\o(AG,\s\up16(→)).四．課堂小結1．對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件．(2)零向量與