簡單的三角恒等變換（2）一、教學目標重點:運用三角恒等變換化簡函數表達式，分析其有關性質，以及解數學應用問題的思路、步驟和方法.難點：利用三角恒等變換化簡函數表達式，以及如何科學的把實際問題轉化成數學問題，如何選擇自變量建立數學關系式．知識點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數式并利用三角函數的相關性質求值.能力點：由特殊到一般,由具體到抽象,不斷提升學生的探究能力和數學思維能力.自主探究點：如何選擇三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數式.考試點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數式,并求解化簡后的三角函數的相關性質.易錯易混點：對于求解化簡后的三角函數的相關性質時,學生易出現計算上的錯誤.拓展點：從具體問題中抽象出解決三角恒等變換和求解最值的一般性方法.二、引入新課同學們，在第一章我們學習了正弦函數的圖像、誘導公式及周期性、單調性、奇偶性、最值等一系列性質.這部分知識學習的時間較長了,可能有些同學已經忘了,那么我們一起復習一下.【設計意圖】通過復習加深對正弦函數相關性質的理解,為更好的解決課本例3打下知識的基礎.對于相關性質通過復習我們已經熟悉了,那么對于的周期性、單調性、奇偶性、最值等一系列性質,我們怎樣求解呢?這就是我們這節課的主要任務.【設計意圖】開篇點題，明確本節課的教學重點.三、探究新知例1已知,求該函數的周期，最大值和最小值.分析：不是正弦函數的標準式，那么第一步我們應先把其化為標準式,才能利用正弦函數的相關性質去求解.如何進行恒等變形這是關鍵.通過配湊系數我們可以利用兩角和與差的正余弦公式去化簡.即:或所以,所求函數的周期是,最大值是,最小值是.【設計意圖】本題是三角變換的重要問題，先對三角函數式進行三角恒等變換，化簡成的形式.主要培養學生靈活運用公式，熟練進行三角恒等變換的能力.思考：如果上述題目中的自變量的范圍變為，如何求函數的最大值和最小值？分析：結合三角函數的圖像與性質，要求在上的最值,關鍵求的范圍.具體求解如下:由,得.又由正弦函數的圖像與性質可得:,所以,,,最大值為,最小值為.【設計意圖】主要是使學生掌握求有定義域限制的三角函數式最值的方法,明白求最值時,必須先考慮自變量的取值范圍,這一過程也可以用換元法.師生共同探究:對于怎么進行三角恒等變換呢，是否有一般性的方法呢?分析:結合所學我們要想解決好此類問題,關鍵要充分利用同角三角函數的基本關系進行解決,這里要引入一個輔助角,這個輔助角在內是唯一確定的,必須寫出輔助角的正弦值和余弦值.即:.其中.注：上述變形方法是解決合角問題的一般性方法.這里輔助角的引入既是重點又是難點,教師在具體的教學過程中要根據學生的情況進行引入、解釋.【設計意圖】總結解決合角問題的一般性方法,便于學生更好的解決問題.ODQABPC例2如圖,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形弧上的動點,是扇形的內接矩形.記,求角取何值時,矩形的面積最大?并求這個最大面積.ODQABPC分析：要求當角取何值時，矩形的面積最大，可以這樣去解決：第一:首先根據已知條件找出與的函數關系;第二:有函數關系及角取值范圍,求的最大值.我們一起先完成第一步:在中,,.在中,,所以,,所以,.設矩形的面積為,則.對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:由,得.所以當,即時,因此,當時,矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應用問題轉化為數學問題，最后要回歸到實際問題.【設計意圖】讓學生了解三角函數在實際問題中的應用,培養學生自主探究,獨立思考的數學品質,掌握解決實際問題的思路和方法,學會思考問題、分析問題和解決問題.思考：若上述條件去掉記“”，結論改成“求矩形的最大面積”，還有其它解決方法嗎？分析:我們可設,根據已知條件可得,則轉換成函數在某區間求最值問題,但目前此函數還解決不了.【設計意圖】盡管對所得函數還暫時無法求最大值,但能促進學生對函數模型多樣性的理解,并能在對比中使學生感受到以角為自變量的優點.師生共同總結解決問題的一般性方法:(1)根據已知條件,選擇變量并確定變量的取值范圍;(2)建立所求值與變量的函數關系;(3)在變量所取值的范圍內(體現實際問題的實際意義)求解函數的最值;(4)把計算結果回歸到實際問題.【設計意圖】總結用三角函數解決實際問題的一般步驟,便于學生更好的解決問題.四、理解新知：1、對于變形應注意的問題:(1)常數應為不同時為零的實數,即.(2)輔助角滿足,在唯一確定的,若把滿足的條件只寫成,這導致在內可能有兩個值,其中一個值是增根,應根據的符號進行取舍.2、對于合角后,求三角函數在某一區間上的最值應先清楚的取值范圍,下一步可以利用換元法,也可以直接求解.3、三角變換的基本思想：⑴降冪(化次數較高的三角函數為次數較低的三角函數，一般運用公式，，這必然會引起角的倍數的增大(單角化為倍角)；⑵統一函數名稱(化多種三角函數為單一的三角函數)；⑶統一角(化多角為單一角，減少角的種類)．五、運用新知1、求函數的周期、最大值和最小值.分析：根據已知條件要想求相關性質應先把上式進行合角,因此應先借助于平方關系與二倍角公式對降冪,然后引入輔助角.解：由題意可得所以,所求函數的周期為,最大值為，最小值為.注:引入輔助角“”是進行三角變換的關鍵.另外,降冪化簡也是常用的一種變換.【設計意圖】引用此例題是讓學生進一步鞏固三角函數的恒等變換的思路和方法,提高學生的邏輯推理和應變能力.變式訓練1:已知函數求函數的最小正周期；求函數在區間上的最大值和最小值.分析:觀察的形式,各自展開為相加后可以進一步化簡,而是標準的二倍角余弦公式.解:所以的最小正周期為；由則所以即:函數在區間上的最大值為和最小值為.【設計意圖】引入此例題一是讓學生進一步熟練恒等變換;二是明確合角情況的多變性.2、如圖,四邊形是一個邊長為100米的正方形地皮,其中是一半徑為90米的扇形小山,其余部分都是平地,是弧上一點，現有一位開發商想在平地上建造一個兩邊落在與上的長方形停車場.求長方形停車場面積的最大值和最小值.分析:要想求停車場面積的最值,首先應建立長方形面積的函數關系式,而建立關系式的關鍵是選取自變量.結合本題具體情況可設,則,這時此法易列式但不好求.因此不妨設作為自變量,然后延長交與,則,則.解：設延長交與,AMTAMTBSDRCQP,則設所以，當時,有最小值950.當時,有最大值.即.長方形停車場面積的最大值為,最小值為950.【設計意圖】本變式訓練是進一步鞏固三角函數的性質在實際生活中的應用,在講解時應注重自然語言與數學語言的結合.解決此類問題的關鍵是構建函數模型,首先應選準角作為自變量,其次要明確角的范圍,利用三角函數恒等變換求解.六、課堂小結1．知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進行合角,借助三角函數的相關性質求值.其中三角函數最值問題是對三角函數的概念、圖像和性質,以及誘導公式、同角三角函數基本關系、和(差)角公式的綜合應用,也是函數思想的具體體現.如何科學的把實際問題轉化成數學問題,如何選擇自變量建立數學關系式;求解三角函數在某一區間的最值問題．2．思想：本節課通過由特殊到一般方式把關系式化成的形式，可以很好地培養學生探究、歸納、類比的能力.通過探究如何選擇自變量建立數學關系式，可以很好地培養學生分析問題、解決問題的能力和應用意識，進一步培養學生的建模意識．【師生活動】在總結中引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師最后總結、板書.【設計意圖】讓學生自己小結，不僅能總結知識更重要地是總結數學思想方法.這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程,這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣.七、布置作業必做題：1.設,,滿足求函數在的最大值和最小值.2.如圖，在一塊半徑為的半圓形的鐵板中截取一個內接矩形，使其一邊落在圓的直徑上，問應該怎樣截取，能使矩形的面積最大？并求出這個矩形的最大面積。選做題：1.已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調減區間；(2)若在上恒成立,求實數的取值范圍.2.某公司位于兩條大道之間的處,且到兩道的距離分別為.今公司想在兩道上分別設置一個產品銷售點和,使,試問如何設置使的面積最小?此時最小值為多少?EECDBA【設計意圖】設置必做題的目的是引導學生先復習，再作業，鞏固學習效果,同時進一步培養學生良好的學習習慣；設置選做題是鼓勵學有余力的同學進一步加深本節內容的理解．八、教后反思1.本節課的亮點：教學過程中教師引導啟發學生通過課本中的例3為出發點，研究函數的恒等變換問題(主要是拆、合角)，從中發現規律，并推廣到一般情況.這個過程中既讓學生獲得了關于新知的內容，更可貴的是讓學生體會到如何研究一個新問題，即探究方法的體驗與感知.同時也滲透了歸納、類比推理的數學思想方法,培養了