§1坐標系與坐標變換§2圖形的裁剪技術§3圖形的幾何變換§4CAD/CAM中圖形的生成方法§5交互技術和圖形標準第三章計算機圖形處理技術3.1計算機圖形學基礎知識坐標系分類3.1計算機圖形學基礎知識模型坐標系（造型坐標系MCS）：（ModelingCoordinateSystem）右手坐標系，是用來描述世界坐標系中每個具體物體的形狀，當物體的空間位置發生變化時，由造型坐標系定義的物體上的各點的坐標值不變，也稱工作坐標系。

圖a圖b3.1計算機圖形學基礎知識世界坐標系(WC)：世界坐標系（也稱用戶坐標系）是用戶用于定義所有物體的統一參考坐標系，它在計算過程中始終保持唯一性。物體從模型坐標下經幾何變換到世界坐標系稱模型變換。zxynvuWCVRC用于定義整圖或最高層次圖形結構，各子圖、圖元都放在wc的適當位置。世界坐標系與造型坐標系是整體與局部的關系，造型坐標系也稱為局部坐標系，世界坐標系也稱為整體坐標系。3.1計算機圖形學基礎知識觀察坐標系（VCS）：符合右手定則的直角坐標系作用：（1）用于指定裁剪空間，確定物體要顯示輸出的部分；（2）是通過在觀察坐標系中定義觀察平面，把三維物體的世界坐標變換為規格化設備坐標。3.1計算機圖形學基礎知識設備坐標系（DCS）：圖形輸出設備（如顯示器、繪圖機）自身都有一個坐標系，稱為設備坐標系或物理坐標系。設備坐標系是一個二維平面坐標系，用于在圖形設備上定義圖形或窗口的位置，它的度量單位是步長（繪圖機）或像素（顯示器）。定義域是整數域且是有界的。3.1計算機圖形學基礎知識規格化設備坐標系（NDCS）：由于不同的圖形設備具有不同的設備坐標系，且不同設備間坐標范圍也不盡相同，為了避免由于設備坐標系與設備的相關性影響應用程序的可移植性，引入與設備無關的規格化的設備坐標系，規格化的設備坐標系的取值范圍是左下角（0.0,0.0）用戶的圖形數據經轉換成規格化設備坐標系后，使應用程序與圖形設備隔離開，增強了應用程序的可移植性。觀察坐標系規格化設備坐標系設備坐標系3.1計算機圖形學基礎知識坐標系3.1計算機圖形學基礎知識窗口與視區1、窗口(Windows)

用戶坐標系中的一個矩形區域，可以用其左下角點和右上角點坐標來表示。只有在這個區域內的圖形才能在設備坐標系下顯示輸出，其余的將被裁剪掉。窗口可以嵌套，即在第一層窗口中再定義第二層窗口，在第n層窗口中再定義第n+1層窗口，在各種CAD系統中經常用到的框選放大操作就是窗口技術的典型應用。2、視區(Viewport)

設備坐標系中的一個矩形區域，在圖形設備上用來輸出圖形的最大區域稱之為屏幕域，它是有限的整數域，任何小于或等于屏幕域的區域都可定義為視區。視區由用戶在屏幕域中用設備坐標定義，一般也由左下角點和右上角點坐標來表示，同樣視區也可以是多層的。而且，在同一屏幕還可以定義多個視區。3.1計算機圖形學基礎知識通過變換可以把窗口中的圖形和視區中的圖形一一對應起來。輸出圖形：用戶坐標系設備坐標系（窗口坐標）（視區坐標）輸入圖形：設備坐標系用戶坐標系（視區坐標）（窗口坐標）3.1計算機圖形學基礎知識3.1計算機圖形學基礎知識窗口與視區的變換3.1計算機圖形學基礎知識窗口與視區的變換3.1計算機圖形學基礎知識窗口與視區的變換3.1計算機圖形學基礎知識二維圖形的輸出過程三維形體的輸出過程3.1計算機圖形學基礎知識注意：1、當視區不變時，窗口尺寸縮小則視區圖形尺寸變大，窗口尺寸變大則視區顯示尺寸變小。

窗口視區窗口

3.1計算機圖形學基礎知識2、當窗口尺寸不變時，視區的尺寸變化與視區內顯示圖形的尺寸變化一致。窗口

視區視區3.1計算機圖形學基礎知識3、如果視區的縱橫比與窗口的縱橫比不一致時，經變換后的圖形在視區中輸出時會產生失真現象，因此在定義窗口和視區時，要保證它們的縱橫比一致。窗口

視區視區3.1計算機圖形學基礎知識窗口和視區的關系：①窗口定義在用戶坐標系中；視區定義在設備坐標系中。②窗口能定義一個、數個、嵌套；視區的個數由窗口個數決定，以保證一一對應關系。③窗口能進行移動、放大、縮小、旋轉等幾何變換；視區一般不能進行幾何變換。3.1計算機圖形學基礎知識結論：①當視區大小不變時，窗口縮小或放大時，則顯示的圖形會相反地放大或縮小。②當窗口大小不變時，視區縮小或放大時，則顯示的圖形會跟隨縮小或放大。③當窗口與視區大小相同時，則顯示的圖形大小比例不變。 ④若視區縱橫比不等于窗口的縱橫比時，則顯示的圖形會有伸縮變形。

3.2圖形的裁剪技術確定圖形中哪些部分落在顯示區之內,以便顯示落在顯示區內的那部分圖形，這個選擇過程稱為裁剪。只有窗口內的物體才能顯示出來。因此，窗口之外的物體都是不可見的，可以不參加標準化轉換及隨后的顯示操作，節約處理時間。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物體的一種操作。3.2圖形的裁剪技術點與字符的裁剪

點的裁剪比較簡單，當圖形系統的窗口確定之后，設被裁剪的點的坐標為（x，y），則只有當該點的坐標滿足下式

該點才位于窗口之內，并經過窗口-視圖變換后送視區中顯示，否則該點位于窗口之外而被舍去。3.2圖形的裁剪技術

字符的裁剪，根據裁剪精度不同，可分為三種情況。（1）字串裁剪用一個限界矩形來包含整個文本字符串，判斷該限界矩形是否全部位于裁剪窗口的內部，如果是，則字符串全部保留，如果不是，則字符串全部不可見。這是字符裁剪的最簡單方法，裁剪速度最快，但精度最低。

（2）字裁剪類似于串裁剪，但限界矩形以單個字符為單位。（3）筆劃裁剪通過把一個字符看成一系列短筆劃的集合，使字符的裁剪歸結為對組成這些字符的筆劃的裁剪，必須逐條直線的進行。此種方法可以精確地刪除字符在窗口外的部分，如實地反映了字符的裁剪結果，優點是裁剪精度最高，缺點是裁剪過程比較復雜。字裁剪筆劃裁剪3.2圖形的裁剪技術二維直線段裁剪

線段與窗口的位置關系有如下幾種情況（1）直線段兩個端點在窗口內；（2）直線段兩個端點在窗口外，且與窗口不相交；（3）直線段兩個端點在窗口外，且與窗口相交；（4）直線段一個端點在窗口內，一個端點在窗口外。從圖中我們可以看出，不同位置的線段被窗口邊界分成一段或幾段，但其中只有一段落在窗口內，如何找出落在窗口內線段的起點和終點坐標是關鍵。常用的算法有矢量裁剪法、編碼裁剪法、中點分割法。編碼裁剪法：定義編碼狀態表1、第一位：端點在窗口左邊界代碼為1，否則為02、第二位：端點在窗口右邊界代碼為1，否則為03、第三位：端點在窗口下邊界代碼為1，否則為04、第四位：端點在窗口上邊界代碼為1，否則為03.2圖形的裁剪技術3.2圖形的裁剪技術（1）直線段的兩個端點按其所在區域被賦予相應代碼，稱為端點狀態代碼。

（2）測試直線段的端點狀態，當兩端點狀態代碼都為零，說明該線段完全位于窗口之內；當兩端點的狀態代碼的位邏輯“與”不為零，說明線段位于窗外同一側。（3）不能通過上述測試的線段，再求它與窗口邊界（或邊界的延長線）的有效交點，它將線段分割成兩個子段，用上述兩個條件對這兩個子段進行測試，舍棄位于窗外的一段，而對剩余部分再次賦給交點處的端點狀態代碼，再次測試，再次求交，直至能判斷出裁剪剩余部分直線段是否位于窗口內或在窗外。

3.2圖形的裁剪技術abdec中點分割法：基本思想：分別尋找直線段兩個端點各自對應的最遠的可見點，兩個可見點之間的連線即為要輸出的可見線段。①

判斷直線段是否全部在窗口外，若是則結束，否則②；②判斷點是否可見，若是則即為距點最遠的可見點（b線段）返回，否則③；③將直線段對分，中點為，如果全部在窗口外（d線段），則用代替，否則以代替（e線段），對新的線段從①

開始；重復上述過程，直到的長度小于給定的誤差，即認為已與窗口的一個邊界相交為止。上述過程找到了距點最遠的可見點，把兩個端點對調，重復上述步驟，即可找到距點最遠的可見點，連接兩點，即為要輸出的可見段。3.2圖形的裁剪技術多邊形裁剪逐邊裁剪法、雙邊裁剪法、分區判斷求交法、凸包矩形判別法、邊界分割法等。逐邊裁剪法原理：先用窗口的一條邊界對多邊形進行裁剪，保留裁剪后位于該邊界窗口內的部分圖形，合并外部區域的圖形，得到一個或若干個新的封閉圖形，當用窗口的第一條邊界處理完后，再用第二條邊界對新生成的多邊形進行裁剪，如此下去，直至窗口的四條邊界都裁剪完畢。3.3圖形的幾何變換3.3.1圖形變換的方法構成圖形的基本要素及其表示方法3.3圖形的幾何變換

設有圖形A，經過某種變換后得到的新圖形為B，則有：其中，B為變換后圖形矩陣，T稱為變換矩陣，是用來對原圖形施行坐標變換的工具。這里[x’,y’]為變換后點的坐標，[x,y]為變換前點的坐標，變換矩陣中a,b,c,d的不同取值，可以實現各種不同變換，從而達到對圖形進行變換的目的。3.3圖形的幾何變換二維基本變換比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換、平移變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換在變換矩陣中，令b=c=0，則為比例變換矩陣

其中a，d分別為x，y方向上的比例因子比例變換3.3圖形的幾何變換對稱變換3.3圖形的幾何變換對稱變換對原點的對稱變換:3.3圖形的幾何變換對稱變換對x軸對稱:對y軸對稱:對y=-x對稱:對y=x對稱:3.3圖形的幾何變換對稱變換3.3圖形的幾何變換旋轉變換

在二維空間里，我們作如下規定：圖形的旋轉是指繞坐標系原點旋轉θ角，且逆時針為正，順時針為負，變換矩陣為3.3圖形的幾何變換旋轉變換

對字母T進行旋轉變換（旋轉60°)3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換平移變換

這里△x，△y是平移量，應為常數，但是應用上述變換矩陣對點進行變換

而這里的cy，bx均非常量，因此用原來的2×2的變換矩陣是無法實現平移變換。

上述四種變換都可以通過變換矩陣

來實現，但是，若實現平移變換，變換前后的坐標必須滿足下面的關系3.3圖形的幾何變換平移變換將變換矩陣增加一行一列，實施對點進行平移變換3.3圖形的幾何變換齊次坐標

在平移變換中，我們將[xy]擴充為[xy1]實際上是由二維向量變為三維向量。這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標法。進一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標法。所謂齊次坐標就是用n+1維向量表示n維向量得到的坐標。對齊次坐標進行坐標變換稱為齊次變換，相應的變換矩陣稱為齊次變換矩陣。設三維空間點P的坐標為(x,y,z)，它是唯一的。若用齊次坐標表示時，則為(hx,hy,hz,h)，且不唯一。3.3圖形的幾何變換齊次坐標的幾何意義

將Oxy坐標系增加一與x軸和y軸正交的w軸。在w=1的平面上有點P1(x,y,1),則當w由0變化到無窮時，齊次坐標Pw(xw,yw,w)將處在由OP1定義的射線OQ上。二維坐標則是該射線在w＝1平面上的交點,

有

二維齊次變換表示了在w=1平面上點的坐標變換，即P1到P1*的坐標變換3.3圖形的幾何變換齊次坐標的特點當w=0時，齊次坐標可用來表示無窮遠的點將圖形處理中的各種變換用統一的方式來處理如二維圖形變換矩陣的一般表達式：齊次變換矩陣通常是非奇異矩陣。當該矩陣奇異時，detA=0，坐標經變換后維數將降低，如三維坐標在二維平面上的投影變換等。3.3圖形的幾何變換二維齊次變換矩陣

其中2×2階矩陣可以實現圖形的比例、對稱、錯切、旋轉等基本變換；1×2階矩陣可以實現圖形的平移變換；2×1階矩陣可以實現圖形的透視變換，而[s]可以實現圖形的全比例變換。3.3圖形的幾何變換小結3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換

上述的幾種變換可用統一的變換矩陣形式來實現，稱之基本變換。但有些變換僅用一次基本變換是不夠的，必須由兩次或多次基本變換組合才能實現。這種由多種基本變換組合而成的變換稱之為組合變換，相應的變換矩陣叫做組合變換矩陣。設坐標P經過n次變換T1,T2,…,Tn到P*，則變換結果為：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn為總的變換矩陣，組合變換的目的是將一個變換序列表示為一個變換矩陣。

3.3圖形的幾何變換二維組合變換平面圖形繞任意點P(x,y)旋轉θ角，需要通過以下幾個步驟來實現：(1)將旋轉中心平移到原點;(2)將圖形繞坐標系原點旋轉θ角;(3)將旋轉中心平移回到原來位置。3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換組合變換順序對圖形的影響復雜變換是通過基本變換的組合而成的，由于矩陣的乘法不適用于交換律，即：[A][B]≠[B][A]因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結果亦不同，如圖所示。3.3圖形的幾何變換3.3.2三維圖形變換三維圖形的變換是二維圖形變換的簡單擴展，變換的原理還是把齊次坐標點(x,y,z,1)通過變換矩陣變換成新的齊次坐標點(x’,y’,z’,1)，即其中T為三維基本(齊次)變換矩陣：T＝3.3圖形的幾何變換齊次變換矩陣：平移縮放旋轉錯切透視變換整體縮放3.3圖形的幾何變換比例和對稱變換一般情況，sx,sy,sz＞0，圖形沿三個坐標軸方向作放縮變換；當sx=1,sy=sz=-1時，圖形相對于x軸中心對稱，其余類推;當sx＝-1,sy=sz=1時，圖形相對于yOz平面對稱，其余類推;當sx=sy=sz=-1時，圖形相對于原點中心對稱。3.3圖形的幾何變換整體縮放得到：左邊同乘s3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換平移變換3.3圖形的幾何變換旋轉變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換若d、h不為零，則沿著x軸方向有錯切若b、i不為零，則沿著y軸方向有錯切若c、f不為零，則沿著z軸方向有錯切b、c是關于變量x的錯切d、f是關于變量y的錯切h、i是關于變量z的錯切3.3圖形的幾何變換三維組合變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換例：簡單幾何體的圖形變換式中：T為所要進行的圖形變換矩陣

假定一六面體ABCDEFGH各點的坐標分別為（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，則經過圖形變換后的坐標為：3.3圖形的幾何變換3.3.3投影變換將三維圖形向二維平面上投影生成二維圖形表示的過程稱為投影變換。根據視點的遠近，投影分為平行投影和透視投影。當投影中心(觀察點)與投影平面之間的距離為無窮遠時，為平行投影，否則為透視投影。透視投影的圖形與眼睛觀察景物的原理及效果是一致的，因而常用于圖形的真實效果顯示。由于平行投影后直線間的平行關系不變，因而它常用于三維圖形交互和生成工程圖的視圖。3.3