1第二章控制系統的數學模型本章難點及基本要求：能利用學過的各方面知識建立簡單數學模型。熟練運用方框圖變換化簡方法獲得系統的傳遞函數（這是本章的重點）本章主要介紹4種數學模型：微分方程、傳遞函數、結構圖、信號流圖以及相關的一些知識。這是控制系統分析的基礎。2

在生產實際中的自動控制系統的種類很多，有機械的、生物的、電器的、社會經濟的等，對于一個具體的自動控制系統來說，我們最關心的是該系統最終是否能為我們服務，也就是說我們關心的是對某自動控制系統給一個輸入信號后，它的輸出將如何變化，能不能達到我們的要求。這是我們設計控制系統最為關心的事情。為此我們要對系統進行分析何謂系統分析？

在分析控制系統時已知系統的輸入，來研究系統的輸出將如何變化，稱為系統分析。3設計和分析任何一個控制系統，首要任務是建立系統的數學模型。系統的數學模型是描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。建立數學模型的方法分為解析法和實驗法建模方法：解析法：根據所遵循的物理、化學、生物等規律列寫系統的運動方程。

實驗法：通過實驗的方法，由系統對輸入信號響應，確定系統的運動方程?？偨Y：前種方法適用于簡單，典型，通用常見的系統；而后種適用于復雜，非常見的系統。實際上常常是把這兩種方法結合起來建立數學模型更為有效.5一、列寫運動方程的步驟

用解析法建立運動方程的步驟是：1）分析系統的工作原理和系統中各變量間的關系，確定出待研究元件或系統的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環系統一般從比較環節入手），依據各元件所遵循的物理，化學，生物等規律，列寫各自方程式，但要注意負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。3）將所有方程聯解，消去中間變量，得出系統輸入輸出的標準方程。所謂標準方程包含三方面的內容：①將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊；②各導數項按降冪排列；③將方程的系數通過元件或系統的參數化成具有一定物理意義的系數。6線性系統的特點線性微分方程有一定標準解法；適用疊加原理工程控制中，大多數系統都可以忽略一些因素看作為線性系統。經典控制理論主要研究的線性定常系統72-1控制系統微分方程的建立基本步驟：分析各元件工作原理,明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動態聯系消去中間變量標準化微分方程8

列寫微分方程的一般方法例1.

列寫如圖所示RC網絡的微分方程。RCuruci解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時間常數），則微分方程為：例2.

設有一彈簧--質量--阻尼動力系統如圖所示，當外力F(t)作用于系統時，系統將產生運動，試寫出外力F(t)與質量塊的位移y(t)之間的動態方程。其中彈簧的彈性系數為k，阻尼器的阻尼系數為f，質量塊的質量為M。11解：分析質量塊m受力，有外力F,彈簧恢復力

Ky（t）阻尼力慣性力根據牛頓第二定律式中：Fi是作用于質量塊上的主動力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數（N/m/s);K——彈簧剛度（N/m)。將（2-4）式的微分方程標準化T稱為時間常數，為阻尼比。顯然，上式描述了M－K－f系統的動態，它是一個二階線性定常微分方程。令，即

，則可寫成14例3

液面控制系統，這里我們主要研究進水量Q1與液面高度H的變化關系,即Q1位輸入量，H為輸出量。其它量均為中間變量給定輸入Q1干擾輸入Q2液面HS—水箱底面積解：若研究Q1變化后，液面高度H的變化規律，我們知道水是不可壓縮，根據質量守恒定律（1）式中：---為中間變量，為流量系數將（1）式整理得：將代入上式得：

很顯然這是一非線性微分方程，也就是說此液面控制系統為非線性系統例4：直流電機轉速開環控制系統uaEdLaRaiaLa—電樞繞組的電感Ra—電樞繞組的電阻Ia—電樞電流Ed—電樞轉動時，在電樞繞組上產生的反電勢將以上系統用方框圖描述直流電動機開環速度控制系統給定輸入Ua系統輸出n干擾輸入Mc解：根據剛體旋轉運動定律（1）式中：---電機的轉動慣量--電磁力矩；；電磁力矩常數由（1）式整理，得得：---中間變量又由克希夫電壓平衡定律（2）又反電勢常數聯立（1），（2）式消除中間變量，得系統的數學模型式中：討論：當系統負載不變時，改變輸入電壓，觀察電機轉速變化情況當輸入電壓不變時，改變負載，觀察電機轉速變化情況當輸入電壓和負載同時變化時，觀察電機轉速變化情況20例5

直流電機轉速閉環控制系統解：解此題我們首先繪制出系統的方框圖ub電壓放大功率放大電機測速發電機ubueuiuanuf-Mc

從系統方框圖中可見，系統有兩個輸入量Ub,Mc，系統的輸出為電機的轉速n逐個寫出個環節的微分方程比較環節

放大環節控制對象—電機（例3），測速發電機聯立以上四個方程，消除中間變量，得系統可簡化為：電動機UbMcn232－2

微分方程的線性化在實際工程中，構成系統的都具有不同程度的非線性，如下圖所示一、小偏差線性化的基本概念于是，建立的動態方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化很有必要。

對弱非線性的線性化如上圖（a），當輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當死區或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。

平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關系為如下所示的非線性25在平衡點A（x0，y0）處，當系統受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關系函數進行泰勒展開，由數學關系可知，當很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化?？傻茫営洖閥=kx。若非線性函數由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點處可展成（忽略高次項）

經過上述線性化后，就把非線性關系變成了線性關系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示的非線性為強非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統，可采用疊加原理來分析系統。27疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：

設線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當＋時，必存在解為，即為可疊加性。28

上述結果表明，兩個外作用同時加于系統產生的響應等于各個外作用單獨作用于系統產生的響應之和，而且外作用增強若干倍，系統響應也增強若干倍，這就是疊加原理。若時，為實數，則方程解為，這就是齊次性。二、微分方程的增量化描述以電機轉速閉環控制系統為例電壓放大功率放大電機測速發電機ubueuiuanuf-Mc系統的微分方程為可見系統有兩個輸入量{Ub--系統的給定輸入Mc--系統的干擾輸入

要想知道Ub，Mc變化時，輸出量n的具體變化情況，就要解上述微分方程，我們知道解二階微分方程需要兩個初始條件，才能確定積分常數。即時，對于轉速控制系統來說，有兩種情況是我們關心的問題1）當系統處于靜止狀態，開始進入運行時，系統能否進入我們需要的工作狀態。

----初始條件全為0此時：

系統的初始條件不全為0，給我們帶來一個十分麻煩的問題，使得我們無法定義傳遞函數。我們知道傳遞函數是經典控制理論的數學基礎，2）當系統已經處于一個相對穩定的運行狀態，此時系統突然出現干擾，系統是否具有抗干擾的能力，當干擾消除或系統是否回到原有的平衡狀態----初始條件不全為0此時：為此我們要尋找一種方法把初始條件不全為0初始條件全為0采用方法

將系統原平衡狀態電（相對靜止點）作為新的坐標原點，以新坐標原點的增量作為系統的變量，取代原變量，得到以增量形式的運動方程，對增量形式的運動方程，求解時，其初始條件就全為0。解決了定義傳遞函數的問題。

我們以電機轉速控制系統為例，來看看此方法在實際中是否可行

該系統有兩個輸入量，當系統的兩個輸入量均為常數時，系統的輸出也應為一個常數（1）}系統輸出此時系統的靜態方程為（2）當系統在原輸入的基礎上有個總量變化}系統輸出系統數學模型，得化簡（3）輸入發生變化時系統的變化情況，將（3）式與（2）相減，得（4）

從（4）可見它與（1）在形式上完全一樣，只是（4）的變量前面多了一個增量符號，實際上控制理論書中的微分方程均為增量方程，只是為書寫方便書寫時省去了增量符號而已。所以在以后在控制理論書中見到的微分方程多應該想到它是增量方程（1）（4）

由此可見上式描述的是在平衡狀態點（ub0,Mc0，n0）的基礎上改變Ub，Mc時，系統輸出n對應的變化關系。這種增量表示，好似數學中的坐標原點平移法(ub0,Mc0,n0)Ub0MUbMc0()在新的坐標下的變量n038

我們將系統的平衡狀態點（相對靜止點）作為新的坐標原點的方法是有其使用價值的，因為對于一個控制系統我們做關心的應該是當其受到外界干擾影響時，它是否能夠抵抗干擾重新回到穩定狀態。增量化方程有兩大優點：（1）以增量方程表示的系統，可以使系統的運動初始條件全為0（2）以增量化表示系統便于非線性系統的線性化處理39二、舉例

在實際中完全的線性系統幾乎是不存在的，既是我們常說的線性系統，也是在一定的工作范圍內才保持一定的線性關系，也就說我們濾去那些對控制過程的進行不會有重大影響的因素，來建立微分方程，以求得方程的簡化。40我們為什么要這樣做？

在高等數學的學習中我們知道，對于非線性微分方程至今尚沒有通用的求解方法，這就給我們進行系統分析帶來了困難，為此要解決此問題提出了非線性系統的線性化問題。下面我們以水面控制系統為例，講述非線性系統線性化的問題41例

液面控制系統給定輸入Q1干擾輸入Q2液面HS—水箱地面積解：若研究Q1變化后，液面高度H的變化規律，

很顯然這是一非線性微分方程，也就是說此液面控制系統為非線性系統。為研究問題方便，對此方程進行線性化處理也就是說要將，這種非線性關系用線性關系取代。具體方法是將，這一非線性函數在原平衡點（Ha0，Qa0)處展開成泰勒級數在此平衡點工況下，對應有：

將在平衡點a處展開成泰勒級數

在液面變化過程中，由于Q1變化，對應于水位變化很小，那么更小，可視為高階無窮小而忽略不計。H故所以系統的增量方程為：a平衡點Q2Ha0Q20Q2H所以非線性方程經線性化處理后為線性化處理從上例的線性化處理過程可見Q1變化S很大使H變化很小才有很小，故維高階無窮小而忽略不計

否則在Q1變化，使得H變化較大，則線性化后將產生較大的誤差，可見線性化是有條件。462-3傳遞函數

前面我們已經向大家介紹了自動控制系統在一定輸入作用下，系統輸入、輸出相關的線性微分方程的編寫的基本方法，為了進一步研究自動控制系統在一定輸入作用下系統的輸出的性能如何？最直接的方法就是求解系統的微分方程，取得輸出量的時間函數曲線，然后再根據曲線對系統進行分析。但是對于復雜的系統（高階系統）直接求解方程式非常困難的，于是我們引入了新的數學方法---拉普拉斯變換，這樣可以把高數中求解微分方程中的積分和微分的運算轉化代數方程的求解和直接查表的方法，使得求解微分方程變得簡單化。在此基礎上人們引入了傳遞函數的概念。47

在以后的學習中可以看到，傳遞函數是分析和綜合自動控制系統的一種很方便的數學工具，通過傳遞函數的使用可是系統分析和設計工作大大簡化。例1利用拉普拉斯變換的方法求解微分方程初始條件：

解：為求解，首先對原微分方程進行拉普拉斯變換將初始條件代入等式的右邊的常數2，視為幅值為2的階躍函數，即為2*1(t)所以經過拉普拉斯變化后的微分方程為：整理后得出對上式進行拉普拉斯反變換，即可的出方程的解y(t)

如何進行拉普拉斯反變換？一般情況下y(s)的形式是各種各樣，有些是不能直接從拉普拉斯表中查出，需要進行一定的變換成為最簡式后，在查拉普拉斯變換表，即可得出y(s)的原函數Y(t)。(1)式中：k1,k2,k3為待定系數求k1:

將（1）式兩邊同乘以s，后令s=0求k2:將（1）式兩邊同乘以（s-3），后令s=3求k3:將（1）式兩邊同乘以（s+2），后令s=-2得，系統輸出的原函數查拉普拉斯反變換表，得

從一上解微分方程的全過程可見，整個過程都在進行一些代數運算，而沒有高數中求解微分方程的積分和微分的運算，使整個求解過程簡單方便。一、傳遞函數的概念與定義

所謂傳遞函數---線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉斯拉斯變換y(s)與輸入量的拉普拉斯變換R(s)之比，稱為該系統的傳遞函數一般記為：例2：我們以RC網絡為例，看看如何建立系統的傳遞函數RCuruci解：聯立方程組，消除中間變量i，得：在零初始條件下，進行拉普拉斯變換，得：根據傳遞函數的定義，得：---RC網絡系統的傳遞函數54在此基礎上我們加以推廣假設某系統的運動微分方程為：式中：Y(t)---系統的輸出量；r(t)---系統的輸入量

在零初始條件下，對上式進行拉普拉斯變換，得：整理，得56則系統的傳遞函數注意傳遞函數是微分方程在初始條件為零的情況下，通過拉普拉斯變換得到的，因此它也是系統的一種數學模型。如果已知系統的傳遞函數和系統的輸入量的拉普拉斯變換，可由上式得到在零初始條件下，系統的輸出的拉普拉斯變換。傳遞函數是復變量s的有理真分式，各系數為實數

從物理意義上講，我們知道任何系統都是有慣性，能量也不會自行產生。系數為實數，因為方程中的系數，都是組成系統元件的具體參數，而元件參數只能是實數。傳遞函數只取決于系統的結構，而與外作用形式無關一定的傳遞函數有一定的零、極點與之對應式中：--傳遞函數的零點--傳遞函數的極點傳遞函數的分母，即為系統的特征方程，所以極點又稱為系統的特征根傳遞函數是由拉普拉斯變換得到的，所以傳遞函數只適用于線性定常系統二、典型環節

在實際中的自動控制系統，其種類很多，構成系統的物理意義和功能上有本質的差別，但我們拋開它們物理意義和功能，僅僅從描述它們的數學模型(微分方程、傳遞函數等等）的類型去分類，那么構成控制系統基本類型共有六大類，我們把這些基本類型成為典型環節。這些典型環節，盡管它們的物理本質差別和很大，但它們的動態性能卻是相同的。例如：兩級RC串聯濾波網絡和彈簧—阻尼—質塊系統，它們在物理上本質在有本質的區別，但它們有相同類型的數學模型urR1R2C1C2i1i2Uc2

一個描述系統的傳遞函數可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱作典型環節。常見的幾種形式有：比例環節（放大環節或無慣性環節）

凡是系統的輸入、輸出之間可以用以下數學方程描述的系統統稱為比例環節式中：y(t)-系統的輸出；r(t)-系統的輸入

對上式進行拉普拉斯變換得到放大環節的傳遞函數。

放大環節我們見到的很多，例如：測速發電機、齒輪傳動等等62放大環節的特點

比例環節其輸入與輸出之間無時滯和失真，輸出按比例的反映系統的輸入變化。t比例環節G(s)=kr(t)t1Y(t)k比例環節運用實例63慣性環節

凡是系統的輸入、輸出之間可以用一階微分方程描述的系統統稱為慣性環節式中：T---為環節的時間常數環節的傳遞函數64慣性環節r(t)1Y(t)k特點：

系統的輸出量的變化落后于系統的輸入量的變化。T越大，系統的慣性越大，系統的輸出落后越大。當T很小時，可忽略系統慣性，把此環節視為比例環節。慣性環節應用實例微分環節微分環節又分為理想微分環節和實際微分環節兩種理想微分

凡是系統的輸出量與輸入量的導數成正比的系統，統稱為理想微分環節。其數學描述為：66將上式經過拉普拉斯變換后，得到環節的傳遞函數式中：T---為系統的時間常數為什么稱此環節為理想微分環節？是因為此環節在實際工程中是難以構造的例如理想微分環節輸入一單位階躍信號，即r(t)1在t=0時刻，輸入量r(t)從0變化為1當t>0時，r(t)=1理想微分G(s)=Ts

可見理想環節的輸出量，在t=0時刻，y(t)為無窮大，在t>0時，y(t)=0，r(t)1Y(t)0

我們知道任何元件都具有慣性，像這樣瞬間從無窮大變化到0，這樣的元件在實際中無法構造，所以我們稱它為理想微分環節。實際微分

凡是系統的輸入量與系統的輸出量之間可以用一下微分方程描述的，統稱為實際微分環節。上式進行拉普拉斯變換，得到環節的傳遞函數

可見實際微分環節實際上由理想微分和慣性環節串聯組成的，此環節在實際中我們是可以構造出來的。實際微分環節的輸出特點實際微分1r(t)Y(t)例：實際中的CR網絡，就是一典型的實際微分環節uiRCi解：根據克希夫定律uo聯立方程組，消除中間變量，得到系統數學模型式中：T=RC故CR網絡的傳遞函數為如給CR網絡輸入一單位階躍信號，即：系統輸出得像函數為：72系統輸出為：（經過整理變換后，查拉普拉斯反變換表得）其輸出曲線為：當t=0時當t>0時呈指數衰減變化當t=時Y(t)

從CR電路輸出特性可清楚地說明，電路電壓不能突變，當輸入電壓突然加上去時，電容仍為通路，因此，隨著電容的充電，電容電壓升高，電路電流減少，最終當電容兩端的電壓等于輸入電壓時，i=0，

73微分環節對控制系統的影響使系統輸出提前例：一比例環節，其環節的傳遞函數G(s)=1比例環節G(s)=1r(t)Y(t)

再在此環節中并聯一微分環節后，系統的輸出情況。比例環節G(s)=1Y1(t)微分環節G(s)=Tsr(t)r(t)TY2(t)Y(t)理想微分環節：輸入r(t)=t，輸出

bt1t2

從上途中可見，在相同輸入的情況下，輸出要達到y(s）=b，在步并聯微分環節需要經過時間t2，而并聯微分環節后只需要時間為t1，顯然t1<t2。所以微分環節是系統輸出提前了Y1+Y275

這里為研究問題方便采用的理想微分環節，當采用實際微分環節取代理想微分環節時，也會提高系統的快速性，只是效果不如理想微分環節。積分環節

凡是環節的輸出量正比于輸入量對時間的積分，此類環節統稱為積分環節。即其數學描述為或式中：T---積分時間常數環節的傳遞函數為：76特點:只要輸入不為0，輸出的幅值將不斷增加積分環節G(s)=1/Ts1r(t)Y(t)振蕩環節

凡是環節的輸入、輸出之間可以一下二階微分方程加以描述的，統稱為振蕩環節式中：T---時間常數；

---阻尼比77環節的傳遞函數或標準形式式中：---無阻尼固有頻率；---阻尼比注意：

振蕩環節，在控制系統中是十分常見的，關于其特性我們在第三章時間響應分析中作詳細介紹。78延時環節特點：輸出信號經過一段延時時間后，才完全復現輸入信號延時環節11r(t)Y(t)環節輸出的數學描述：79對上式進行拉普拉斯變換令t-=u，故有t=u+，dt=du，當t=時，u=0，t時，u(1)80故：延時環節的傳遞函數延時環節在生產實際中是常見的。如機械傳動中兩齒輪存在間隙；氣動技術種氣體的可壓縮性等

這些都可能使系統產生延時，在計算機控制系統中，需要時間所以也會出現延時等81

延時環節的傳遞函數為以超越函數，在系統分析中，處理此函數是比較麻煩的，因此當延時環節的時間常數較小時，常把延時環節展開成泰勒級數，并略去高次項，將延時環節簡化。

由此可見延時環節在

較小時，可近似為一慣性環節

以上所列舉的是一些常見的典型環節，而許多復雜的系統（元件）可以看成是這些典型環節中的某些環節的組合，把復雜的物理系統劃分為若干典型環節利用傳遞函數和框圖來進行研究，這是研究系統的一個重要方法。822－4控制系統的傳遞函數

----動態結構圖一、動態結構圖的基本概念前面我們介紹的直流電機轉速控制系統時，首先從原理圖方框圖

83

從方框圖中可見，從信號傳遞上來講是清楚地，但信號傳遞之間的函數關系尚不明確，為補尚這些不足，我們將方框圖改造成動態結構圖改造的方法：將每個環節（方框）內填入該環節的傳遞函數，環節的輸入、輸出箭頭對應表示如：G(s)R(s)Y(s)我們來繪制電機轉速控制系統的動態結構圖電壓放大功率放大電機測速發電機ubueuiuanuf-比較環節Ue=Ub-UfUe(s)=Ub(s)-Uf(s)_Ub(s)Ue(s)Uf(s)放大環節Ua=KdUeUa(s)=KaUe(s)KaUe(s)Ua(s)電機Ua(s)n(s)測速發電機Uf=knnUf(s)=knn(s)knUf(s)n(s)86電機轉速控制動態結構圖_Ub(s)Ue(s)比較環節KaUa(s)放大環節n(s)控制對象電機kn檢測環節特點信號傳遞流程清楚信號與信號之間的函數關系也是清楚地Uf(s)87

以上我們繪制了電機轉速控制系統的動態結構圖，圖中各環節的傳遞函數我們都可以求了，那么如何由系統的動態結構圖求系統的傳遞函數？即：

要從系統動態結構圖中求系統的傳遞函數，就必須對動態結構圖做一些相應的等價變換和化簡。

88動態結構圖是一種數學模型，采用它將更便于求傳遞函數，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統或元件中的傳遞過程。特別強調89動態結構圖的概念系統的動態結構圖由若干基本符號構成。構成動態結構圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點和引出點。信號線：

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。902.

傳遞方框G(s)方框的兩側應為輸入信號線和輸出信號線，方框內寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數G(s)。913.

綜合點綜合點亦稱加減點，表示幾個信號相加減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數和，負信號需在信號線的箭頭附近標以負號。＋省略時也表示＋也就是說+可省略924.引出點（又稱分支點）

表示同一信號傳輸到幾個地方。而且信號在此只取信息，不取能量。引出點93二、動態結構圖的基本連接形式

方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯連接。G1(s)G2(s)R(s)Y(s)1、串聯環節942.并聯連接

兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯連接。G1(s)G2(s)R(s)Y(s)=Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y2(s)953.反饋連接

一個方框的輸出信號，輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－y(s)H(s)96三、系統動態結構圖的構成構成原則：

按照動態結構圖的基本連接形式，將構成系統的各個環節，連接成系統的動態結構圖。97舉例說明系統動態結構圖的構成urcR1i1i2R2iuc例（教材例題2-6）建立RC無源網絡的結構圖解：列寫系統的微分方程組

將上式各式進行拉斯變化，繪制相應的結構圖-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI2(s)I1(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI2(s)I1(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI1(s)101以機電隨動系統為例，如下圖所示103其象方程組如下：104系統各元部件的動態結構圖(1)105系統各元部件的動態結構圖(2)106系統各元部件的動態結構圖(3)107系統各元部件的動態結構圖(4)108系統各元部件的動態結構圖(5)109系統各元部件的動態結構圖(6)110系統各元部件的動態結構圖(7)111系統各元部件的動態結構圖(8)112例:兩極RC濾波網絡urR1c1u1i1uci2113113Ur(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I1(s)I2(s)U1(s)1/R2U1(s)-Uc(s)I2(s)1/c2sI2(s)Uc(s)114Ur(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I2(s)U1(s)1/R2-Uc(s)I2(s)1/c2sUc(s)115結構圖的等效變換

---教材p24傳遞函數的運算思路：

在保證總體動態關系不變的條件下，設法將原結構進行逐步的歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。1161.串聯結構的等效變換串聯結構圖G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1171.串聯結構的等效變換等效變換證明推導G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1181.串聯結構的等效變換等效變換證明推導G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1191.串聯結構的等效變換串聯結構的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)y(s)兩個串聯的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數等于兩個方框傳遞函數的乘積。120推廣，若n個環節串聯G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)故串聯環節的傳遞函數1212.并聯結構的等效變換并聯結構圖y1(s)G1(s)G2(s)R(s)y(s)y2(s)122等效變換證明推導(1)G1(s)G2(s)R(s)y(s)y1(s)y2(s)2.并聯結構的等效變換等效變換證明推導G1(s)G2(s)R(s)Y(s)Y2(s)Y1(s)124

并聯結構的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)Y(s)Y1(s)Y2(s)G1(s)G2(s)R(s)y(s)

兩個并聯的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數等于兩個方框傳遞函數的代數和。125推廣，n各環節并聯G1(s)G2(s)Gn(s)...R(s)Y1(s)Y2(s)Yn(s)Y(s)G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)并聯環節的傳遞函數1263.反饋結構的等效變換反饋結構圖G(s)R(s)y(s)H(s)B(s)E(s)y(s)=?3.反饋結構的等效變換等效變換證明推導G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)

構成反饋時信號形成環形閉合，環形有兩條信號線組成

前向通道反饋通道128G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)前向通道

所謂前向通道----信號從輸入到輸出每個環節只經過一次，這樣的信號通道成為前向通道前向通道的傳遞函數129反饋通道G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)所謂反饋通道----將輸出信號返送到輸入端，并與輸入信號比較產生偏差信號，對系統實施控制作用的信號通道，稱為反饋通道反饋通道的傳遞函數130G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)

信號從E(s)傳遞到B(s),其傳遞函數

稱為該閉環系統的開環傳遞函數，是指反饋信號與偏差信號的拉斯變換比由前向通傳遞函數反饋通道傳遞函數又聯立以上方程組，消去中間變量，得：131移項整理得：故得反饋系統的閉環傳遞函數132注意當H(s)=1時，稱為單位反饋從反饋系統的閉環傳遞函數的計算推導中可見133

找到了它的規律，在以后的計算中，遇到此類的計算時就可直接用此結論。到此，我們前面的電機轉速控制系統，求系統的閉環傳遞函數的問題就解決了反饋結構的等效變換圖C(s)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)134_Ub(s)Ue(s)KaUa(s)n(s)knUf(s)有了我們前面的介紹我們就可以求得電機閉環系統的傳遞函數了135例（教材例題2-6）建立RC無源網絡的結構圖urcR1i1i2R2iuc如何求該系統的傳遞函數?136例:兩極RC濾波網絡urR1c1u1i1uci2如何求該系統的傳遞函數數??137舉例例1：教材P54圖2-14G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)F(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)由動態結構圖可以看出該系統有兩個輸入R(s)(給定），F(s)（干擾）。138我們知道：傳遞函數只表示一個特定的輸出、輸入關系，因此，在此運用疊加原理在求C(s)對R(s)的關系時，即給定輸入下的系統傳遞函數GRE(s)=CR(s)/R(s)，根據線性疊加原理，可取干擾F(s)＝0，即認為F(s)不存在。在求C(s)對F(s)得關系時，即干擾數如下的系統傳遞函數GFE(s)=CF(s)/F(s)1、c(s)對給定輸入信號R(s)的閉環傳遞函數G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)139步驟1--合并前向通道的串聯環節G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)G1(s)G2(s)H(s)E(s)Y(s)_R(s)C(s)140步驟2---簡化反饋結構圖G1(s)G2(s)H(s)E(s)Y(s)_R(s)C(s)R(s)C(s)1412、c(s)對干擾信號F(s)的閉環傳遞函數G2(s)H(s)G1(s)_Ex1x2F(s)C(s)y步驟1---合并反饋通道的串聯環節G2(s)-G1(s)H(s)F(s)C(s)系統動態結構圖可做一下變化142步驟2---簡化反饋結構圖G2(s)-G1(s)H(s)F(s)C(s)F(s)C(s)1433、R(s)、F(s)同時作用與系統時，C(s)的總輸出C(s)=CR(s)+CF(s)=GRc(s)R(s)+GFc(s)F(s)根據線性系統的疊加原理4、偏差信號E(s)對輸入信號R(s)的閉環傳遞函數G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)_1445、E(s)對干擾信號F(s)的閉環傳遞函數G2(s)H(s)_yG1(s)F(s)E(s)x2x1問題：從以上求出傳遞函數，大家發現有什么規律嗎？1456、R(s)、F(s)同時作用時，則思考題：1、求以R(s)為輸入，X1(s)為輸出時，系統的傳遞函數；2、求以R(s)為輸入，y(s)為輸出時，系統的傳遞函數；146閉環系統的特征方程式對同一個控制系統，無論是系統傳遞函數還是誤差傳遞函數，它們都有一個共同的特點，擁有相同的分母，這就是閉環系統的本質特征，我們將閉環傳遞函數的分母多項式稱為閉環系統的特征方程式。它與輸入無關，僅與系統本身的結構和參數有關。1472-5

控制系統的方框圖及其化簡在復雜的控制系統中，除了主反饋外，還有一些互相交錯的局部反饋。在對系統進行分析時，要簡化系統的結構圖，以求得系統的傳遞函數，常常需要對信號的引出點（分支點)或相加點（綜合點）進行變位運算，下面我們介紹一下變位運算的原則：148

例如

從以上方框圖中可見，反饋結構圖中出現了交叉，這種情況就不能使用我們前面講過的方法，直接簡化動態結構圖了，要求系統的傳遞函數必須解脫圖中的交叉。1491.綜合點的移動1）綜合點后移

G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)y(s)綜合點移動的原則：保證輸出信號不變150G(s)R(s)y(s)Q(s)綜合點后移證明推導（移動前）151G(s)R(s)y(s)Q(s)？綜合點后移證明推導（移動后）152移動前G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)？移動后綜合點后移證明推導（移動前后）153G(s)R(s)y(s)Q(s)？綜合點后移證明推導（移動后）154G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)綜合點后移等效關系圖155G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)y(s)2）綜合點前移156G(s)R(s)y(s)Q(s)綜合點前移證明推導（移動前）157G(s)R(s)y(s)Q(s)？綜合點前移證明推導（移動后）158移動前G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)？移動后綜合點前移證明推導（移動前后）159綜合點的移動（前移）綜合點前移證明推導（移動后）G(s)R(s)y(s)Q(s)？160綜合點的移動（前移）綜合點前移等效關系圖G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)1/G(s)1613）綜合點之間的移動R(s)y(s)q(s)X(s)R(s)y(s)q(s)X(s)162綜合點之間的移動結論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。R(s)y(s)q(s)X(s)R(s)y(s)q(s)X(s)注意當兩綜合點有信號引出時，此時不能隨意交換位置1632、引出點的移動1）引出點后移G(s)R(s)y(s)R(s)？G(s)R(s)y(s)R(s)問題：要保持取出的信號傳遞關系不變，

？等于什么。引出點移動原則：保證移動前后取出信號不變164引出點后移等效變換圖G(s)R(s)y(s)R(s)G(s)R(s)y(s)1/G(s)R(s)1652）引出點前移問題：

要保持取出的信號傳遞關系不變，？等于什么。G(s)R(s)y(s)y(s)G(s)R(s)y(s)？y(s)166引出點前移等效變換圖G(s)R(s)y(s)y(s)G(s)R(s)y(s)G(s)y(s)1673）引出點之間的移動ABR(s)BAR(s)168引出點之間的移動相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質。ABR(s)BAR(s)169二、舉例說明（例1）例1：利用結構圖變換法，求位置隨動系統的傳遞函數Qc(s)/Qr(s)。170例題分析由動態結構圖可以看出該系統有兩個輸入r，ML（干擾）。我們知道：傳遞函數只表示一個特定的輸出、輸入關系，因此，在求c對r的關系時，根據線性疊加原理，可取力矩

ML＝0，即認為ML不存在。要點：結構變換的規律是：由內向外逐步進行。171例題化簡步驟（1)合并串聯環節：172例題化簡步驟（2)內反饋環節等效變換：173例題化簡步驟（3)合并串聯環節：174例題化簡步驟（4)反饋環節等效變換：175例題化簡步驟（5)求傳遞函數Qc(s)/Qr(s)

：176二、舉例說明（例2）例2：系統動態結構圖如下圖所示，試求系統傳遞函數C(s)/R(s)。177例2（例題分析）本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結構。例2（解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內向外逐步化簡。178例2（解題方法一之步驟1）將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。179例2（解題方法一之步驟2）180例2（解題方法一之步驟3）181例2（解題方法一之步驟4）內反饋環節等效變換182例2（解題方法一之步驟5）內反饋環節等效變換結果183例2（解題方法一之步驟6）串聯環節等效變換184例2（解題方法一之步驟7）串聯環節等效變換結果185例2（解題方法一之步驟8）內反饋環節等效變換186例2（解題方法一之步驟9）內反饋環節等效變換結果187例2（解題方法一之步驟10）反饋環節等效變換188例2（解題方法一之步驟11）等效變換化簡結果189例2（解題方法二）將綜合點3前移，然后與綜合點2交換。190例2（解題方法三）引出點A后移191例2（解題方法四）引出點B前移192結構圖化簡步驟小結確定輸入量與輸出量。如果作用在系統上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進行結構圖化簡，求得各自的傳遞函數。若結構圖中有交叉聯系，應運用移動規則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結構。對多回路結構，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數。193結構圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應的綜合點盡量不要移動；盡量避免綜合點和引出點之間的移動。194五、用梅遜（S.J.Mason）

公式求傳遞函數梅遜公式的一般式為：梅遜公式參數解釋：1）G(s)---待求的總的傳遞函數2）1953）4）5）6）7）196注意事項：“回路傳遞函數”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數的乘積，并且包含代表反饋極性的正、負號。197舉例說明（梅遜公式）例1：試求如圖所示系統的傳遞函數C(s)/R(s)198求解步驟之一（例1）找出前向通路數n199求解步驟之一（例1）前向通路數：n＝1200求解步驟之二（例1）確定系統中的反饋回路數2011.尋找反饋回路之一2021.尋找反饋回路之二2031.尋找反饋回路之三2041.尋找反饋回路之四205利用梅遜公式求傳遞函數(1)206利用梅遜公式求傳遞函數(1)207利用梅遜公式求傳遞函數(2)208求余子式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式的求法，計算求余式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖210圖中不再有回路，所以1=1211利用梅遜公式求傳遞函數(3)212例2：用梅遜公式求傳遞函數試求如圖所示的系統的傳遞函數。213求解步驟之一：確定反饋回路214求解步驟之一：確定反饋回路215求解步驟之一：確定反饋回路216求解步驟之一：確定反饋回路217求解步驟之一：確定反饋回路218求解步驟之二：確定前向通路219求解步驟之二：確定前向通路220求解步驟之三：求總傳遞函數221例3：對例2做簡單的修改2221.

求反饋回路1G1H1H2G4G3G2RC2231.求反饋回路2G1H1H2G4G3G2RC2241.求反饋回路3G1H1H2G4G3G2RC2251.求反饋回路4G1H1H2G4G3G2RC2262.

兩兩互不相關的回路1G1H1H2G4G3G2RC2272.兩兩互不相關的回路22282.求前向通路1G1H1H2G4G3G2RC2292.

求前向通路22303.求系統總傳遞函數