第三章Poisson過程§3.1Poisson過程定義3.1.1隨機(jī)過程稱為計(jì)數(shù)過程，如果表示從0到t時(shí)刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）且取值為整數(shù)；（2）時(shí)，且

表示時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。定義３.１.２計(jì)數(shù)過程稱為參數(shù)為λ的Poisson過程，如果：（1）；（2）過程有獨(dú)立增量；（3）在任一長度為t的時(shí)間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為λt的Poisson分布，即對一切，有：Poisson的特性平穩(wěn)增量性。由，知λ是單位時(shí)間內(nèi)發(fā)和事件的平均次數(shù)。稱λ為Poisson近程的強(qiáng)度或速率。例3.1.1售票處乘客以10人／小時(shí)的平均速率到達(dá)，則9：00～10：00最多有5名乘客的概率？10：00～11：00沒有人的概率？例3.1.2保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)設(shè)保險(xiǎn)公司每次的賠付都是1，每月平均接到的索賠要求是4次，則一年中它要付出的金額平均是多少？Poisson過程的等價(jià)定義設(shè)是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，它滿足：′N(0)=0；′過程有平穩(wěn)獨(dú)立增量；′存在λ＞0，當(dāng)h↓0時(shí)有：′當(dāng)h↓0時(shí)有：定理3.1.1滿足上述條件(1)′～(4)′的計(jì)數(shù)過程

是Poisson過程。

反過來Poisson過程一定滿足這四個(gè)條件。例3.1.3

事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為λ的poisson過

程，如果每次事件發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時(shí)刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則

是一個(gè)強(qiáng)度為λp的Poisson過程。例3.1.4

設(shè)每條蠶產(chǎn)卵數(shù)服從poisson分布，強(qiáng)度為λ，而每個(gè)卵變成成蟲的概率為p，且每個(gè)卵是否變成成蟲彼此間沒有關(guān)系，求在時(shí)間[0，t]內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k條小蠶的概率。例3.1.5天空中的星體數(shù)服從Poisson分布，其參數(shù)為λV，V為被觀測區(qū)域的體積。若每個(gè)星球上有生命存在的概率為p，則在體積為V的宇宙空間中有生命存在的星球數(shù)服從強(qiáng)度為λpV的Poisson分布。與Poisson過程相聯(lián)系若干分布與的分布

表示第n次事件發(fā)生的時(shí)間；

規(guī)定，

表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔，

定理3.2.1

服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立。

定理3.2.1

服從參數(shù)為n和λ的Γ分布。證明：

Xi獨(dú)立且服從相同的指數(shù)分布指數(shù)分布分n=1的Γ分布，且具有可加性。定理得證。證明2對上式兩端對t求導(dǎo)，可得Tn的密度函數(shù)為：定義3.2.1

計(jì)數(shù)過程是參數(shù)為λ的Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔X1，X2，…，

相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù)為λ的指數(shù)分布。例3.2.1設(shè)從早上8：00開始有無窮人排隊(duì)，只有一名服務(wù)員，且每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的并服從均值為20min的指數(shù)分布，則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去？已有9人接受服務(wù)的概率是多少？例3.2.2假定某天文臺(tái)觀測到的流星流是一個(gè)Poisson過程，以往資料統(tǒng)計(jì)，平均每小時(shí)觀察到3顆流星，試求上午8：00～12：00期間，該天文臺(tái)沒有觀測到流星的概率？事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布考慮n=1的情形，對于s≤t有：定理3.2.3

在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的n個(gè)時(shí)刻T1，T2，…,Tn的聯(lián)合密度函數(shù)為例3.2.3乘客按強(qiáng)度為λ的Poisson過程來火車站，火車在t時(shí)刻啟程，計(jì)算(0，t]內(nèi)到達(dá)的乘客等車時(shí)間總和的數(shù)學(xué)期望。解：即要求計(jì)算其中Ti是第i個(gè)乘客的到達(dá)時(shí)間。由于N(t)為一隨機(jī)變量，取條件期望例3.2.4事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為λ的poisson過

程，如果每次事件發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時(shí)刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則

是一個(gè)強(qiáng)度為λp的Poisson過程。現(xiàn)在設(shè)A在時(shí)刻s時(shí)，被記錄到的概率為p(s)

那么還是Poisson過程嗎？M(t)已不是一個(gè)Poisson過程，它仍具有獨(dú)立增量性，不在具有平穩(wěn)增量性。Poisson過程的推廣非齊Poisson過程定義3.3.1計(jì)數(shù)過程稱作強(qiáng)度函數(shù)為的非齊Poisson過程，如果：(1)(2)具有獨(dú)立增量(3)(4)定義3.3.2計(jì)數(shù)過程稱為強(qiáng)度函數(shù)為

的非齊次Poisson過程，若：（1）（2）具有獨(dú)立增量；（3）對任意實(shí)數(shù)為具有參數(shù)的Poisson分布。稱為非齊Poisson過程的均值函數(shù)（累積強(qiáng)度函數(shù)）定理3.3.1設(shè)為強(qiáng)度函數(shù)為

的非齊次Poisson過程，對任意令：則是一個(gè)強(qiáng)度為1的Poisson過程。例3.3.1設(shè)某設(shè)備的使用年限為10年，在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維修一次。試求它在使用期內(nèi)只維修過1次的概率？解：復(fù)合Poisson過程定義3.3.3：稱隨機(jī)過程為復(fù)合Poisson過程，如果對于，它可表示為：其中是一個(gè)Poisson過程，

是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且與

獨(dú)立。例3.3.2保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從一個(gè)Poisson過程，每次的賠付金額Yi都相互獨(dú)立，且有相同的分布F，且每次的索賠額與與它發(fā)生的時(shí)間無關(guān)。則[0，t]內(nèi)保險(xiǎn)公司賠付的總額就是一個(gè)復(fù)合Poisson過程，其中：例3.3.3（顧客成批到達(dá)的排隊(duì)系統(tǒng)）設(shè)顧客到達(dá)某服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)刻形成一個(gè)強(qiáng)度為λ的Poisson過程，在每個(gè)時(shí)刻

都可以同時(shí)有多名顧客到達(dá)。Yn表示時(shí)刻Sn到達(dá)的顧客人數(shù)，假設(shè)Yn

n=1,2,3…相互獨(dú)立，且與｛Sn｝也獨(dú)立，則在[0，t]時(shí)刻內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的總?cè)藬?shù)可用一復(fù)合Poisson過程來描述。例3.3.4設(shè)顧客按照參數(shù)為λ的Poisson過程進(jìn)入一個(gè)商店。又設(shè)每個(gè)顧客消費(fèi)金額形成一個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。以X(t)記到時(shí)刻t為止顧客在此商店的消費(fèi)總額，易見是一個(gè)復(fù)合Poisson過程。定理3.3.2設(shè)是一個(gè)復(fù)合Poisson過程，Poisson過程

的強(qiáng)度為λ，則：（1）有獨(dú)立增量；（2）若，則例3.3.5保險(xiǎn)公司索賠模型中，設(shè)索賠要求以每月平均兩次的速率的Poisson過程到達(dá)保險(xiǎn)公司。每次賠付服從均值為10000萬元的正態(tài)分布，則一年中保險(xiǎn)公司的平均賠付額為多少？例3.3.6顧客以每分鐘6人的平均速率進(jìn)入商場，服從Poisson過程。每位顧客買東西的概率為0.9，且每位顧客是否買東西互不影響，也與進(jìn)入商場的人數(shù)無關(guān)。求一天（12）小時(shí)在該商場買東西的顧客人數(shù)。以表示在時(shí)間[0，t]內(nèi)到達(dá)商場的人數(shù)，以表示在時(shí)間[0，t]內(nèi)在商場買東西的人數(shù)，若以Zi表示第i位顧客在商場消費(fèi)金額，且則表示在時(shí)間[0，t]內(nèi)該商場的營業(yè)額。條件Poisson過程定義3.3.4設(shè)隨機(jī)變量Λ>0，在Λ=λ的條件下，計(jì)數(shù)過程是參數(shù)為λ的Poisson過程，則稱