一、已知曲線積分（常數）。其中是可導函數且，L是繞原點（0，0）一周的任意正向閉曲線，試求出及A。[分析]可添設輔助路徑，使之得到不包圍原點的閉路構成單連域，若沒此閉路的曲線積分與路徑無關，有，可得微分方程從而解出，取L為可計算A值。圖4解：設為平面上任意一條不經過原點也不包含原點的正向閉曲線，取輔助路徑如圖4、（使構成閉路且包圍原點）。由已知有 （1） （構成閉路包圍原點） （2） 是的負向與構成閉路包圍原點）（1）－（2） （構成閉路。但不包圍原點圍成單連域）所以積分與路徑無關。 。 。所以 即 解出 由。又可取L為正向， 二、設u在所圍閉域D上連續，且二階導數連續，又，試證 ，其中是u沿D的邊界外向法線方向導數，L方向為逆時針方向，求此曲線積分的值。[分析]先考慮由方向導數，第I、II型曲線積分的關系寫出所求曲線積分的一般形式，通過格林公式可計算結果。證明：由方向導數定義： （沿D邊界外法線方向與x軸正向夾角為）設沿D邊界逆時針方向（正向）的切線正向與軸、y軸正向的夾角分別為、（圖22）圖22則 ， 。 （第I型） （第II型） （已知） （域D的面積） 。三、質點P沿著以AB為直徑的半圓周，從點A（1，2）運動到點B（3，4）的過程中受變力F作用（見圖54），F的大小等于點P與原點O之間的距離，其方向垂直于線段OP且與y軸正向的夾角小于。求變力F對質點P所作的功。[分析]設變力，則當P沿從點A運動到點B，變力F對質點P所做的功為，這是一個對坐標的曲線積分。問題解決的關鍵是確定的參數方程和變力F的向量表達式。解：按題意，變力。圓弧的參數方程是變力F所作的功。本題考查曲線積分在計算變力沿曲線所作的功問題上的應用，難度值為0.28，區分度為0.5。1。四、設為連續函數，C為平面上逐段光滑的閉曲線，證明：五、計算線積分，C是沿圓周由點（0，R）依逆時針方向到點（0，－R）的半圓六、求，其中L是球面與柱面的交線（），L的方向規定為沿L的方向運動時，從z軸正向往下看，曲線L所圍球面部分總在左邊。解：記為曲線L所圍球面積分的外側。因為按題意所規定L的方向及曲面與其邊界的定向法則（右手系法則）知外側為正側。由斯托克斯公式，有 其中是球面上每點處的單位法向量。由球面方程不難求出 。從而 。由于曲面關于平面對稱，函數是奇函數，故，這樣 。其中D是曲面在平面上的投影區域：。注：曲線L的參數方程為 七、曲線C為與的交線，從原點看去C的方向為順時針方向，則_____________。[分析]根據斯托克斯公式計算。解：應填：。八、設空間曲線C由立方體：，，的表面化與平面相截而成，試計算： [分析]空間閉曲線上的曲線積分可以分段直接化為定積分計算，并注意應充分運用對稱性來簡化計算，或可以考慮用斯托克斯公式計算（圖7）解法一：直接計算圖7對于， （在平面上：， 點A、B各對應的橫標為） 。 （在平面上：， 點D、E各對應的橫標為） 由對稱性可知： 。解法二：選取平面上被折線C所包圍的朝上側的部分作為張于曲線C上的曲面S。它的法向量的方向余弦為 。設表示曲面S在坐標平面上的投影區域，其面積。由斯托克斯公式： （由，知 。故 九、計算曲線積分，其中C是曲線從z軸正向往z軸負向看C的方向是順時針的。[分析]C為一條封閉的空間曲線，令，則，將其化為參數方程，要利用公式正確計算出本題的曲線積分關鍵是確定C起點和終點對應的值和，根據題意，。也可以利用斯托克斯公式將曲線積分化為曲面積分，在將曲面積分化為二重積分時注意曲面S的側與曲線C的正向符合右手規則，從而正確決定二重積分的正負號。解法一：令，則。于是。解法二：設S是平面上以C為邊界的有限部分，其法向量與z軸正向的夾角為鈍角。為S在面上的投影區域。記則利用斯托克斯公式知。考生典型錯誤有：（1）解法一中對的積分從.（2）用斯托克斯公式時沒有考慮方向定錯符號。（3）將C化為，根號前沒有正、負號，從而致錯。十、設曲線是球面與平面的交線，試求積分十一、。其中是由曲線繞x軸旋轉成的旋轉曲面[分析]利用高斯公式解：作平面，與曲面圍成閉區域，由高斯公式可得故原積分十二、計算曲面積分 ，其中是 （）的上側。[分析]直接計算此曲面積分是相當困難的，因而應利用高斯公式。考慮到被積分表達式中有分母，所以在增被曲面以構成封閉曲面時，要注意所增補的曲面不能過原點，同時所構成的封閉曲面不要包圍原點。解：以表示以原點為中心的上半單位球面（）。可以驗證被包在S的內部。的內側和外側分別表示為和。記為平面上滿足 部分的下側。這樣構成一個封閉曲面的外側。此封閉曲面既不經過也不包圍坐標原點。于是 其右端的第一項，由高斯公式得 ，其中是所包圍的區域；其第三項顯然為0，所以 再次利用高斯公式來計算 記為平面上滿足部分的下側，則構成封閉曲面，其所包圍的區域記為，則 而 ，最后有 。注：本題中既可取為上半單位球面，也可取為以原點為球心，以r為半徑的上半球面，只需使被包含在S內即可。本題的結論還表明它與曲面S的具體形式是無關的：只需S是不經過原點的分片光滑曲面（）。十三、曲面 在其上分布有密度函數為的質量，求S的質量m。[分析]m可化為曲面積積分，進而化為二重積分來計算。解： 在平面上的投影域：。 。令。 。十四、計算其中是的外側。十五、求曲面積分，其中是曲面的滿足的部分的下側。（已知：解：由對稱性只要計算其中D為，經計算得。十六、計算曲面積分 其中S是球面的外側。[分析]充分利用球面S的對稱性，可將組合曲面積分化為對的單一曲面積分，再將此曲面積分化成二重積分計算。解：利用球面S的對稱性 而 所以 。。十七、計算曲面積分，其中是由曲面及兩平面，所圍成立體表面的外側。[分析]雖然S是一個封閉曲面，但由于被積函數在原點處不具有一階連續偏導數，因此高斯公式成立的條件不具備，故不能將此二重積分化為三重積分計算，只能按照曲面積分的定義計算。計算中要充分利用和與有關坐標面平行、垂直等位置關系簡化積分。解：設、、依次為S的上、下底和圓柱面部分，則記、在面上的投影區域為，則。在上，，記在平面上的投影區域為，則。所以，原積分。本題考查計算曲面積分的基本技巧和能力，同時檢測了考生對高斯公式的理解和掌握的程度。難度值為0.22，區分度為0.36。十八、計算，其中S是圓柱面被平面和所截出部分的外側。[分析]先作出圖形，其中為平面與圓柱面所截部分的上側，為平面與圓柱面所截部分的下側，為封閉曲面所圍區域，為在平面上的投影區域，為S在平面上的投影區域。本題有兩種曲型解法，一種是應用高斯公式求出上的曲面積分，然后再減去對和上的曲面積分，此時要注意和的側對積分前取正負號的影響。另一種方法是直接將曲面積分化為二重積分，此時應注意曲面S在平面上的投影為一圓周，二重積分，因此，所求曲面積分I化為二重積分。解法一：設，，，，所示。記，，則。而