8機械能守恒定律一、動能與勢能的相互轉化1.重力勢能與動能：只有重力做功時，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能_____，動能_____，_______能轉化成了___能；若重力做負功，則___能轉化為_______能。2.彈性勢能與動能：只有彈簧彈力做功時，若彈力做正功，則彈簧彈性勢能_____，物體的動能_____，_______能轉化為___能。減少增加重力勢動動重力勢減少增加彈性勢動3.機械能：(1)定義：_________、彈性勢能和_____的總稱，表達式為E=Ek+Ep。(2)機械能的改變：通過_____或_____做功，機械能可以從一種形式轉化成另一種形式。重力勢能動能重力彈力【想一想】毛澤東的詩詞中曾寫到“一代天驕成吉思汗，只識彎弓射大雕”。試分析成吉思汗在彎弓射雕過程中，涉及機械能中哪些能量之間的轉化。提示：箭被射出過程中，彈性勢能轉化為箭的動能；箭上升過程中，動能向重力勢能轉化；下落過程中，重力勢能又向動能轉化。二、機械能守恒定律1.推導：物體沿光滑斜面從A滑到B。(1)由動能定理：WG=______。(2)由重力做功與重力勢能的關系：WG=______。結論：在只有_____做功時，小球的機械能_________，即Ek2+Ep2=______。Ek2-Ek1Ep1-Ep2重力保持不變Ek1+Ep12.內容：在只有_____或_____做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能_________。3.表達式：Ek2+Ep2=______，即E2=__。重力彈力保持不變Ek1+Ep1E1【判一判】(1)合力為零，物體的機械能一定守恒。()(2)合力做功為零，物體的機械能一定守恒。()(3)只有重力做功，物體的機械能一定守恒。()提示：(1)×。合力為零，并不能說明除了重力、彈力外其他力不做功，故此時物體的機械能不一定守恒。(2)×。合力做功為零，物體的機械能不一定守恒，如物體沿斜面勻速下滑時，物體的機械能就減少。(3)√。機械能守恒的條件是只有重力或彈力做功。一、機械能守恒條件的理解思考探究：如圖所示，過山車由高處在關閉發動機的情況下飛奔而下。(1)過山車受哪些力作用？各做什么功？(2)過山車下滑時，動能和勢能怎么變化？兩種能的和不變嗎？(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時機械能守恒嗎？提示：(1)下滑時，過山車受重力、摩擦力、支持力和空氣阻力。重力做正功，摩擦力和空氣阻力做負功，支持力不做功。(2)過山車下滑時，動能增大，勢能減少，由于有內能產生，兩種能的和減少。(3)若忽略過山車的摩擦力和空氣阻力，過山車下滑時只有重力做功，機械能守恒。【歸納總結】(1)從能量特點看，系統內部只發生動能和勢能的相互轉化，無其他形式能量(如內能)之間轉化，系統機械能守恒。(2)從做功角度來看，只有重力做功或系統彈力做功，系統機械能守恒，具體表現為：做功條件例證只有重力(或彈簧彈力)做功所有做拋體運動的物體(不計空氣阻力)，機械能守恒除重力、彈力外還受其他力，但其他力不做功如物體沿光滑的曲面下滑，盡管受到支持力，但支持力不做功做功條件例證只有重力和系統內的彈力做功如圖，小球在擺動過程中線的拉力不做功，如不計空氣阻力，只有重力做功，小球的機械能守恒如圖，所有摩擦不計，A自B上自由下滑過程中，只有重力和A、B間彈力做功，A、B組成的系統機械能守恒。但對B來說，A對B的彈力做功，但這個力對B來說是外力，B的機械能不守恒

做功條件例證只有重力和系統內的彈力做功如圖，不計空氣阻力，球在運動過程中，只有重力和彈簧與球間的彈力做功，球與彈簧組成的系統機械能守恒。但對球來說，機械能不守恒

做功條件例證其他力做功，但做功的代數和為零如圖所示，A、B構成的系統，忽略繩的質量與滑輪間的摩擦，在A向下，B向上運動過程中，FA和FB都做功，但WA+WB=0，不存在機械能與其他形式的能的轉化，則A、B系統機械能守恒

【典例示范】(2015·杭州高一檢測)下列關于機械能是否守恒的敘述，正確的是()A.做勻速直線運動的物體機械能一定守恒B.做變速運動的物體機械能可能守恒C.外力對物體做功為零時，機械能一定守恒D.若只有重力對物體做功，物體的機械能也可能不守恒【解題探究】(1)機械能守恒的條件是：系統內只有_____或_____做功。(2)做勻速直線運動的物體的機械能是一定守恒，還是一定不守恒？提示：做勻速直線運動的物體的動能不變，若勢能不變，則機械能守恒，若勢能變化，則機械能不守恒。重力彈力【正確解答】選B。做勻速直線運動的物體機械能不一定守恒，比如，降落傘勻速下降，機械能減小，故A錯誤。做變速直線運動的物體機械能可能守恒，比如自由落體運動，故B正確。機械能守恒的條件是只有重力做功，或者除重力(彈力)外其他力對物體做功為零時，故C、D錯誤。【規律方法】機械能守恒的判斷方法(1)做功條件分析法，分三種情況：①物體只受重力(或系統內的彈力)作用；②物體同時受重力和其他力，但其他力不做功；③有系統的內力做功，但是內力做功的代數和為零。(2)能量轉化分析法：若物體只有動能、重力勢能及彈性勢能間相互轉化，或系統內只有物體間的機械能相互轉移，則機械能守恒。(3)定義判斷法：如物體沿水平方向勻速運動時，動能和勢能之和不變則機械能守恒；物體沿豎直方向或沿斜面勻速運動時，動能不變，勢能變化，機械能不守恒。【過關訓練】1.(2015·株洲高一檢測)關于機械能守恒定律，正確的說法是()A.只有當物體僅受重力作用時，機械能才守恒B.只有當物體僅受彈簧的作用力時，機械能才守恒C.只有彈簧的力對物體做功時，物體和地球的機械能守恒D.若不計空氣的阻力，則做平拋運動的物體和地球組成的系統機械能守恒【解析】選D。機械能守恒的條件是只有重力或彈力做功，并非只受重力或彈力，A、B錯；只有彈簧的力對物體做功，物體(和地球)的動能變化，重力勢能不變，機械能一定發生變化，C錯。平拋運動中，只有物體的重力做功，物體與地球組成的系統機械能守恒，D對。2.(多選)質量分別為m、2m的兩球A、B由輕質細桿連接，桿可繞過O點的水平軸在豎直平面內自由轉動，桿在從水平位置轉到豎直位置的過程中()A.B球勢能減少，動能增加B.A球勢能增加，動能減少C.A和B的總機械能守恒D.A和B各自的機械能守恒【解析】選A、C。整個過程，對于兩球和輕桿組成的系統，只有重力做功，機械能守恒，C對，D錯；桿在豎直位置時，兩球的速度最大，故桿在從水平位置轉到豎直位置的過程中A球的勢能增加，動能增加，B球的勢能減少，動能增加。A對，B錯。【補償訓練】1.(多選)下列幾種情況，系統的機械能守恒的是()A.圖甲中一顆彈丸在光滑的碗內做復雜的曲線運動B.圖乙中運動員在蹦床上越跳越高C.圖丙中小車上放一木塊，小車的左側由彈簧與墻壁相連，小車在左右運動時，木塊相對于小車無滑動(車輪與地面摩擦不計)D.圖丙中如果小車運動時，木塊相對小車有滑動【解析】選A、C。彈丸在碗內運動時，只有重力做功，系統機械能守恒，故A對；運動員越跳越高，表明她不斷做功，機械能不守恒，故B錯；由于是一對靜摩擦力，系統中只有彈簧彈力做功，機械能守恒，故C對；滑動摩擦力做功，系統機械能不守恒，故D錯。2.(2015·漳州高一檢測)如圖小球自a點由靜止自由下落，到b點時與彈簧接觸，到c點時彈簧被壓縮到最短，若不計彈簧質量和空氣阻力，在小球由a→b→c的運動過程中()A.小球的機械能守恒B.小球的重力勢能隨時間一直減少C.小球的動能先從0增大，后減小到0，在b點時動能最大D.到c點時小球重力勢能為0，彈簧彈性勢能最大【解析】選B。彈力對小球做負功，小球的機械能不守恒，A錯。整個過程，重力一定做正功，重力勢能一直減少，B對。小球動能先增大后減小，在b點下方彈力等于重力的位置，小球的動能最大，C錯。在c點，小球重力勢能最小，但不一定為零，彈簧壓縮量最大，彈性勢能最大，D錯。二、機械能守恒定律的應用思考探究：運動員拋出的鉛球所受空氣的阻力遠小于其重力，請思考以下問題：(1)鉛球在空中運動過程中，能否視為機械能守恒？(2)若鉛球被拋出時速度大小一定，鉛球落地時的速度大小與運動員將鉛球拋出的方向有關嗎？(3)在求解鉛球落地的速度大小時，可以考慮應用什么規律？提示：(1)鉛球在空中運動過程中只受重力作用，它的機械能守恒。(2)無關。兩次拋出時鉛球的機械能相等，根據機械能守恒定律，兩次落地時鉛球的動能相同，速度大小相同。(3)可以根據機械能守恒定律或動能定理求解鉛球落地時的速度大小。【歸納總結】1.機械能守恒定律的不同表達式：表達式物理意義從不同狀態看Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末初狀態的機械能等于末狀態的機械能從轉化角度看Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp過程中動能的增加量等于勢能的減少量從轉移角度看EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB系統只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能2.應用機械能守恒定律的解題步驟：(1)選取研究對象(物體或系統)。(2)明確研究對象的運動過程，分析研究對象在運動過程中的受力情況，弄清各力的做功情況，判斷機械能是否守恒。(3)選取恰當的參考平面，確定研究對象在初、末狀態的機械能。(4)選取機械能守恒的某種表達式，列方程求解。3.機械能守恒定律和動能定理的比較：規律內容機械能守恒定律動能定理表達式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA=-ΔEBW=ΔEk應用范圍只有重力或彈力做功時無條件限制物理意義重力或彈力做功的過程是動能與勢能轉化的過程合外力對物體做的功是動能變化的量度關注角度守恒的條件和始末狀態機械能的形式及大小動能的變化及合外力做功情況【典例示范】(2015·濟寧高一檢測)如圖所示，質量m=2kg的小球用長L=1.05m的輕質細繩懸掛在距水平地面高H=6.05m的O點。現將細繩拉直至水平狀態，自A點無初速度釋放小球，運動至懸點O的正下方B點時細繩恰好斷裂，接著小球做平拋運動，落至水平地面上C點。不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。求：(1)細繩能承受的最大拉力。(2)細繩斷裂后小球在空中運動所用的時間。(3)小球落地瞬間速度的大小。【解題探究】(1)小球在由A點到B點過程中機械能守恒嗎？由B點到C點呢？提示：由A點到B點過程中小球受兩個力作用，其中只有重力做功，故機械能守恒；由B點到C點，小球只受重力作用，機械能守恒。(2)題述中小球到達B點時細繩“恰好”斷裂，此處隱含什么條件？提示：“恰好”表明小球到達B點時細繩所受拉力剛好等于它所能承受的最大力。【正確解答】(1)根據機械能守恒由牛頓第二定律得故最大拉力F=3mg=60N(2)細繩斷裂后，小球做平拋運動，且H-L=gt2故(3)整個過程，小球的機械能不變，故：所以答案：(1)60N

(2)1s

(3)11m/s【過關訓練】1.(拓展延伸)若【典例示范】中繩子承受的拉力足夠大，且懸點正下方某位置處固定一釘子。小球仍從輕繩水平的位置由靜止釋放，且輕繩與釘子碰撞后，正好能在豎直面內做圓周運動。求釘子離懸點O的距離。【解析】設釘子離懸點O的距離為x，則輕繩與釘子碰撞后做圓周運動的半徑r=L-x。若小球在圓周最高點的最小速度為v。根據牛頓第二定律mg=由機械能守恒定律得mg(2x-L)=mv2解得x=0.63m。答案：0.63m2.(多選)(2015·三門峽高一檢測)由光滑細管組成的軌道如圖所示，其中AB段和BC段是半徑為R的四分之一圓弧，軌道固定在豎直平面內。質量為m的小球，從距離水平地面高為H的管口D處靜止釋放，最后能夠從A端水平拋出落到地面上。下列說法正確的是()A.小球能從細管A端水平拋出的條件是H>2RB.小球能從細管A端水平拋出的最小高度Hmin=C.小球落到地面時相對于A點的水平位移值為D.小球落到地面時相對于A點的水平位移值為【解析】選A、D。小球經過A點的最小速度為0，由機械能守恒得mg(Hmin-2R)=0，故D點的最小高度Hmin=2R，要使小球能從A點水平拋出，需H>2R，A對，B錯；由機械能守恒定律，mg(H-2R)=，解得vA=。而2R=gt2，x=vAt，故x=，C錯，D對。【補償訓練】1.如圖所示，在豎直平面內有一半徑為2m的圓弧形光滑導軌AB，A點與其最低點C的高度差為1m，今由A點沿導軌無初速釋放一個小球，若g取10m/s2，則()A.小球過B點的速度vB=2m/sB.小球過B點的速度vB=C.小球離開B點后做平拋運動D.小球離開B點后將繼續運動到與A、D等高的位置【解析】選B。由于cos∠AOE=∠AOE=60°，故∠BOC=90°-60°=30°，hBC=R-Rcos∠BOC=(2-)m，hAB=hAC-hBC=(-1)m，根據機械能守恒定律得mghAB=，所以vB=A錯，B對。小球離開B點后做斜上拋運動，C錯。到達最高點時，小球具有水平方向的速度，由機械能守恒知，小球離開B點后到達最高點時的高度低于A、D點的高度，D錯。2.如圖，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()【解析】選C。運用機械能守恒定律：當A下落到地面前，對AB整體有：2mgR-mgR=×2mv2+mv2，所以mv2=mgR，即A落地后B還能再升高，上升的最大高度為R，故選項C正確，A、B、D錯誤。【規律方法】機械能守恒定律表達式的選取技巧(1)當研究對象為單個物體時，可優先考慮應用表達式Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp來求解。(2)當研究對象為兩個物體組成的系統時：①若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA=-ΔEB來求解。②若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加)，動能都在增加(或減小)，可優先考慮應用表達式ΔEk=-ΔEp來求解。【拓展例題】考查內容：機械能守恒定律的綜合應用【典例示范】滑板運動是一項驚險刺激的運動，深受青少年的喜愛。如圖所示是滑板運動的軌道，AB和CD是一段圓弧形軌道，BC是一段長7m的水平軌道。一運動員從AB軌道上的P點以6m/s的速度下滑，經BC軌道后沖上CD軌道，到Q點時速度減為零。已知運動員的質量為50kg，h=1.4m，H=1.8m，不計圓弧軌道上的摩擦。(g取10m/s2)求：(1)運動員第一次經過B點、C點時的速度各是多少？(2)運動員與BC軌道的動摩擦因數。【正確解答】以水平軌道為零勢能面。(1)從P點到B點，根據機械能守恒定律有解得vB=8m/s從C點到Q點，根據機械能守恒定律有解得vC=6m/s。(2)從B到C由動能定理，-μmglBC=解得μ=0.2。答案：(1)8m/s

6m/s

(2)0.2整體法與隔離法在系統機械能守恒中的應用【案例體驗】(2015·達州高一檢測)如圖所示，A物體用板托著，位于離地h=1.0m處，輕質細繩通過光滑定滑輪與A、B相連，繩子處于繃直狀態，已知A物體質量M=1.5kg，B物體質量m=1.0kg，現將板抽走，A將拉動B上升，設A與地面碰后不反彈，B上升過程中不會碰到定滑輪，問：(1)A落地前瞬間的速度大小為多少？(2)B物體在上升過程中離地的最大高度為多大？【解析】(1)A落地時，A、B系統重力勢能的減少量ΔEp減=Mgh-mgh，系統動能的增加量ΔEk增=(M+m)v2根據系統機械能守恒：Mgh-mgh=(M+m)v2故A落地時，A、B物體的瞬時速度v=2m/s(2)A落地后，B物體上升過程機械能守恒，設上升h′后速度變為零，取地面為參考平面故：mgh+mv2=mg(h+h′)所以