第2章彈性力學平面問題有限單元法2.1三角形單元

2.2三角形單元中幾個問題的討論2.3平面問題有限元程序設計

2.4矩形單元2.5六結點三角形單元2.6四結點四邊形單元2.7八結點曲線四邊形等參元

2.8幾個問題的補充

12.8.1幾個問題的補充

一、變厚問題各單元取不同t。二、不同材料問題各單元取不同E,μ三、平面應力與平面應變問題在前面三角形單元的推導中，我們假定其為平面應力問題。工程中，還有另一類情形─平面應變狀態。例如，在對壩體或遂洞等長柱體進行分析時，如果取xoy坐標平面與其橫截平面行,而Z軸與其長度方向一致（如圖）。2那么，由于所考察物體在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿長度方向變化的荷載作用，就可認為各個橫截面應處于同樣的狀況，即近似認為Z方向的位移分量W=0,(位移與Z無關)3于是，由彈性力學知，在六個應力分量中也僅有三個獨立分量σx,σy和τxy,而不獨立。并可得到平面應變問題的物理方程。

4比較平面應力問題：得知只需把應力問題中的E換成，μ換成即得應變問題。所以在這類問題的程序設計中，通常可以同時求解應力和應變問題，只需設置一開關變量便可以實現。5四、各向異性材料在彈性矩陣[D]中反映。如正交各向異性時的彈性矩陣[D]為：五、設置不同類型的單元

在工程中，同一構件經常要用到一種以上材料。如利用角、槽鋼等在開洞板內作加強筋用。另一種情況是鋼筋混凝土構件的全過程分析中，縱向受拉筋的單元劃分，如圖。6混凝土被劃成若干平面三角形單元，而將縱向受力鋼筋（或箍筋）當作線單元（圖中紅線所示），也可把鋼筋等效成與混凝土疊合的三角形單元，但此時均為兩種不同材料。有限元分析時，可認為結構是由若干（面）單元（三角形或矩形）和線（桿）單元（二力桿）共同組成，劃分網格時，若碰到線單元，便將結點取在線單元上，使面元和桿元使用共同的結點。混凝土單元鋼筋單元7引進桿元后，并不增加結構的自由度（未知數），只是裝配總剛和計算過程中多了桿元單剛。如本來是三個三角形單元的結點，可能還有兩個桿元匯交如同一個結點。每個節點2個自由度8應力矩陣桿元單剛的一般形式可取為：9六、溫度應力問題

通常是將各單元由于溫度改變所產生的應力當作外力，化成等效結點荷載加到右端項中求解。式中：102.8.2幾種單元計算結果的比較T3T6Q4Q8Q9A11單元網格節點數荷載1（M）荷載2（P）T310x2330.5420.554Q410x2330.8920.886T65x1331.0000.986Q85x1281.0000.990Q95x1331.0000.990T320x41050.8160.813Q420x41050.9640.956T610x21051.0000.994Q810x2851.0000.995Q910x21051.0000.995彈性力學解1.01.0vA

計算結果與彈性力學解的比值12提高計算精度的途徑為了提高計算精度，可采取如下措施1）細分網格2）采用高精度單元①增加單元節點數，如：T6、Q8等②增加每個節點自由度，如：帶旋轉自由度的單元③增加內部自由度的單元，如：wilson非協調元④基于其他變分原理的單元，如：應力雜交元、混合雜交元、廣義協調元等13精確解：4.04

Q4wilson非協調元應力雜交元Q8

自由度數

16

16

16

36

計算結果

0.753.92

3.92

3.84AvA

計算結果的比較142.8.3單元畸形精確解：4.03一、算例網格畸變敏感現象：敏感單元不敏感單元152、單元畸形分類（1）邊長比畸形建議小于5（2）角度畸形建議60o~120o（3）曲率畸形建議夾角小于120o16（4）凹四邊形禁止出現17（5）單元中間結點的畸形盡量在中點附近182.8.4網格協調性

如果網格中沿所有單元之間的邊界的位移都是連續的，則稱網格為協調的。否則稱為不協調的，應盡量避免。1）低次單元與高次單元相連解決辦法：a在整個問題中使用相同的單元類型19b使用過渡單元2）跨接單元解決辦法：不出現203）節點自由度數不同梁單元二維單元或三維塊體單元梁單元退化成桿單元（桁架）解決辦法：a采取帶旋轉自由度的單元b采用約束方程212.8.5應力計算結果的性質及處理一、應力近似解的性質應變、應力的精度比位移低一階。應力解的近似性體現在以下幾個方面：（1）在單元內部一般不滿足平衡方程；在單元內部一般不滿足平衡方程；（2）單元與單元之間一般不連續；單元與單元之間一般不連續；（3）在力的邊界條件上一般不滿足力的邊界條件；22二、應力計算應力精度的改進1.取相鄰單元應力的平均值常用于3節點三角形單元。單元內應力是常數。由于應力近似解總在真正解上下振蕩，可以取相鄰單元應力的平均值作為此二個單元合成較大四邊形單元形心處的應力。這樣處理十分逼近真正解，能取得良好的結果。可采用算術平均，也采用面積加權平均厚壁園球殼的有限元計算模型及結果見下圖。23厚壁園球殼的有限元計算模型及結果242.取圍繞節點各單元應力的平均值這樣得到應力值是圍繞該節點的有限區域的應力平均值。253.總體應力磨平位移有限元解得的應力場在全域上是不連續的，可以用總體應力磨平的方法來改進結果，得到全域連續的應力場。方法：構造一個改進的應力解σ，此改進解在全域是連續的，改進解σ與有限元法求得的應力解σ*應滿足加權最小二乘的原則。（用到泛函）缺點：計算工作量十分龐大，相當于進行二次有限元計算，一次求位移場，一次求應力場。26274.單元應力磨平為了減少改進應力結果的計算工作量，可以采用單元應力的局部磨平。單元足夠小時，二者相差很小。參見：王勖成，邵敏，《有限單元法基本原理和數值方法》（第二版），清華大學出版社，1997一個單元取權系數C=128應力磨平函數常采取高斯積分點外推法計算步驟：（1）先計算高斯積分點的應力值（2）對高斯積分點的值進行雙線性插值（外推）的到節點和單元內部其他點的應力值29算例：302.8.6結構對稱性和周期性的利用鏡面對稱結構（具有對稱面的結構）軸對稱結構旋轉周期結構重復周期結構好處：1）簡化模擬過程和建模時間2）減少總自由度數，減少計算時間，減少數值誤差31一、鏡面對稱結構（具有對稱面的結構）幾何形狀、支承條件和材料性質都對稱于某平面的結構。任何載荷可分解為對稱載荷和反對稱載荷，于是