1什么是數學建模2數學建模示例3數學建模的方法和步驟4數學建模競賽簡介第一章數學建模簡介通過抽象和簡化，使用數學語言對實際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實際問題。建立數學模型的全過程（包括模型假設，模型表述、問題求解、結果解釋、結論檢驗等）數學模型(MathematicalModel)數學建模（MathematicalModeling)1什么是數學建模你身邊的數學模型：購房貸款作為房產公司的代理人，你要迅速準確回答客戶各方面的問題。現在要制作一個軟件，根據客戶所選房屋的建筑面積、每平方米單價、首付比例，貸款種類、貸款期限、還款方式等信息計算下列信息：房款總額、首付款額、月還款額等。房地產：熱了10多年時寒冰：中國應做好樓市崩盤的準備(2011-09-08)謝國忠：今年房價下跌25%未來三年或跌50%(2012-2-2)茅于軾：房地產已無藥可救，房價下降50%不過分(2012-2-24)牛刀：房價泡沫正在破滅(2012-06-10)曹建海：2012年底若房價上漲是崩盤前奏(2012-08-25)任志強：中國房地產還要火20年(2012-10-23)張五常：中國房地產市場不存在泡沫(2012-12-16)王石:樓市泡沫太危險45倍年薪買房是災難(2013-3-6)葉檀：中小城市樓市岌岌可危難逃泡沫崩潰(2014-2-17)郎咸平：今后的樓市必然是有漲有跌，多樣化發展

(2014-9-9)分析與假設貸款種類:[1]商業[2]公積金[3]組合(一般)還款方式:等額本息,等額本金假設首付比例、貸款期限符合政府規定假設自借款日一個月后，每月固定時間還款不考慮貸款利率的變化（當前計算結果貸款利率改變以后失效）數學建模房款總額T=建筑面積S×每平方米單價R首付款額F=房款總額T×首付比例p考慮組合貸款(其他為特例)。設公積金貸款AT-F元，那么商業貸款為B=T-F-A元設后臺變量：公積金貸款N1月，年利率r1，商業貸款N2月，年利率r2。月還款額怎么算？概念：月利率=年利率/12等額本息情形設公積金月還M元，第n個月公積金貸款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,計算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M

=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]由于x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0這樣M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理可以計算商業貸款月還款額第n月還款額公式等額本金情形月還本貸款本金／還款月數，利息月月清月還款額＝（貸款本金／還款月數）＋（所欠本金×當月利率）第一個月公積金月還A/N1+Ar1/12第二個月公積金月還A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1個月公積金月還A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月還款額公式后繼工作/例子收集數據，編寫軟件(界面\計算)，寫說明書。例子:80平米,單價15000元,首付30%,公積金40萬,期限20年,第一套房商業利率6.55%*0.85,公積金利率4.5%(2012年7月6日至今).[T,F,M]=hmorgage2013(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等額本息(1):5574元/月(總借84萬，約還134萬)等額本金(2):7041，7027，…,3515(約還127萬)function[T,F,M]=hmorgage2013(S,R,p,A,N1,N2,type)r1=4.5/100;r2=6.55/100*0.85;T=S*R;F=T*p;B=T-F-AN=max(N1,N2);L=(1:N)';iftype==1,M1=A*r1/12*(1+r1/12)^N1/[(1+r1/12)^N1-1]M2=B*r2/12*(1+r2/12)^N2/[(1+r2/12)^N2-1]M=M1*(L<=N1)+M2*(L<=N2);elseiftype==2,M1=A*(1/N1+r1/12*(1-(L-1)/N1)).*(L<=N1);M2=B*(1/N2+r2/12*(1-(L-1)/N2)).*(L<=N2);M=M1+M2;endMatlab程序習題習題1:如果是第二套住房，且全部為商業貸款（基準利率*1.1）,等額本息每個月要付多少?習題2:如果原案例（第一套）是2013年3月1日貸款買房，并假設2014年底利率調整為：商業基準利率為6.14%，公積金利率4.05%，那么2015年的月還款將調整為多少？(提示：存量房貸利率每年1月1日調整一次)一句話小結只要你留意，數學建模就在你身邊數學建模正在不斷更新中場景2示例：

如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，濃度100μg/ml會出現嚴重中毒,濃度200μg/ml可致命.醫生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達到100~200μg/ml；如果會達到，應采取怎樣的緊急施救方案.調查與分析轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統口服藥物體外認為血液系統內藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統看作一個房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統對藥物的吸收率和排除率可以由半衰期(下降一半所需時間)確定.半衰期可以從藥品說明書上查到(氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h)

.通常，血液總量約為人體體重的7%

~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認為其血液總量約為2000ml.調查與分析血藥濃度=藥量/血液總量

口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：

體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.模型假設

1.胃腸道中藥物向血液的轉移率與x(t)成正比，比例系數λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道,x(0)=1100.2.血液系統中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數μ(>0)，t=0時血液中無藥物,y(0)=0.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）.模型建立轉移速率正比于x排除速率正比于y胃腸道血液系統口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)???注意:藥物的轉移\排除并不是勻速的!模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數λ),轉移速率正比于x排除速率正比于y胃腸道血液系統口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數μ).血藥濃度=藥量/血液總量x(0)=1100y(0)=0模型求解

藥物吸收的半衰期為5h藥物排除的半衰期為6h只考慮血液對藥物的排除血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達醫院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3h后將有生命危險！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達醫院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.2310注意：施救前的

μ與施救后的

μ不同，須分段計算！施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更快(習題)；臨床上是否需要采取這種辦法，當由醫生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.一句話小結數學建模用數學方法可以幫助我們（以較低的成本）對情況的發展做預判，從而幫助我們做出正確的決策。數學模型：通過抽象和簡化，使用數學語言對實際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實際問題。習題姜啟源等，數學模型（第四版），高等教育出版社，2011P21ex6：利用藥物中毒施救模型確定對于孩子(血液容量為2000ml)以及成人(血液容量為4000ml)服用氨茶堿能引起嚴重中毒和致命的最小劑量。

P21ex7：如果采用的是體外血液透析的辦法，求解藥物中毒施救模型的血液中藥量的變化并作圖。3.數學建模的方法與步驟機理分析方法：初等分析、微積分、常微分方程、偏微分方程、運籌學（線性規劃、非線性規劃、整數規劃、圖論）、概率論等；數據擬合方法：層次分析、插值與擬合、統計分析(回歸分析、時間序列、聚類)、神經網絡等；計算機模擬方法：遍歷法（枚舉法）、隨機模擬法（蒙特卡洛法）、遺傳算法等。模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用數學建模的步驟數學應用題與數學建模的區別數學應用題數學建模問題來源數學教學實際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進一步了解或假設解決方法多種多種問題結論有標準答案有參考解答但無標準答案。不同的假設下有不同的模型和結論4.數學建模競賽簡介1985年美國數學建模競賽(MCM).1989年我國參加MCM.1992年中國大學生數學建模競賽（CUMCM)

創辦2004年全國研究生數學建模(NPMCM)競賽創立2014年9月12-15日，全國及新加坡和美國1338所高校的25347支隊伍的7萬多名大學生參加CUMCM

。2014年9月19-22日，全國5000多隊15000多研究生參加NPMCM.有哪些數學建模競賽？美國數學建模競賽（MCM和ICM）2月東華大學數學建模選拔賽（DHMCM）5月全國數學建模夏令營6-7月全國大學生數學建模競賽（CUMCM）9月全國高校研究生數學建模競賽9月華東地區部分高校大學生數學建模聯賽4月數學中國杯數學建模挑戰賽，每年4-6月舉行數學建模競賽的競賽題競賽的題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，不要求預先掌握深入的專門知識，而具有較大的靈活性供參賽者發揮。數學建模競賽題設計要求參賽選手運用數學、計算機技術和問題背景學科等方面知識，解決極富挑戰性的實際問題。通常競賽題有多題，各參賽隊從中任選一題。數學建模競賽的評獎沒有事先設定的標準答案，多名專家從以下幾個方面來綜合評定（1）問題分析及假設的合理性10%；（2）模型的正確性和創造性40%；（3）運算結果的準確性20%；（4）結論和討論的科學性20%；（5）摘要和論文表達的清晰性等10%。數學建模競賽的參賽形式開卷形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯網，自由的收集資料、調查研究。由三名學生組成一隊，各參賽隊任選一競賽題。在三、四天時間內，團結合作、奮力攻關，完成一篇數學建模全過程的論文。近年來的NPMCM題2014A小鼠視覺感受區電位信號研究2014B機動目標的跟蹤與反跟蹤2014C無線通信中的快時變信道建模2014D從人體營養健康角度研究中國果蔬發展戰略2014E乘用車物流運輸計劃問題近年來的NPMCM題2013A變循環發動機部件法建模及優化2013B功率放大器非線性特性及預失真建模2013C微蜂窩環境中無線接收信號的特性分析2013D空氣中PM2.5問題的研究2013E中等收入定位與人口度量模型研究2013F可持續的中國城鄉居民養老保險體系的數學模型研究數學建模競賽的意義培養選手進行科學研究的能力培養選手通過研究學習新知識的能力培養選手勇于創新、理論聯系實際的學風培養選手相互協調、團結合作的精神給予選手高強度腦力勞動中挑戰極限的體驗成功參賽的要素