高三年級學習質量評估文科數學試題一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用交集概念與運算直接求解即可.【詳解】∵集合，，∴故選：C【點睛】本題考查交集的概念及運算，屬于基礎題.2.已知復數滿足（其中為虛數單位），則的虛部為()A.-1B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的乘除運算化簡復數z，結合虛部概念得到答案.【詳解】由z（1+i）＝2，得，∴復數z的虛部是﹣1．故選：A．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．3.已知等差數列的前項和為，若，，則該數列的公差為()A.-2B.2C.-3D.3【答案】B【解析】【分析】利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．【詳解】由題意可得：5d＝25，解得d＝2．故選：B．【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.已知實數，滿足約束條件則的最大值是()A.0B.1C.5D.6【答案】D【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，由直線方程可知，要使z最大，則直線在y軸上的截距最大，結合可行域可知當直線z＝x+2y過點A時z最大，求出A的坐標，代入z＝x+2y得答案．【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區域，如圖所示；由解得A（0，3），此時直線yxz在y軸上的截距最大，所以目標函數z＝x+2y的最大值為zmax＝0+2×3＝6．故選：D．【點睛】本題考查了簡單的線性規劃，考查數形結合的思想，解答的關鍵是正確作出可行域，是中檔題．5.已知命題關于的不等式的解集為；命題函數在區間內有零點，下列命題為真命題的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判斷命題p，q的真假，結合真值表可得結果.【詳解】關于的不等式的解集為，故命題p為假命題，由函數可得：即，結合零點存在定理可知在區間內有零點，故命題求為真命題.∴p∧q為假，為假，為真，為假，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是復合命題的真假，其中判斷出命題p與q的真假是解答本題的關鍵．6.如圖，在中，，，三角形內的空白部分由三個半徑均為1的扇形構成，向內隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意，概率符合幾何概型，所以只要求出陰影部分的面積，根據三角形的內角和得到空白部分的面積是以1為半徑的半圓的面積，由幾何概型的概率公式可求．【詳解】由題意，題目符合幾何概型，中，，，，所以三角形為直角三角形，面積為，陰影部分的面積為：三角形面積圓面積＝2，所以點落在陰影部分的概率為；故選：D．【點睛】本題考查了幾何概型的概率求法；關鍵明確概率模型，然后求出滿足條件的事件的集合，由概率公式解答．7.已知雙曲線，其焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由焦點到條漸近線的距離，可得b＝1，求出c，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的焦點到條漸近線的距離等于b．∵雙曲線的焦點到條漸近線的距離為2，∴b＝2，又a∴c＝，∴e．故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，求出雙曲線的焦點到條漸近線的距離等于b是關鍵．8.函數的圖象大致為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數的奇偶性，極限，特值點逐一判斷即可.【詳解】由函數為偶函數，排除B選項，當x時，，排除A選項，當x=時，，排除C選項，故選：D【點睛】函數圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象.9.為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象()A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】利用函數y＝Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．【詳解】解：為了得到函數的圖象，可以將函數向右平移個單位長度，故選：B．【點睛】本題主要考查函數y＝Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．10.如圖，網絡紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據三視圖知幾何體是組合體：下面是圓錐、上面是四分之一球，根據圖中數據，代入體積公式求值即可．【詳解】解：根據三視圖知幾何體是組合體，下面是圓錐、上面是四分之一球，圓錐的底面半徑為3，高為3；球的半徑為3，∴該幾何體的體積V，故選：A．【點睛】本題考查由三視圖求幾何體的體積，以及幾何體的體積公式，考查空間想象能力，三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵．11.執行如圖所示的程序框圖，若輸入的，，依次為，，，其中，則輸出的為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由框圖可知程序的功能是輸出三者中的最大者，比較大小即可.【詳解】由程序框圖可知a、b、c中的最大數用變量x表示并輸出，∵∴，又在R上為減函數，在上為增函數，∴＜，＜故最大值為，輸出的為故選：C【點睛】本題主要考查了選擇結構．算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環的條件③變量的賦值④變量的輸出．12.我國南宋數學楊家輝所著的《詳解九章算法》一書中記錄了一個由正整數構成的三角形數表，我們通常稱之為楊輝三角.以下數表的構造思路就來源于楊輝三角.從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則的值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據每一行的第一個數的變化規律即可得到結果.【詳解】解：第一行第一個數為：；第二行第一個數為：；第三行第一個數為：；第四行第一個數為：；，第n行第一個數為：；一共有1010行，∴第1010行僅有一個數：；故選：C．【點睛】本題考查了由數表探究數列規律的問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量，為單位向量，若與的夾角為，則__________．【答案】1【解析】【分析】根據條件可以得到，這樣便可求出的值，從而得出的值．【詳解】解：根據條件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案為：．【點睛】本考查單位向量的概念，向量數量積的運算及其計算公式，求向量的長度的方法：求．14.過圓內一點作直線，則直線被圓所截得的最短弦長為__________．【答案】【解析】【分析】化已知圓為標準方程，得到圓心C（1，0），半徑r＝2，利用垂徑定理結合題意，即可求出最短弦長．【詳解】圓方程可化為（x﹣1）2+y2＝4，∴圓心C（1，0），半徑r＝2，，當截得的弦長最短時，CP⊥l，即P為弦的中點，∴最短弦長為故答案為：．【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關系，最短弦長問題，考查數形結合思想，屬于基礎題．15.在正方形中，點，分別為，的中點，將四邊形沿翻折，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】【分析】連接FC，與DE交于O點，取BE中點為N，連接ON，CN，易得ON∥BD，故∠CON就是異面直線與所成角，在等腰三角形CON中，求底角的余弦值即可.【詳解】連接FC，與DE交于O點，取BE中點為N，連接ON，CN，易得ON∥BD∴∠CON就是異面直線與所成角設正方形的邊長為2，OC=，ON=，CN=∴cos∠CON==故答案為：【點睛】本題主要考查異面直線所成的角問題,難度一般．求異面直線所成角的步驟:1平移,將兩條異面直線平移成相交直線．2定角,根據異面直線所成角的定義找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數求角．4結論．16.若函數與的圖象交點的橫坐標之和為2，則的值為__________．【答案】1【解析】【分析】根據函數的對稱性得出直線過曲線的對稱中心，從而得出m的值．【詳解】解：∵y=的圖象均關于點（1，0）對稱，∴函數的圖象關于點（1，0）對稱，且在上單調遞增，∵函數與的圖象交點的橫坐標之和為2，∴直線y＝經過點（1，0），∴m＝1．故選：1．【點睛】本題考查了函數對稱性的判斷與應用，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，邊的中點為，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理得，從而得到角的大小；（2）利用可得，進而利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得BD.【詳解】（1）由及正弦定理得：，又，所以，因為所以，因為，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應用，解題時注意分析角的范圍.對于余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還要記住，，等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.18.如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，.（1）求證：；（2）若，，為線段上一點，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，，可得平面，即可得證；（2）利用等積法即可得到結果.【詳解】（1）證明：取中點，連接，，因為，所以，因為為等邊三角形，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以.（2）因為，所以，又因為，，所以平面，因為為邊長為2的等邊三角形，所以，因為，所以.【點睛】等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．19.某企業生產了一種新產品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產品，每人一臺.試用一個月之后進行回訪，由客戶先對產品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓客戶決定是否購買該試用產品（不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價）.經統計，決定退貨的客戶人數是總人數的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有選擇了退貨.（1）請完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為“客戶購買產品與對產品性能滿意之間有關”.對性能滿意對性能不滿意合計購買產品不購買產品合計（2）企業為了改進產品性能，現從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產品進行分層抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談.座談后安排了抽獎環節，共有4張獎券，獎券上分別印有200元、400元、600元和800元字樣，抽到獎券可獲得相應獎金.6位客戶有放回的進行抽取，每人隨機抽取一張獎券，求6位客戶中購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率.附：，其中0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】(1)根據題意填寫列聯表，由表中數據計算觀測值，對照臨界值得出結論；(2)利用古典概型概率公式即可得到結果.【詳解】（1）設“對性能不滿意”的客戶中購買產品的人數為，則退貨的人數為，由此可列出下表對性能滿意對性能不滿意合計購買產品50不購買產品50合計100因為，所以；填寫列聯表如下：對性能滿意對性能不滿意合計購買產品351550不購買產品203050合計5545100所以.所以，有的把握認為“客戶購買產品與對產品性能滿意之間有關”.（2）由題意知：參加座談的購買產品的人數為2，退貨的人數為4.“購買產品的客戶抽取獎券”的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16個基本事件：設事件“購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元”，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有10個基本事件：則.所以，購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率是.【點睛】本題考查了獨立性檢驗和列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．20.已知橢圓過點，左焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點，，點，記直線，的斜率分別為，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由題意布列a，b的方程組，解之即可得到橢圓的方程；（2）聯立直線與橢圓方程可得，利用韋達定理表示，利用二次函數的性質即可得到結果.【詳解】（1）因為左焦點為，所以，因為過點，所以，解之得，，所以橢圓方程為.（2）設，，聯立方程，得，由，，，，，所以，因為，所以，所以取值范圍為.【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；④利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍．21.已知函數.（1）若曲線在點處切線的斜率為1，求實數的值；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出，令x=1,即可解出實數的值；（2）時，恒成立轉化為求函數最小值大于零即可.【詳解】（1），因為，所以；（2），設，設，設，注意到，，（ⅰ）當時，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函數，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函數，所以在上恒成立，符合題意；（ⅱ）當時，，，所以，使得，當時，，所以，所以在上是減函數，所以在上是減函數，所以，所以在上是減函數，所以，不符合題意；綜上所述：.【點睛】利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數